Theorem f1oen2g 6848

Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. This variation of f1oeng 6850 does not require the Axiom of Replacement. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1oen2g	|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> A ~~ B )

Proof of Theorem f1oen2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1of 5524	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A --> B )
2		fex2 5446	. . . 4 |- ( ( F : A --> B /\ A e. V /\ B e. W ) -> F e. _V )
3	1, 2	syl3an1 1283	. . 3 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ A e. V /\ B e. W ) -> F e. _V )
4	3	3coml 1213	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> F e. _V )
5		simp3 1002	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> F : A -1-1-onto-> B )
6		f1oen3g 6847	. 2 |- ( ( F e. _V /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> A ~~ B )
7	4, 5, 6	syl2anc 411	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> A ~~ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 981   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   class class class wbr 4045   -->wf 5268   -1-1-onto->wf1o 5271   ~~ cen 6827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-en 6830

This theorem is referenced by:  f1oeng  6850  enrefg  6857  en2d  6861  en3d  6862  ener  6873  f1imaen2g  6887  cnven  6902  xpcomen  6924  exmidpw2en  7011  xpfi  7031  iccen  10130  nnenom  10581  eqgen  13596