Theorem f1oen2g 6657

Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. This variation of f1oeng 6659 does not require the Axiom of Replacement. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1oen2g	|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> A ~~ B )

Proof of Theorem f1oen2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1of 5375	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A --> B )
2		fex2 5299	. . . 4 |- ( ( F : A --> B /\ A e. V /\ B e. W ) -> F e. _V )
3	1, 2	syl3an1 1250	. . 3 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ A e. V /\ B e. W ) -> F e. _V )
4	3	3coml 1189	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> F e. _V )
5		simp3 984	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> F : A -1-1-onto-> B )
6		f1oen3g 6656	. 2 |- ( ( F e. _V /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> A ~~ B )
7	4, 5, 6	syl2anc 409	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> A ~~ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 963   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   class class class wbr 3937   -->wf 5127   -1-1-onto->wf1o 5130   ~~ cen 6640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-en 6643

This theorem is referenced by:  f1oeng  6659  enrefg  6666  en2d  6670  en3d  6671  ener  6681  f1imaen2g  6695  cnven  6710  xpcomen  6729  xpfi  6826  iccen  9819  nnenom  10238