Theorem f1oen2g 6811

Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. This variation of f1oeng 6813 does not require the Axiom of Replacement. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1oen2g	|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> A ~~ B )

Proof of Theorem f1oen2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1of 5501	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A --> B )
2		fex2 5423	. . . 4 |- ( ( F : A --> B /\ A e. V /\ B e. W ) -> F e. _V )
3	1, 2	syl3an1 1282	. . 3 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ A e. V /\ B e. W ) -> F e. _V )
4	3	3coml 1212	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> F e. _V )
5		simp3 1001	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> F : A -1-1-onto-> B )
6		f1oen3g 6810	. 2 |- ( ( F e. _V /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> A ~~ B )
7	4, 5, 6	syl2anc 411	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> A ~~ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   class class class wbr 4030   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ~~ cen 6794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-en 6797

This theorem is referenced by:  f1oeng  6813  enrefg  6820  en2d  6824  en3d  6825  ener  6835  f1imaen2g  6849  cnven  6864  xpcomen  6883  exmidpw2en  6970  xpfi  6988  iccen  10075  nnenom  10508  eqgen  13300