ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnven GIF version

Theorem cnven 6523
Description: A relational set is equinumerous to its converse. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnven ((Rel 𝐴𝐴𝑉) → 𝐴𝐴)

Proof of Theorem cnven
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 108 . 2 ((Rel 𝐴𝐴𝑉) → 𝐴𝑉)
2 cnvexg 4968 . . 3 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
32adantl 271 . 2 ((Rel 𝐴𝐴𝑉) → 𝐴 ∈ V)
4 cnvf1o 5990 . . 3 (Rel 𝐴 → (𝑥𝐴 {𝑥}):𝐴1-1-onto𝐴)
54adantr 270 . 2 ((Rel 𝐴𝐴𝑉) → (𝑥𝐴 {𝑥}):𝐴1-1-onto𝐴)
6 f1oen2g 6470 . 2 ((𝐴𝑉𝐴 ∈ V ∧ (𝑥𝐴 {𝑥}):𝐴1-1-onto𝐴) → 𝐴𝐴)
71, 3, 5, 6syl3anc 1174 1 ((Rel 𝐴𝐴𝑉) → 𝐴𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wcel 1438  Vcvv 2619  {csn 3446   cuni 3653   class class class wbr 3845  cmpt 3899  ccnv 4437  Rel wrel 4443  1-1-ontowf1o 5014  cen 6453
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2841  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-en 6456
This theorem is referenced by:  cnvct  6524  relcnvfi  6648
  Copyright terms: Public domain W3C validator