ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnvresid GIF version

Theorem cnvresid 5197
Description: Converse of a restricted identity function. (Contributed by FL, 4-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
cnvresid ( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

Proof of Theorem cnvresid
StepHypRef Expression
1 cnvi 4943 . . 3 I = I
21eqcomi 2143 . 2 I = I
3 funi 5155 . . 3 Fun I
4 funeq 5143 . . 3 ( I = I → (Fun I ↔ Fun I ))
53, 4mpbii 147 . 2 ( I = I → Fun I )
6 funcnvres 5196 . . 3 (Fun I → ( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ ( I “ 𝐴)))
7 imai 4895 . . . 4 ( I “ 𝐴) = 𝐴
81, 7reseq12i 4817 . . 3 ( I ↾ ( I “ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴)
96, 8syl6eq 2188 . 2 (Fun I → ( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))
102, 5, 9mp2b 8 1 ( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1331   I cid 4210  ccnv 4538  cres 4541  cima 4542  Fun wfun 5117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-fun 5125
This theorem is referenced by:  fcoi1  5303  f1oi  5405  ssidcn  12389  idhmeo  12496
  Copyright terms: Public domain W3C validator