Theorem idhmeo 15174

Description: The identity function is a homeomorphism. (Contributed by FL, 14-Feb-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
idhmeo	|- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( _I |` X ) e. ( J Homeo J ) )

Proof of Theorem idhmeo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idcn 15069	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( _I |` X ) e. ( J Cn J ) )
2		cnvresid 5429	. . 3 |- `' ( _I |` X ) = ( _I |` X )
3	2, 1	eqeltrid 2319	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> `' ( _I |` X ) e. ( J Cn J ) )
4		ishmeo 15161	. 2 |- ( ( _I |` X ) e. ( J Homeo J ) <-> ( ( _I |` X ) e. ( J Cn J ) /\ `' ( _I |` X ) e. ( J Cn J ) ) )
5	1, 3, 4	sylanbrc 417	1 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( _I |` X ) e. ( J Homeo J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2203   _I cid 4408   `'ccnv 4747   |` cres 4750   ` cfv 5351  (class class class)co 6049  TopOnctopon 14867   Cn ccn 15042   Homeochmeo 15157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-map 6883  df-top 14855  df-topon 14868  df-cn 15045  df-hmeo 15158

This theorem is referenced by: (None)