Theorem co02 5160

Description: Composition with the empty set. Theorem 20 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
co02	⊢ (𝐴 ∘ ∅) = ∅

Proof of Theorem co02

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 5145	. 2 ⊢ Rel (𝐴 ∘ ∅)
2		rel0 4769	. 2 ⊢ Rel ∅
3		noel 3441	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ∅
4		df-br 4019	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥∅𝑧 ↔ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ∅)
5	3, 4	mtbir 672	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑥∅𝑧
6	5	intnanr 931	. . . . 5 ⊢ ¬ (𝑥∅𝑧 ∧ 𝑧𝐴𝑦)
7	6	nex 1511	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑧(𝑥∅𝑧 ∧ 𝑧𝐴𝑦)
8		vex 2755	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
9		vex 2755	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
10	8, 9	opelco 4817	. . . 4 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ∘ ∅) ↔ ∃𝑧(𝑥∅𝑧 ∧ 𝑧𝐴𝑦))
11	7, 10	mtbir 672	. . 3 ⊢ ¬ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ∘ ∅)
12		noel 3441	. . 3 ⊢ ¬ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅
13	11, 12	2false 702	. 2 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ∘ ∅) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅)
14	1, 2, 13	eqrelriiv 4738	1 ⊢ (𝐴 ∘ ∅) = ∅

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1364  ∃wex 1503   ∈ wcel 2160  ∅c0 3437  ⟨cop 3610   class class class wbr 4018   ∘ ccom 4648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4650  df-rel 4651  df-co 4653

This theorem is referenced by:  co01  5161