Theorem co02 5124

Description: Composition with the empty set. Theorem 20 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
co02	⊢ (𝐴 ∘ ∅) = ∅

Proof of Theorem co02

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 5109	. 2 ⊢ Rel (𝐴 ∘ ∅)
2		rel0 4736	. 2 ⊢ Rel ∅
3		noel 3418	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ∅
4		df-br 3990	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥∅𝑧 ↔ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ∅)
5	3, 4	mtbir 666	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑥∅𝑧
6	5	intnanr 925	. . . . 5 ⊢ ¬ (𝑥∅𝑧 ∧ 𝑧𝐴𝑦)
7	6	nex 1493	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑧(𝑥∅𝑧 ∧ 𝑧𝐴𝑦)
8		vex 2733	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
9		vex 2733	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
10	8, 9	opelco 4783	. . . 4 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ∘ ∅) ↔ ∃𝑧(𝑥∅𝑧 ∧ 𝑧𝐴𝑦))
11	7, 10	mtbir 666	. . 3 ⊢ ¬ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ∘ ∅)
12		noel 3418	. . 3 ⊢ ¬ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅
13	11, 12	2false 696	. 2 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ∘ ∅) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅)
14	1, 2, 13	eqrelriiv 4705	1 ⊢ (𝐴 ∘ ∅) = ∅

Syntax hints:   ∧ wa 103   = wceq 1348  ∃wex 1485   ∈ wcel 2141  ∅c0 3414  ⟨cop 3586   class class class wbr 3989   ∘ ccom 4615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-rel 4618  df-co 4620

This theorem is referenced by:  co01  5125