Theorem co02 5099

Description: Composition with the empty set. Theorem 20 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
co02	⊢ (𝐴 ∘ ∅) = ∅

Proof of Theorem co02

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 5084	. 2 ⊢ Rel (𝐴 ∘ ∅)
2		rel0 4711	. 2 ⊢ Rel ∅
3		noel 3398	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ∅
4		df-br 3966	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥∅𝑧 ↔ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ∅)
5	3, 4	mtbir 661	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑥∅𝑧
6	5	intnanr 916	. . . . 5 ⊢ ¬ (𝑥∅𝑧 ∧ 𝑧𝐴𝑦)
7	6	nex 1480	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑧(𝑥∅𝑧 ∧ 𝑧𝐴𝑦)
8		vex 2715	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
9		vex 2715	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
10	8, 9	opelco 4758	. . . 4 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ∘ ∅) ↔ ∃𝑧(𝑥∅𝑧 ∧ 𝑧𝐴𝑦))
11	7, 10	mtbir 661	. . 3 ⊢ ¬ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ∘ ∅)
12		noel 3398	. . 3 ⊢ ¬ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅
13	11, 12	2false 691	. 2 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ∘ ∅) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅)
14	1, 2, 13	eqrelriiv 4680	1 ⊢ (𝐴 ∘ ∅) = ∅

Syntax hints:   ∧ wa 103   = wceq 1335  ∃wex 1472   ∈ wcel 2128  ∅c0 3394  ⟨cop 3563   class class class wbr 3965   ∘ ccom 4590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-br 3966  df-opab 4026  df-xp 4592  df-rel 4593  df-co 4595

This theorem is referenced by:  co01  5100