Theorem co02 4931

Description: Composition with the empty set. Theorem 20 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
co02	⊢ (𝐴 ∘ ∅) = ∅

Proof of Theorem co02

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 4916	. 2 ⊢ Rel (𝐴 ∘ ∅)
2		rel0 4550	. 2 ⊢ Rel ∅
3		noel 3288	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ∅
4		df-br 3838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥∅𝑧 ↔ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ∅)
5	3, 4	mtbir 631	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑥∅𝑧
6	5	intnanr 877	. . . . 5 ⊢ ¬ (𝑥∅𝑧 ∧ 𝑧𝐴𝑦)
7	6	nex 1434	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑧(𝑥∅𝑧 ∧ 𝑧𝐴𝑦)
8		vex 2622	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
9		vex 2622	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
10	8, 9	opelco 4596	. . . 4 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ∘ ∅) ↔ ∃𝑧(𝑥∅𝑧 ∧ 𝑧𝐴𝑦))
11	7, 10	mtbir 631	. . 3 ⊢ ¬ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ∘ ∅)
12		noel 3288	. . 3 ⊢ ¬ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅
13	11, 12	2false 652	. 2 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ∘ ∅) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅)
14	1, 2, 13	eqrelriiv 4520	1 ⊢ (𝐴 ∘ ∅) = ∅

Syntax hints:   ∧ wa 102   = wceq 1289  ∃wex 1426   ∈ wcel 1438  ∅c0 3284  ⟨cop 3444   class class class wbr 3837   ∘ ccom 4432

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-br 3838  df-opab 3892  df-xp 4434  df-rel 4435  df-co 4437

This theorem is referenced by:  co01  4932