Theorem cofunex2g 6253

Description: Existence of a composition when the second member is one-to-one. (Contributed by NM, 8-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cofunex2g	|- ( ( A e. V /\ Fun `' B ) -> ( A o. B ) e. _V )

Proof of Theorem cofunex2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvexg 5265	. . . 4 |- ( A e. V -> `' A e. _V )
2		cofunexg 6252	. . . 4 |- ( ( Fun `' B /\ `' A e. _V ) -> ( `' B o. `' A ) e. _V )
3	1, 2	sylan2 286	. . 3 |- ( ( Fun `' B /\ A e. V ) -> ( `' B o. `' A ) e. _V )
4		cnvco 4906	. . . . 5 |- `' ( `' B o. `' A ) = ( `' `' A o. `' `' B )
5		cocnvcnv2 5239	. . . . 5 |- ( `' `' A o. `' `' B ) = ( `' `' A o. B )
6		cocnvcnv1 5238	. . . . 5 |- ( `' `' A o. B ) = ( A o. B )
7	4, 5, 6	3eqtrri 2255	. . . 4 |- ( A o. B ) = `' ( `' B o. `' A )
8		cnvexg 5265	. . . 4 |- ( ( `' B o. `' A ) e. _V -> `' ( `' B o. `' A ) e. _V )
9	7, 8	eqeltrid 2316	. . 3 |- ( ( `' B o. `' A ) e. _V -> ( A o. B ) e. _V )
10	3, 9	syl 14	. 2 |- ( ( Fun `' B /\ A e. V ) -> ( A o. B ) e. _V )
11	10	ancoms 268	1 |- ( ( A e. V /\ Fun `' B ) -> ( A o. B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   `'ccnv 4717   o. ccom 4722   Fun wfun 5311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325

This theorem is referenced by: (None)