Theorem cofunex2g 6195

Description: Existence of a composition when the second member is one-to-one. (Contributed by NM, 8-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cofunex2g	|- ( ( A e. V /\ Fun `' B ) -> ( A o. B ) e. _V )

Proof of Theorem cofunex2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvexg 5220	. . . 4 |- ( A e. V -> `' A e. _V )
2		cofunexg 6194	. . . 4 |- ( ( Fun `' B /\ `' A e. _V ) -> ( `' B o. `' A ) e. _V )
3	1, 2	sylan2 286	. . 3 |- ( ( Fun `' B /\ A e. V ) -> ( `' B o. `' A ) e. _V )
4		cnvco 4863	. . . . 5 |- `' ( `' B o. `' A ) = ( `' `' A o. `' `' B )
5		cocnvcnv2 5194	. . . . 5 |- ( `' `' A o. `' `' B ) = ( `' `' A o. B )
6		cocnvcnv1 5193	. . . . 5 |- ( `' `' A o. B ) = ( A o. B )
7	4, 5, 6	3eqtrri 2231	. . . 4 |- ( A o. B ) = `' ( `' B o. `' A )
8		cnvexg 5220	. . . 4 |- ( ( `' B o. `' A ) e. _V -> `' ( `' B o. `' A ) e. _V )
9	7, 8	eqeltrid 2292	. . 3 |- ( ( `' B o. `' A ) e. _V -> ( A o. B ) e. _V )
10	3, 9	syl 14	. 2 |- ( ( Fun `' B /\ A e. V ) -> ( A o. B ) e. _V )
11	10	ancoms 268	1 |- ( ( A e. V /\ Fun `' B ) -> ( A o. B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   `'ccnv 4674   o. ccom 4679   Fun wfun 5265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279

This theorem is referenced by: (None)