Theorem cofunex2g 6113

Description: Existence of a composition when the second member is one-to-one. (Contributed by NM, 8-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cofunex2g	|- ( ( A e. V /\ Fun `' B ) -> ( A o. B ) e. _V )

Proof of Theorem cofunex2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvexg 5168	. . . 4 |- ( A e. V -> `' A e. _V )
2		cofunexg 6112	. . . 4 |- ( ( Fun `' B /\ `' A e. _V ) -> ( `' B o. `' A ) e. _V )
3	1, 2	sylan2 286	. . 3 |- ( ( Fun `' B /\ A e. V ) -> ( `' B o. `' A ) e. _V )
4		cnvco 4814	. . . . 5 |- `' ( `' B o. `' A ) = ( `' `' A o. `' `' B )
5		cocnvcnv2 5142	. . . . 5 |- ( `' `' A o. `' `' B ) = ( `' `' A o. B )
6		cocnvcnv1 5141	. . . . 5 |- ( `' `' A o. B ) = ( A o. B )
7	4, 5, 6	3eqtrri 2203	. . . 4 |- ( A o. B ) = `' ( `' B o. `' A )
8		cnvexg 5168	. . . 4 |- ( ( `' B o. `' A ) e. _V -> `' ( `' B o. `' A ) e. _V )
9	7, 8	eqeltrid 2264	. . 3 |- ( ( `' B o. `' A ) e. _V -> ( A o. B ) e. _V )
10	3, 9	syl 14	. 2 |- ( ( Fun `' B /\ A e. V ) -> ( A o. B ) e. _V )
11	10	ancoms 268	1 |- ( ( A e. V /\ Fun `' B ) -> ( A o. B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   `'ccnv 4627   o. ccom 4632   Fun wfun 5212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226

This theorem is referenced by: (None)