Theorem cofunex2g 6018

Description: Existence of a composition when the second member is one-to-one. (Contributed by NM, 8-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cofunex2g	|- ( ( A e. V /\ Fun `' B ) -> ( A o. B ) e. _V )

Proof of Theorem cofunex2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvexg 5084	. . . 4 |- ( A e. V -> `' A e. _V )
2		cofunexg 6017	. . . 4 |- ( ( Fun `' B /\ `' A e. _V ) -> ( `' B o. `' A ) e. _V )
3	1, 2	sylan2 284	. . 3 |- ( ( Fun `' B /\ A e. V ) -> ( `' B o. `' A ) e. _V )
4		cnvco 4732	. . . . 5 |- `' ( `' B o. `' A ) = ( `' `' A o. `' `' B )
5		cocnvcnv2 5058	. . . . 5 |- ( `' `' A o. `' `' B ) = ( `' `' A o. B )
6		cocnvcnv1 5057	. . . . 5 |- ( `' `' A o. B ) = ( A o. B )
7	4, 5, 6	3eqtrri 2166	. . . 4 |- ( A o. B ) = `' ( `' B o. `' A )
8		cnvexg 5084	. . . 4 |- ( ( `' B o. `' A ) e. _V -> `' ( `' B o. `' A ) e. _V )
9	7, 8	eqeltrid 2227	. . 3 |- ( ( `' B o. `' A ) e. _V -> ( A o. B ) e. _V )
10	3, 9	syl 14	. 2 |- ( ( Fun `' B /\ A e. V ) -> ( A o. B ) e. _V )
11	10	ancoms 266	1 |- ( ( A e. V /\ Fun `' B ) -> ( A o. B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   `'ccnv 4546   o. ccom 4551   Fun wfun 5125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139

This theorem is referenced by: (None)