Theorem cofunex2g 6078

Description: Existence of a composition when the second member is one-to-one. (Contributed by NM, 8-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cofunex2g	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ Fun ◡𝐵) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem cofunex2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvexg 5141	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ◡𝐴 ∈ V)
2		cofunexg 6077	. . . 4 ⊢ ((Fun ◡𝐵 ∧ ◡𝐴 ∈ V) → (◡𝐵 ∘ ◡𝐴) ∈ V)
3	1, 2	sylan2 284	. . 3 ⊢ ((Fun ◡𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (◡𝐵 ∘ ◡𝐴) ∈ V)
4		cnvco 4789	. . . . 5 ⊢ ◡(◡𝐵 ∘ ◡𝐴) = (◡◡𝐴 ∘ ◡◡𝐵)
5		cocnvcnv2 5115	. . . . 5 ⊢ (◡◡𝐴 ∘ ◡◡𝐵) = (◡◡𝐴 ∘ 𝐵)
6		cocnvcnv1 5114	. . . . 5 ⊢ (◡◡𝐴 ∘ 𝐵) = (𝐴 ∘ 𝐵)
7	4, 5, 6	3eqtrri 2191	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∘ 𝐵) = ◡(◡𝐵 ∘ ◡𝐴)
8		cnvexg 5141	. . . 4 ⊢ ((◡𝐵 ∘ ◡𝐴) ∈ V → ◡(◡𝐵 ∘ ◡𝐴) ∈ V)
9	7, 8	eqeltrid 2253	. . 3 ⊢ ((◡𝐵 ∘ ◡𝐴) ∈ V → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)
10	3, 9	syl 14	. 2 ⊢ ((Fun ◡𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)
11	10	ancoms 266	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ Fun ◡𝐵) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2136  Vcvv 2726  ^◡ccnv 4603   ∘ ccom 4608  Fun wfun 5182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196

This theorem is referenced by: (None)