ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cofunex2g GIF version

Theorem cofunex2g 6060
Description: Existence of a composition when the second member is one-to-one. (Contributed by NM, 8-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
cofunex2g ((𝐴𝑉 ∧ Fun 𝐵) → (𝐴𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem cofunex2g
StepHypRef Expression
1 cnvexg 5123 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
2 cofunexg 6059 . . . 4 ((Fun 𝐵𝐴 ∈ V) → (𝐵𝐴) ∈ V)
31, 2sylan2 284 . . 3 ((Fun 𝐵𝐴𝑉) → (𝐵𝐴) ∈ V)
4 cnvco 4771 . . . . 5 (𝐵𝐴) = (𝐴𝐵)
5 cocnvcnv2 5097 . . . . 5 (𝐴𝐵) = (𝐴𝐵)
6 cocnvcnv1 5096 . . . . 5 (𝐴𝐵) = (𝐴𝐵)
74, 5, 63eqtrri 2183 . . . 4 (𝐴𝐵) = (𝐵𝐴)
8 cnvexg 5123 . . . 4 ((𝐵𝐴) ∈ V → (𝐵𝐴) ∈ V)
97, 8eqeltrid 2244 . . 3 ((𝐵𝐴) ∈ V → (𝐴𝐵) ∈ V)
103, 9syl 14 . 2 ((Fun 𝐵𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) ∈ V)
1110ancoms 266 1 ((𝐴𝑉 ∧ Fun 𝐵) → (𝐴𝐵) ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 2128  Vcvv 2712  ccnv 4585  ccom 4590  Fun wfun 5164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator