Theorem decbin0 9345

Description: Decompose base 4 into base 2. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
decbin.1	|- A e. NN0

Assertion

Ref	Expression
decbin0	|- ( 4 x. A ) = ( 2 x. ( 2 x. A ) )

Proof of Theorem decbin0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2t2e4 8898	. . 3 |- ( 2 x. 2 ) = 4
2	1	oveq1i 5792	. 2 |- ( ( 2 x. 2 ) x. A ) = ( 4 x. A )
3		2cn 8815	. . 3 |- 2 e. CC
4		decbin.1	. . . 4 |- A e. NN0
5	4	nn0cni 9013	. . 3 |- A e. CC
6	3, 3, 5	mulassi 7799	. 2 |- ( ( 2 x. 2 ) x. A ) = ( 2 x. ( 2 x. A ) )
7	2, 6	eqtr3i 2163	1 |- ( 4 x. A ) = ( 2 x. ( 2 x. A ) )

Syntax hints:   = wceq 1332   e. wcel 1481  (class class class)co 5782   x. cmul 7649   2c2 8795   4c4 8797   NN0cn0 9001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-1rid 7751  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-iota 5096  df-fv 5139  df-ov 5785  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002

This theorem is referenced by:  decbin2  9346