Theorem decbin0 9895

Description: Decompose base 4 into base 2. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
decbin.1	|- A e. NN0

Assertion

Ref	Expression
decbin0	|- ( 4 x. A ) = ( 2 x. ( 2 x. A ) )

Proof of Theorem decbin0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2t2e4 9438	. . 3 |- ( 2 x. 2 ) = 4
2	1	oveq1i 6085	. 2 |- ( ( 2 x. 2 ) x. A ) = ( 4 x. A )
3		2cn 9354	. . 3 |- 2 e. CC
4		decbin.1	. . . 4 |- A e. NN0
5	4	nn0cni 9554	. . 3 |- A e. CC
6	3, 3, 5	mulassi 8325	. 2 |- ( ( 2 x. 2 ) x. A ) = ( 2 x. ( 2 x. A ) )
7	2, 6	eqtr3i 2261	1 |- ( 4 x. A ) = ( 2 x. ( 2 x. A ) )

Syntax hints:   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6075   x. cmul 8174   2c2 9334   4c4 9336   NN0cn0 9542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-1rid 8276  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-iota 5332  df-fv 5380  df-ov 6078  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543

This theorem is referenced by:  decbin2  9896