Theorem decbin0 9755

Description: Decompose base 4 into base 2. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
decbin.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
decbin0	⊢ (4 · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴))

Proof of Theorem decbin0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2t2e4 9303	. . 3 ⊢ (2 · 2) = 4
2	1	oveq1i 6033	. 2 ⊢ ((2 · 2) · 𝐴) = (4 · 𝐴)
3		2cn 9219	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		decbin.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
5	4	nn0cni 9419	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
6	3, 3, 5	mulassi 8193	. 2 ⊢ ((2 · 2) · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴))
7	2, 6	eqtr3i 2253	1 ⊢ (4 · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴))

Syntax hints:   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  (class class class)co 6023   · cmul 8042  2c2 9199  4c4 9201  ℕ₀cn0 9407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-1rid 8144  ax-rnegex 8146  ax-cnre 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1810  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ral 2514  df-rex 2515  df-v 2803  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-iota 5288  df-fv 5336  df-ov 6026  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-n0 9408

This theorem is referenced by:  decbin2  9756