Theorem decbin0 9537

Description: Decompose base 4 into base 2. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
decbin.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
decbin0	⊢ (4 · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴))

Proof of Theorem decbin0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2t2e4 9087	. . 3 ⊢ (2 · 2) = 4
2	1	oveq1i 5898	. 2 ⊢ ((2 · 2) · 𝐴) = (4 · 𝐴)
3		2cn 9004	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		decbin.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
5	4	nn0cni 9202	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
6	3, 3, 5	mulassi 7980	. 2 ⊢ ((2 · 2) · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴))
7	2, 6	eqtr3i 2210	1 ⊢ (4 · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴))

Syntax hints:   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  (class class class)co 5888   · cmul 7830  2c2 8984  4c4 8986  ℕ₀cn0 9190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-1rid 7932  ax-rnegex 7934  ax-cnre 7936

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-iota 5190  df-fv 5236  df-ov 5891  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191

This theorem is referenced by:  decbin2  9538