Theorem decbin0 9439

Description: Decompose base 4 into base 2. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
decbin.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
decbin0	⊢ (4 · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴))

Proof of Theorem decbin0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2t2e4 8992	. . 3 ⊢ (2 · 2) = 4
2	1	oveq1i 5836	. 2 ⊢ ((2 · 2) · 𝐴) = (4 · 𝐴)
3		2cn 8909	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		decbin.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
5	4	nn0cni 9107	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
6	3, 3, 5	mulassi 7889	. 2 ⊢ ((2 · 2) · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴))
7	2, 6	eqtr3i 2180	1 ⊢ (4 · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴))

Syntax hints:   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  (class class class)co 5826   · cmul 7739  2c2 8889  4c4 8891  ℕ₀cn0 9095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-mulcom 7835  ax-addass 7836  ax-mulass 7837  ax-distr 7838  ax-1rid 7841  ax-rnegex 7843  ax-cnre 7845

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-br 3968  df-iota 5137  df-fv 5180  df-ov 5829  df-inn 8839  df-2 8897  df-3 8898  df-4 8899  df-n0 9096

This theorem is referenced by:  decbin2  9440