Theorem decbin0 9461

Description: Decompose base 4 into base 2. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
decbin.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
decbin0	⊢ (4 · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴))

Proof of Theorem decbin0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2t2e4 9011	. . 3 ⊢ (2 · 2) = 4
2	1	oveq1i 5852	. 2 ⊢ ((2 · 2) · 𝐴) = (4 · 𝐴)
3		2cn 8928	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		decbin.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
5	4	nn0cni 9126	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
6	3, 3, 5	mulassi 7908	. 2 ⊢ ((2 · 2) · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴))
7	2, 6	eqtr3i 2188	1 ⊢ (4 · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴))

Syntax hints:   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  (class class class)co 5842   · cmul 7758  2c2 8908  4c4 8910  ℕ₀cn0 9114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-1rid 7860  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-iota 5153  df-fv 5196  df-ov 5845  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115

This theorem is referenced by:  decbin2  9462