Theorem decbin2 9614

Description: Decompose base 4 into base 2. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
decbin.1	|- A e. NN0

Assertion

Ref	Expression
decbin2	|- ( ( 4 x. A ) + 2 ) = ( 2 x. ( ( 2 x. A ) + 1 ) )

Proof of Theorem decbin2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2t1e2 9161	. . 3 |- ( 2 x. 1 ) = 2
2	1	oveq2i 5936	. 2 |- ( ( 2 x. ( 2 x. A ) ) + ( 2 x. 1 ) ) = ( ( 2 x. ( 2 x. A ) ) + 2 )
3		2cn 9078	. . 3 |- 2 e. CC
4		decbin.1	. . . . 5 |- A e. NN0
5	4	nn0cni 9278	. . . 4 |- A e. CC
6	3, 5	mulcli 8048	. . 3 |- ( 2 x. A ) e. CC
7		ax-1cn 7989	. . 3 |- 1 e. CC
8	3, 6, 7	adddii 8053	. 2 |- ( 2 x. ( ( 2 x. A ) + 1 ) ) = ( ( 2 x. ( 2 x. A ) ) + ( 2 x. 1 ) )
9	4	decbin0 9613	. . 3 |- ( 4 x. A ) = ( 2 x. ( 2 x. A ) )
10	9	oveq1i 5935	. 2 |- ( ( 4 x. A ) + 2 ) = ( ( 2 x. ( 2 x. A ) ) + 2 )
11	2, 8, 10	3eqtr4ri 2228	1 |- ( ( 4 x. A ) + 2 ) = ( 2 x. ( ( 2 x. A ) + 1 ) )

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2167  (class class class)co 5925   1c1 7897   + caddc 7899   x. cmul 7901   2c2 9058   4c4 9060   NN0cn0 9266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-1rid 8003  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267

This theorem is referenced by:  decbin3  9615