Theorem decbin2 9483

Description: Decompose base 4 into base 2. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
decbin.1	|- A e. NN0

Assertion

Ref	Expression
decbin2	|- ( ( 4 x. A ) + 2 ) = ( 2 x. ( ( 2 x. A ) + 1 ) )

Proof of Theorem decbin2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2t1e2 9031	. . 3 |- ( 2 x. 1 ) = 2
2	1	oveq2i 5864	. 2 |- ( ( 2 x. ( 2 x. A ) ) + ( 2 x. 1 ) ) = ( ( 2 x. ( 2 x. A ) ) + 2 )
3		2cn 8949	. . 3 |- 2 e. CC
4		decbin.1	. . . . 5 |- A e. NN0
5	4	nn0cni 9147	. . . 4 |- A e. CC
6	3, 5	mulcli 7925	. . 3 |- ( 2 x. A ) e. CC
7		ax-1cn 7867	. . 3 |- 1 e. CC
8	3, 6, 7	adddii 7930	. 2 |- ( 2 x. ( ( 2 x. A ) + 1 ) ) = ( ( 2 x. ( 2 x. A ) ) + ( 2 x. 1 ) )
9	4	decbin0 9482	. . 3 |- ( 4 x. A ) = ( 2 x. ( 2 x. A ) )
10	9	oveq1i 5863	. 2 |- ( ( 4 x. A ) + 2 ) = ( ( 2 x. ( 2 x. A ) ) + 2 )
11	2, 8, 10	3eqtr4ri 2202	1 |- ( ( 4 x. A ) + 2 ) = ( 2 x. ( ( 2 x. A ) + 1 ) )

Syntax hints:   = wceq 1348   e. wcel 2141  (class class class)co 5853   1c1 7775   + caddc 7777   x. cmul 7779   2c2 8929   4c4 8931   NN0cn0 9135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-1rid 7881  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-iota 5160  df-fv 5206  df-ov 5856  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136

This theorem is referenced by:  decbin3  9484