Theorem decbin2 9597

Description: Decompose base 4 into base 2. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
decbin.1	|- A e. NN0

Assertion

Ref	Expression
decbin2	|- ( ( 4 x. A ) + 2 ) = ( 2 x. ( ( 2 x. A ) + 1 ) )

Proof of Theorem decbin2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2t1e2 9144	. . 3 |- ( 2 x. 1 ) = 2
2	1	oveq2i 5933	. 2 |- ( ( 2 x. ( 2 x. A ) ) + ( 2 x. 1 ) ) = ( ( 2 x. ( 2 x. A ) ) + 2 )
3		2cn 9061	. . 3 |- 2 e. CC
4		decbin.1	. . . . 5 |- A e. NN0
5	4	nn0cni 9261	. . . 4 |- A e. CC
6	3, 5	mulcli 8031	. . 3 |- ( 2 x. A ) e. CC
7		ax-1cn 7972	. . 3 |- 1 e. CC
8	3, 6, 7	adddii 8036	. 2 |- ( 2 x. ( ( 2 x. A ) + 1 ) ) = ( ( 2 x. ( 2 x. A ) ) + ( 2 x. 1 ) )
9	4	decbin0 9596	. . 3 |- ( 4 x. A ) = ( 2 x. ( 2 x. A ) )
10	9	oveq1i 5932	. 2 |- ( ( 4 x. A ) + 2 ) = ( ( 2 x. ( 2 x. A ) ) + 2 )
11	2, 8, 10	3eqtr4ri 2228	1 |- ( ( 4 x. A ) + 2 ) = ( 2 x. ( ( 2 x. A ) + 1 ) )

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2167  (class class class)co 5922   1c1 7880   + caddc 7882   x. cmul 7884   2c2 9041   4c4 9043   NN0cn0 9249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-1rid 7986  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-iota 5219  df-fv 5266  df-ov 5925  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250

This theorem is referenced by:  decbin3  9598