Theorem decnncl2 9816

Description: Closure for a decimal integer (zero units place). (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
decnncl2.1	|- A e. NN

Assertion

Ref	Expression
decnncl2	|- ; A 0 e. NN

Proof of Theorem decnncl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 9791	. 2 |- ; A 0 = ( (; 1 0 x. A ) + 0 )
2		10nn 9807	. . 3 |- ; 1 0 e. NN
3		decnncl2.1	. . 3 |- A e. NN
4	2, 3	numnncl2 9815	. 2 |- ( (; 1 0 x. A ) + 0 ) e. NN
5	1, 4	eqeltri 2311	1 |- ; A 0 e. NN

This proof depends on syntax axioms:   e. wcel 2209  (class class class)co 6088   0cc0 8185   1c1 8186   + caddc 8188   x. cmul 8190   NNcn 9313  ;cdc 9788

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-dec 9789

This theorem is used by:  3dec  11174  43prm  13265