Theorem decnncl2 9370

Description: Closure for a decimal integer (zero units place). (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
decnncl2.1	|- A e. NN

Assertion

Ref	Expression
decnncl2	|- ; A 0 e. NN

Proof of Theorem decnncl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 9350	. 2 |- ; A 0 = ( (; 1 0 x. A ) + 0 )
2		10nn 9362	. . 3 |- ; 1 0 e. NN
3		decnncl2.1	. . 3 |- A e. NN
4	2, 3	numnncl2 9369	. 2 |- ( (; 1 0 x. A ) + 0 ) e. NN
5	1, 4	eqeltri 2244	1 |- ; A 0 e. NN

Syntax hints:   e. wcel 2142  (class class class)co 5857   0cc0 7778   1c1 7779   + caddc 7781   x. cmul 7783   NNcn 8882  ;cdc 9347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-ext 2153  ax-sep 4108  ax-cnex 7869  ax-resscn 7870  ax-1cn 7871  ax-1re 7872  ax-icn 7873  ax-addcl 7874  ax-addrcl 7875  ax-mulcl 7876  ax-mulcom 7879  ax-addass 7880  ax-mulass 7881  ax-distr 7882  ax-1rid 7885  ax-0id 7886  ax-cnre 7889

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 976  df-tru 1352  df-nf 1455  df-sb 1757  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ral 2454  df-rex 2455  df-rab 2458  df-v 2733  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-int 3833  df-br 3991  df-iota 5162  df-fv 5208  df-ov 5860  df-inn 8883  df-2 8941  df-3 8942  df-4 8943  df-5 8944  df-6 8945  df-7 8946  df-8 8947  df-9 8948  df-dec 9348

This theorem is referenced by:  3dec  10652