ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  decnncl2 GIF version

Theorem decnncl2 9474
Description: Closure for a decimal integer (zero units place). (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
decnncl2.1 𝐴 ∈ ℕ
Assertion
Ref Expression
decnncl2 𝐴0 ∈ ℕ

Proof of Theorem decnncl2
StepHypRef Expression
1 dfdec10 9454 . 2 𝐴0 = ((10 · 𝐴) + 0)
2 10nn 9466 . . 3 10 ∈ ℕ
3 decnncl2.1 . . 3 𝐴 ∈ ℕ
42, 3numnncl2 9473 . 2 ((10 · 𝐴) + 0) ∈ ℕ
51, 4eqeltri 2266 1 𝐴0 ∈ ℕ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wcel 2164  (class class class)co 5919  0cc0 7874  1c1 7875   + caddc 7877   · cmul 7879  cn 8984  cdc 9451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-cnre 7985
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-iota 5216  df-fv 5263  df-ov 5922  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-9 9050  df-dec 9452
This theorem is referenced by:  3dec  10788
  Copyright terms: Public domain W3C validator