Theorem decnncl2 9678

Description: Closure for a decimal integer (zero units place). (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
decnncl2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
decnncl2	⊢ ;𝐴0 ∈ ℕ

Proof of Theorem decnncl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 9658	. 2 ⊢ ;𝐴0 = ((;10 · 𝐴) + 0)
2		10nn 9670	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
3		decnncl2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
4	2, 3	numnncl2 9677	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 0) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2304	1 ⊢ ;𝐴0 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6028  0cc0 8075  1c1 8076   + caddc 8078   · cmul 8080  ℕcn 9185  ;cdc 9655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-cnre 8186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-iota 5293  df-fv 5341  df-ov 6031  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-9 9251  df-dec 9656

This theorem is referenced by:  3dec  11022