Theorem 3dec 10641

Description: A "decimal constructor" which is used to build up "decimal integers" or "numeric terms" in base 10 with 3 "digits". (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3dec.a	|- A e. NN0
3dec.b	|- B e. NN0

Assertion

Ref	Expression
3dec	|- ;; A B C = ( ( ( (; 1 0 ^ 2 ) x. A ) + (; 1 0 x. B ) ) + C )

Proof of Theorem 3dec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 9339	. 2 |- ;; A B C = ( (; 1 0 x. ; A B ) + C )
2		dfdec10 9339	. . . . . 6 |- ; A B = ( (; 1 0 x. A ) + B )
3	2	oveq2i 5862	. . . . 5 |- (; 1 0 x. ; A B ) = (; 1 0 x. ( (; 1 0 x. A ) + B ) )
4		1nn 8882	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN
5	4	decnncl2 9359	. . . . . . 7 |- ; 1 0 e. NN
6	5	nncni 8881	. . . . . 6 |- ; 1 0 e. CC
7		3dec.a	. . . . . . . 8 |- A e. NN0
8	7	nn0cni 9140	. . . . . . 7 |- A e. CC
9	6, 8	mulcli 7918	. . . . . 6 |- (; 1 0 x. A ) e. CC
10		3dec.b	. . . . . . 7 |- B e. NN0
11	10	nn0cni 9140	. . . . . 6 |- B e. CC
12	6, 9, 11	adddii 7923	. . . . 5 |- (; 1 0 x. ( (; 1 0 x. A ) + B ) ) = ( (; 1 0 x. (; 1 0 x. A ) ) + (; 1 0 x. B ) )
13	3, 12	eqtri 2191	. . . 4 |- (; 1 0 x. ; A B ) = ( (; 1 0 x. (; 1 0 x. A ) ) + (; 1 0 x. B ) )
14	6, 6, 8	mulassi 7922	. . . . . . 7 |- ( (; 1 0 x. ; 1 0 ) x. A ) = (; 1 0 x. (; 1 0 x. A ) )
15	14	eqcomi 2174	. . . . . 6 |- (; 1 0 x. (; 1 0 x. A ) ) = ( (; 1 0 x. ; 1 0 ) x. A )
16	6	sqvali 10548	. . . . . . . 8 |- (; 1 0 ^ 2 ) = (; 1 0 x. ; 1 0 )
17	16	eqcomi 2174	. . . . . . 7 |- (; 1 0 x. ; 1 0 ) = (; 1 0 ^ 2 )
18	17	oveq1i 5861	. . . . . 6 |- ( (; 1 0 x. ; 1 0 ) x. A ) = ( (; 1 0 ^ 2 ) x. A )
19	15, 18	eqtri 2191	. . . . 5 |- (; 1 0 x. (; 1 0 x. A ) ) = ( (; 1 0 ^ 2 ) x. A )
20	19	oveq1i 5861	. . . 4 |- ( (; 1 0 x. (; 1 0 x. A ) ) + (; 1 0 x. B ) ) = ( ( (; 1 0 ^ 2 ) x. A ) + (; 1 0 x. B ) )
21	13, 20	eqtri 2191	. . 3 |- (; 1 0 x. ; A B ) = ( ( (; 1 0 ^ 2 ) x. A ) + (; 1 0 x. B ) )
22	21	oveq1i 5861	. 2 |- ( (; 1 0 x. ; A B ) + C ) = ( ( ( (; 1 0 ^ 2 ) x. A ) + (; 1 0 x. B ) ) + C )
23	1, 22	eqtri 2191	1 |- ;; A B C = ( ( ( (; 1 0 ^ 2 ) x. A ) + (; 1 0 x. B ) ) + C )

Syntax hints:   = wceq 1348   e. wcel 2141  (class class class)co 5851   0cc0 7767   1c1 7768   + caddc 7770   x. cmul 7772   2c2 8922   NN0cn0 9128  ;cdc 9336   ^cexp 10468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-mulrcl 7866  ax-addcom 7867  ax-mulcom 7868  ax-addass 7869  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-1rid 7874  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-precex 7877  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-apti 7882  ax-pre-ltadd 7883  ax-pre-mulgt0 7884  ax-pre-mulext 7885

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-reap 8487  df-ap 8494  df-div 8583  df-inn 8872  df-2 8930  df-3 8931  df-4 8932  df-5 8933  df-6 8934  df-7 8935  df-8 8936  df-9 8937  df-n0 9129  df-z 9206  df-dec 9337  df-uz 9481  df-seqfrec 10395  df-exp 10469

This theorem is referenced by:  3dvds2dec  11818