ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  3dec Unicode version

Theorem 3dec 10729
Description: A "decimal constructor" which is used to build up "decimal integers" or "numeric terms" in base 10 with 3 "digits". (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3dec.a  |-  A  e. 
NN0
3dec.b  |-  B  e. 
NN0
Assertion
Ref Expression
3dec  |- ;; A B C  =  (
( ( (; 1 0 ^ 2 )  x.  A )  +  (; 1 0  x.  B
) )  +  C
)

Proof of Theorem 3dec
StepHypRef Expression
1 dfdec10 9418 . 2  |- ;; A B C  =  (
(; 1 0  x. ; A B )  +  C )
2 dfdec10 9418 . . . . . 6  |- ; A B  =  ( (; 1 0  x.  A
)  +  B )
32oveq2i 5908 . . . . 5  |-  (; 1 0  x. ; A B )  =  (; 1 0  x.  (
(; 1 0  x.  A
)  +  B ) )
4 1nn 8961 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
54decnncl2 9438 . . . . . . 7  |- ; 1 0  e.  NN
65nncni 8960 . . . . . 6  |- ; 1 0  e.  CC
7 3dec.a . . . . . . . 8  |-  A  e. 
NN0
87nn0cni 9219 . . . . . . 7  |-  A  e.  CC
96, 8mulcli 7993 . . . . . 6  |-  (; 1 0  x.  A
)  e.  CC
10 3dec.b . . . . . . 7  |-  B  e. 
NN0
1110nn0cni 9219 . . . . . 6  |-  B  e.  CC
126, 9, 11adddii 7998 . . . . 5  |-  (; 1 0  x.  (
(; 1 0  x.  A
)  +  B ) )  =  ( (; 1
0  x.  (; 1 0  x.  A
) )  +  (; 1
0  x.  B ) )
133, 12eqtri 2210 . . . 4  |-  (; 1 0  x. ; A B )  =  ( (; 1 0  x.  (; 1 0  x.  A ) )  +  (; 1 0  x.  B
) )
146, 6, 8mulassi 7997 . . . . . . 7  |-  ( (; 1
0  x. ; 1 0 )  x.  A )  =  (; 1
0  x.  (; 1 0  x.  A
) )
1514eqcomi 2193 . . . . . 6  |-  (; 1 0  x.  (; 1 0  x.  A ) )  =  ( (; 1 0  x. ; 1 0 )  x.  A )
166sqvali 10634 . . . . . . . 8  |-  (; 1 0 ^ 2 )  =  (; 1 0  x. ; 1 0 )
1716eqcomi 2193 . . . . . . 7  |-  (; 1 0  x. ; 1 0 )  =  (; 1 0 ^ 2 )
1817oveq1i 5907 . . . . . 6  |-  ( (; 1
0  x. ; 1 0 )  x.  A )  =  ( (; 1 0 ^ 2 )  x.  A )
1915, 18eqtri 2210 . . . . 5  |-  (; 1 0  x.  (; 1 0  x.  A ) )  =  ( (; 1 0 ^ 2 )  x.  A )
2019oveq1i 5907 . . . 4  |-  ( (; 1
0  x.  (; 1 0  x.  A
) )  +  (; 1
0  x.  B ) )  =  ( ( (; 1 0 ^ 2 )  x.  A )  +  (; 1 0  x.  B
) )
2113, 20eqtri 2210 . . 3  |-  (; 1 0  x. ; A B )  =  ( ( (; 1 0 ^ 2 )  x.  A )  +  (; 1 0  x.  B
) )
2221oveq1i 5907 . 2  |-  ( (; 1
0  x. ; A B )  +  C )  =  ( ( ( (; 1 0 ^ 2 )  x.  A )  +  (; 1 0  x.  B
) )  +  C
)
231, 22eqtri 2210 1  |- ;; A B C  =  (
( ( (; 1 0 ^ 2 )  x.  A )  +  (; 1 0  x.  B
) )  +  C
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1364    e. wcel 2160  (class class class)co 5897   0cc0 7842   1c1 7843    + caddc 7845    x. cmul 7847   2c2 9001   NN0cn0 9207  ;cdc 9415   ^cexp 10553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-5 9012  df-6 9013  df-7 9014  df-8 9015  df-9 9016  df-n0 9208  df-z 9285  df-dec 9416  df-uz 9560  df-seqfrec 10479  df-exp 10554
This theorem is referenced by:  3dvds2dec  11906
  Copyright terms: Public domain W3C validator