Theorem 3dec 10729

Description: A "decimal constructor" which is used to build up "decimal integers" or "numeric terms" in base 10 with 3 "digits". (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3dec.a	|- A e. NN0
3dec.b	|- B e. NN0

Assertion

Ref	Expression
3dec	|- ;; A B C = ( ( ( (; 1 0 ^ 2 ) x. A ) + (; 1 0 x. B ) ) + C )

Proof of Theorem 3dec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 9418	. 2 |- ;; A B C = ( (; 1 0 x. ; A B ) + C )
2		dfdec10 9418	. . . . . 6 |- ; A B = ( (; 1 0 x. A ) + B )
3	2	oveq2i 5908	. . . . 5 |- (; 1 0 x. ; A B ) = (; 1 0 x. ( (; 1 0 x. A ) + B ) )
4		1nn 8961	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN
5	4	decnncl2 9438	. . . . . . 7 |- ; 1 0 e. NN
6	5	nncni 8960	. . . . . 6 |- ; 1 0 e. CC
7		3dec.a	. . . . . . . 8 |- A e. NN0
8	7	nn0cni 9219	. . . . . . 7 |- A e. CC
9	6, 8	mulcli 7993	. . . . . 6 |- (; 1 0 x. A ) e. CC
10		3dec.b	. . . . . . 7 |- B e. NN0
11	10	nn0cni 9219	. . . . . 6 |- B e. CC
12	6, 9, 11	adddii 7998	. . . . 5 |- (; 1 0 x. ( (; 1 0 x. A ) + B ) ) = ( (; 1 0 x. (; 1 0 x. A ) ) + (; 1 0 x. B ) )
13	3, 12	eqtri 2210	. . . 4 |- (; 1 0 x. ; A B ) = ( (; 1 0 x. (; 1 0 x. A ) ) + (; 1 0 x. B ) )
14	6, 6, 8	mulassi 7997	. . . . . . 7 |- ( (; 1 0 x. ; 1 0 ) x. A ) = (; 1 0 x. (; 1 0 x. A ) )
15	14	eqcomi 2193	. . . . . 6 |- (; 1 0 x. (; 1 0 x. A ) ) = ( (; 1 0 x. ; 1 0 ) x. A )
16	6	sqvali 10634	. . . . . . . 8 |- (; 1 0 ^ 2 ) = (; 1 0 x. ; 1 0 )
17	16	eqcomi 2193	. . . . . . 7 |- (; 1 0 x. ; 1 0 ) = (; 1 0 ^ 2 )
18	17	oveq1i 5907	. . . . . 6 |- ( (; 1 0 x. ; 1 0 ) x. A ) = ( (; 1 0 ^ 2 ) x. A )
19	15, 18	eqtri 2210	. . . . 5 |- (; 1 0 x. (; 1 0 x. A ) ) = ( (; 1 0 ^ 2 ) x. A )
20	19	oveq1i 5907	. . . 4 |- ( (; 1 0 x. (; 1 0 x. A ) ) + (; 1 0 x. B ) ) = ( ( (; 1 0 ^ 2 ) x. A ) + (; 1 0 x. B ) )
21	13, 20	eqtri 2210	. . 3 |- (; 1 0 x. ; A B ) = ( ( (; 1 0 ^ 2 ) x. A ) + (; 1 0 x. B ) )
22	21	oveq1i 5907	. 2 |- ( (; 1 0 x. ; A B ) + C ) = ( ( ( (; 1 0 ^ 2 ) x. A ) + (; 1 0 x. B ) ) + C )
23	1, 22	eqtri 2210	1 |- ;; A B C = ( ( ( (; 1 0 ^ 2 ) x. A ) + (; 1 0 x. B ) ) + C )

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2160  (class class class)co 5897   0cc0 7842   1c1 7843   + caddc 7845   x. cmul 7847   2c2 9001   NN0cn0 9207  ;cdc 9415   ^cexp 10553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-5 9012  df-6 9013  df-7 9014  df-8 9015  df-9 9016  df-n0 9208  df-z 9285  df-dec 9416  df-uz 9560  df-seqfrec 10479  df-exp 10554

This theorem is referenced by:  3dvds2dec  11906