ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  3dec Unicode version

Theorem 3dec 10641
Description: A "decimal constructor" which is used to build up "decimal integers" or "numeric terms" in base 10 with 3 "digits". (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3dec.a  |-  A  e. 
NN0
3dec.b  |-  B  e. 
NN0
Assertion
Ref Expression
3dec  |- ;; A B C  =  (
( ( (; 1 0 ^ 2 )  x.  A )  +  (; 1 0  x.  B
) )  +  C
)

Proof of Theorem 3dec
StepHypRef Expression
1 dfdec10 9339 . 2  |- ;; A B C  =  (
(; 1 0  x. ; A B )  +  C )
2 dfdec10 9339 . . . . . 6  |- ; A B  =  ( (; 1 0  x.  A
)  +  B )
32oveq2i 5862 . . . . 5  |-  (; 1 0  x. ; A B )  =  (; 1 0  x.  (
(; 1 0  x.  A
)  +  B ) )
4 1nn 8882 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
54decnncl2 9359 . . . . . . 7  |- ; 1 0  e.  NN
65nncni 8881 . . . . . 6  |- ; 1 0  e.  CC
7 3dec.a . . . . . . . 8  |-  A  e. 
NN0
87nn0cni 9140 . . . . . . 7  |-  A  e.  CC
96, 8mulcli 7918 . . . . . 6  |-  (; 1 0  x.  A
)  e.  CC
10 3dec.b . . . . . . 7  |-  B  e. 
NN0
1110nn0cni 9140 . . . . . 6  |-  B  e.  CC
126, 9, 11adddii 7923 . . . . 5  |-  (; 1 0  x.  (
(; 1 0  x.  A
)  +  B ) )  =  ( (; 1
0  x.  (; 1 0  x.  A
) )  +  (; 1
0  x.  B ) )
133, 12eqtri 2191 . . . 4  |-  (; 1 0  x. ; A B )  =  ( (; 1 0  x.  (; 1 0  x.  A ) )  +  (; 1 0  x.  B
) )
146, 6, 8mulassi 7922 . . . . . . 7  |-  ( (; 1
0  x. ; 1 0 )  x.  A )  =  (; 1
0  x.  (; 1 0  x.  A
) )
1514eqcomi 2174 . . . . . 6  |-  (; 1 0  x.  (; 1 0  x.  A ) )  =  ( (; 1 0  x. ; 1 0 )  x.  A )
166sqvali 10548 . . . . . . . 8  |-  (; 1 0 ^ 2 )  =  (; 1 0  x. ; 1 0 )
1716eqcomi 2174 . . . . . . 7  |-  (; 1 0  x. ; 1 0 )  =  (; 1 0 ^ 2 )
1817oveq1i 5861 . . . . . 6  |-  ( (; 1
0  x. ; 1 0 )  x.  A )  =  ( (; 1 0 ^ 2 )  x.  A )
1915, 18eqtri 2191 . . . . 5  |-  (; 1 0  x.  (; 1 0  x.  A ) )  =  ( (; 1 0 ^ 2 )  x.  A )
2019oveq1i 5861 . . . 4  |-  ( (; 1
0  x.  (; 1 0  x.  A
) )  +  (; 1
0  x.  B ) )  =  ( ( (; 1 0 ^ 2 )  x.  A )  +  (; 1 0  x.  B
) )
2113, 20eqtri 2191 . . 3  |-  (; 1 0  x. ; A B )  =  ( ( (; 1 0 ^ 2 )  x.  A )  +  (; 1 0  x.  B
) )
2221oveq1i 5861 . 2  |-  ( (; 1
0  x. ; A B )  +  C )  =  ( ( ( (; 1 0 ^ 2 )  x.  A )  +  (; 1 0  x.  B
) )  +  C
)
231, 22eqtri 2191 1  |- ;; A B C  =  (
( ( (; 1 0 ^ 2 )  x.  A )  +  (; 1 0  x.  B
) )  +  C
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1348    e. wcel 2141  (class class class)co 5851   0cc0 7767   1c1 7768    + caddc 7770    x. cmul 7772   2c2 8922   NN0cn0 9128  ;cdc 9336   ^cexp 10468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-mulrcl 7866  ax-addcom 7867  ax-mulcom 7868  ax-addass 7869  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-1rid 7874  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-precex 7877  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-apti 7882  ax-pre-ltadd 7883  ax-pre-mulgt0 7884  ax-pre-mulext 7885
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-reap 8487  df-ap 8494  df-div 8583  df-inn 8872  df-2 8930  df-3 8931  df-4 8932  df-5 8933  df-6 8934  df-7 8935  df-8 8936  df-9 8937  df-n0 9129  df-z 9206  df-dec 9337  df-uz 9481  df-seqfrec 10395  df-exp 10469
This theorem is referenced by:  3dvds2dec  11818
  Copyright terms: Public domain W3C validator