Theorem 3dec 10648

Description: A "decimal constructor" which is used to build up "decimal integers" or "numeric terms" in base 10 with 3 "digits". (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3dec.a	|- A e. NN0
3dec.b	|- B e. NN0

Assertion

Ref	Expression
3dec	|- ;; A B C = ( ( ( (; 1 0 ^ 2 ) x. A ) + (; 1 0 x. B ) ) + C )

Proof of Theorem 3dec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 9346	. 2 |- ;; A B C = ( (; 1 0 x. ; A B ) + C )
2		dfdec10 9346	. . . . . 6 |- ; A B = ( (; 1 0 x. A ) + B )
3	2	oveq2i 5864	. . . . 5 |- (; 1 0 x. ; A B ) = (; 1 0 x. ( (; 1 0 x. A ) + B ) )
4		1nn 8889	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN
5	4	decnncl2 9366	. . . . . . 7 |- ; 1 0 e. NN
6	5	nncni 8888	. . . . . 6 |- ; 1 0 e. CC
7		3dec.a	. . . . . . . 8 |- A e. NN0
8	7	nn0cni 9147	. . . . . . 7 |- A e. CC
9	6, 8	mulcli 7925	. . . . . 6 |- (; 1 0 x. A ) e. CC
10		3dec.b	. . . . . . 7 |- B e. NN0
11	10	nn0cni 9147	. . . . . 6 |- B e. CC
12	6, 9, 11	adddii 7930	. . . . 5 |- (; 1 0 x. ( (; 1 0 x. A ) + B ) ) = ( (; 1 0 x. (; 1 0 x. A ) ) + (; 1 0 x. B ) )
13	3, 12	eqtri 2191	. . . 4 |- (; 1 0 x. ; A B ) = ( (; 1 0 x. (; 1 0 x. A ) ) + (; 1 0 x. B ) )
14	6, 6, 8	mulassi 7929	. . . . . . 7 |- ( (; 1 0 x. ; 1 0 ) x. A ) = (; 1 0 x. (; 1 0 x. A ) )
15	14	eqcomi 2174	. . . . . 6 |- (; 1 0 x. (; 1 0 x. A ) ) = ( (; 1 0 x. ; 1 0 ) x. A )
16	6	sqvali 10555	. . . . . . . 8 |- (; 1 0 ^ 2 ) = (; 1 0 x. ; 1 0 )
17	16	eqcomi 2174	. . . . . . 7 |- (; 1 0 x. ; 1 0 ) = (; 1 0 ^ 2 )
18	17	oveq1i 5863	. . . . . 6 |- ( (; 1 0 x. ; 1 0 ) x. A ) = ( (; 1 0 ^ 2 ) x. A )
19	15, 18	eqtri 2191	. . . . 5 |- (; 1 0 x. (; 1 0 x. A ) ) = ( (; 1 0 ^ 2 ) x. A )
20	19	oveq1i 5863	. . . 4 |- ( (; 1 0 x. (; 1 0 x. A ) ) + (; 1 0 x. B ) ) = ( ( (; 1 0 ^ 2 ) x. A ) + (; 1 0 x. B ) )
21	13, 20	eqtri 2191	. . 3 |- (; 1 0 x. ; A B ) = ( ( (; 1 0 ^ 2 ) x. A ) + (; 1 0 x. B ) )
22	21	oveq1i 5863	. 2 |- ( (; 1 0 x. ; A B ) + C ) = ( ( ( (; 1 0 ^ 2 ) x. A ) + (; 1 0 x. B ) ) + C )
23	1, 22	eqtri 2191	1 |- ;; A B C = ( ( ( (; 1 0 ^ 2 ) x. A ) + (; 1 0 x. B ) ) + C )

Syntax hints:   = wceq 1348   e. wcel 2141  (class class class)co 5853   0cc0 7774   1c1 7775   + caddc 7777   x. cmul 7779   2c2 8929   NN0cn0 9135  ;cdc 9343   ^cexp 10475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-5 8940  df-6 8941  df-7 8942  df-8 8943  df-9 8944  df-n0 9136  df-z 9213  df-dec 9344  df-uz 9488  df-seqfrec 10402  df-exp 10476

This theorem is referenced by:  3dvds2dec  11825