Theorem numlt 9528

Description: Comparing two decimal integers (equal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numlt.1	|- T e. NN
numlt.2	|- A e. NN0
numlt.3	|- B e. NN0
numlt.4	|- C e. NN
numlt.5	|- B < C

Assertion

Ref	Expression
numlt	|- ( ( T x. A ) + B ) < ( ( T x. A ) + C )

Proof of Theorem numlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numlt.5	. 2 |- B < C
2		numlt.3	. . . 4 |- B e. NN0
3	2	nn0rei 9306	. . 3 |- B e. RR
4		numlt.4	. . . 4 |- C e. NN
5	4	nnrei 9045	. . 3 |- C e. RR
6		numlt.1	. . . . . 6 |- T e. NN
7	6	nnnn0i 9303	. . . . 5 |- T e. NN0
8		numlt.2	. . . . 5 |- A e. NN0
9	7, 8	nn0mulcli 9333	. . . 4 |- ( T x. A ) e. NN0
10	9	nn0rei 9306	. . 3 |- ( T x. A ) e. RR
11	3, 5, 10	ltadd2i 8493	. 2 |- ( B < C <-> ( ( T x. A ) + B ) < ( ( T x. A ) + C ) )
12	1, 11	mpbi 145	1 |- ( ( T x. A ) + B ) < ( ( T x. A ) + C )

Syntax hints:   e. wcel 2176   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944   + caddc 7928   x. cmul 7930   < clt 8107   NNcn 9036   NN0cn0 9295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-sub 8245  df-inn 9037  df-n0 9296

This theorem is referenced by:  numltc  9529  declt  9531