Theorem numlt 9367

Description: Comparing two decimal integers (equal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numlt.1	|- T e. NN
numlt.2	|- A e. NN0
numlt.3	|- B e. NN0
numlt.4	|- C e. NN
numlt.5	|- B < C

Assertion

Ref	Expression
numlt	|- ( ( T x. A ) + B ) < ( ( T x. A ) + C )

Proof of Theorem numlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numlt.5	. 2 |- B < C
2		numlt.3	. . . 4 |- B e. NN0
3	2	nn0rei 9146	. . 3 |- B e. RR
4		numlt.4	. . . 4 |- C e. NN
5	4	nnrei 8887	. . 3 |- C e. RR
6		numlt.1	. . . . . 6 |- T e. NN
7	6	nnnn0i 9143	. . . . 5 |- T e. NN0
8		numlt.2	. . . . 5 |- A e. NN0
9	7, 8	nn0mulcli 9173	. . . 4 |- ( T x. A ) e. NN0
10	9	nn0rei 9146	. . 3 |- ( T x. A ) e. RR
11	3, 5, 10	ltadd2i 8339	. 2 |- ( B < C <-> ( ( T x. A ) + B ) < ( ( T x. A ) + C ) )
12	1, 11	mpbi 144	1 |- ( ( T x. A ) + B ) < ( ( T x. A ) + C )

Syntax hints:   e. wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   + caddc 7777   x. cmul 7779   < clt 7954   NNcn 8878   NN0cn0 9135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-ltxr 7959  df-sub 8092  df-inn 8879  df-n0 9136

This theorem is referenced by:  numltc  9368  declt  9370