Theorem numlt 9751

Description: Comparing two decimal integers (equal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numlt.1	|- T e. NN
numlt.2	|- A e. NN0
numlt.3	|- B e. NN0
numlt.4	|- C e. NN
numlt.5	|- B < C

Assertion

Ref	Expression
numlt	|- ( ( T x. A ) + B ) < ( ( T x. A ) + C )

Proof of Theorem numlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numlt.5	. 2 |- B < C
2		numlt.3	. . . 4 |- B e. NN0
3	2	nn0rei 9524	. . 3 |- B e. RR
4		numlt.4	. . . 4 |- C e. NN
5	4	nnrei 9263	. . 3 |- C e. RR
6		numlt.1	. . . . . 6 |- T e. NN
7	6	nnnn0i 9521	. . . . 5 |- T e. NN0
8		numlt.2	. . . . 5 |- A e. NN0
9	7, 8	nn0mulcli 9551	. . . 4 |- ( T x. A ) e. NN0
10	9	nn0rei 9524	. . 3 |- ( T x. A ) e. RR
11	3, 5, 10	ltadd2i 8711	. 2 |- ( B < C <-> ( ( T x. A ) + B ) < ( ( T x. A ) + C ) )
12	1, 11	mpbi 145	1 |- ( ( T x. A ) + B ) < ( ( T x. A ) + C )

Syntax hints:   e. wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   + caddc 8146   x. cmul 8148   < clt 8324   NNcn 9254   NN0cn0 9513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-sub 8462  df-inn 9255  df-n0 9514

This theorem is referenced by:  numltc  9752  declt  9754