Theorem 10nn 9742

Description: 10 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Nov-2012.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
10nn	|- ; 1 0 e. NN

Proof of Theorem 10nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9p1e10 9729	. 2 |- ( 9 + 1 ) = ; 1 0
2		9nn 9423	. . 3 |- 9 e. NN
3		peano2nn 9266	. . 3 |- ( 9 e. NN -> ( 9 + 1 ) e. NN )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( 9 + 1 ) e. NN
5	1, 4	eqeltrri 2308	1 |- ; 1 0 e. NN

Syntax hints:   e. wcel 2205  (class class class)co 6058   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   NNcn 9254   9c9 9312  ;cdc 9727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-iota 5317  df-fv 5365  df-ov 6061  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-dec 9728

This theorem is referenced by:  10pos  9743  10re  9745  decnncl2  9750  declt  9754  decltc  9755  declti  9764  dec10p  9769  3dvds  12575  plendx  13497  pleid  13498  pleslid  13499  plendxnn  13500  imasvalstrd  13562  cnfldstr  14832