Theorem 10nn 9519

Description: 10 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Nov-2012.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
10nn	|- ; 1 0 e. NN

Proof of Theorem 10nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9p1e10 9506	. 2 |- ( 9 + 1 ) = ; 1 0
2		9nn 9205	. . 3 |- 9 e. NN
3		peano2nn 9048	. . 3 |- ( 9 e. NN -> ( 9 + 1 ) e. NN )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( 9 + 1 ) e. NN
5	1, 4	eqeltrri 2279	1 |- ; 1 0 e. NN

Syntax hints:   e. wcel 2176  (class class class)co 5944   0cc0 7925   1c1 7926   + caddc 7928   NNcn 9036   9c9 9094  ;cdc 9504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-cnre 8036

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-iota 5232  df-fv 5279  df-ov 5947  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-5 9098  df-6 9099  df-7 9100  df-8 9101  df-9 9102  df-dec 9505

This theorem is referenced by:  10pos  9520  10re  9522  decnncl2  9527  declt  9531  decltc  9532  declti  9541  dec10p  9546  3dvds  12175  plendx  13032  pleid  13033  pleslid  13034  plendxnn  13035  imasvalstrd  13102  cnfldstr  14320