Theorem 10nn 9593

Description: 10 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Nov-2012.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
10nn	|- ; 1 0 e. NN

Proof of Theorem 10nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9p1e10 9580	. 2 |- ( 9 + 1 ) = ; 1 0
2		9nn 9279	. . 3 |- 9 e. NN
3		peano2nn 9122	. . 3 |- ( 9 e. NN -> ( 9 + 1 ) e. NN )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( 9 + 1 ) e. NN
5	1, 4	eqeltrri 2303	1 |- ; 1 0 e. NN

Syntax hints:   e. wcel 2200  (class class class)co 6001   0cc0 7999   1c1 8000   + caddc 8002   NNcn 9110   9c9 9168  ;cdc 9578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-cnre 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6004  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-5 9172  df-6 9173  df-7 9174  df-8 9175  df-9 9176  df-dec 9579

This theorem is referenced by:  10pos  9594  10re  9596  decnncl2  9601  declt  9605  decltc  9606  declti  9615  dec10p  9620  3dvds  12375  plendx  13233  pleid  13234  pleslid  13235  plendxnn  13236  imasvalstrd  13303  cnfldstr  14522