Theorem 10nn 9472

Description: 10 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Nov-2012.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
10nn	|- ; 1 0 e. NN

Proof of Theorem 10nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9p1e10 9459	. 2 |- ( 9 + 1 ) = ; 1 0
2		9nn 9159	. . 3 |- 9 e. NN
3		peano2nn 9002	. . 3 |- ( 9 e. NN -> ( 9 + 1 ) e. NN )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( 9 + 1 ) e. NN
5	1, 4	eqeltrri 2270	1 |- ; 1 0 e. NN

Syntax hints:   e. wcel 2167  (class class class)co 5922   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   NNcn 8990   9c9 9048  ;cdc 9457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-cnre 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-iota 5219  df-fv 5266  df-ov 5925  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-9 9056  df-dec 9458

This theorem is referenced by:  10pos  9473  10re  9475  decnncl2  9480  declt  9484  decltc  9485  declti  9494  dec10p  9499  3dvds  12029  plendx  12877  pleid  12878  pleslid  12879  plendxnn  12880  cnfldstr  14114