Theorem dedekindeulemeu 13240

Description: Lemma for dedekindeu 13241. Part of proving uniqueness. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindeu.lss	|- ( ph -> L C_ RR )
dedekindeu.uss	|- ( ph -> U C_ RR )
dedekindeu.lm	|- ( ph -> E. q e. RR q e. L )
dedekindeu.um	|- ( ph -> E. r e. RR r e. U )
dedekindeu.lr	|- ( ph -> A. q e. RR ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
dedekindeu.ur	|- ( ph -> A. r e. RR ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
dedekindeu.disj	|- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
dedekindeu.loc	|- ( ph -> A. q e. RR A. r e. RR ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
dedekindeulemeu.are	|- ( ph -> A e. RR )
dedekindeulemeu.ac	|- ( ph -> ( A. q e. L q < A /\ A. r e. U A < r ) )
dedekindeulemeu.bre	|- ( ph -> B e. RR )
dedekindeulemeu.bc	|- ( ph -> ( A. q e. L q < B /\ A. r e. U B < r ) )
dedekindeulemeu.lt	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
dedekindeulemeu	|- ( ph -> F. )

Distinct variable groups:   A, q, r   B, r   L, q, r   U, q, r

Allowed substitution hints:   ph( r, q)   B( q)

Proof of Theorem dedekindeulemeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3985	. . . 4 |- ( q = A -> ( q < A <-> A < A ) )
2		dedekindeulemeu.ac	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. q e. L q < A /\ A. r e. U A < r ) )
3	2	simpld 111	. . . . 5 |- ( ph -> A. q e. L q < A )
4	3	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. L ) -> A. q e. L q < A )
5		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. L ) -> A e. L )
6	1, 4, 5	rspcdva 2835	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. L ) -> A < A )
7		dedekindeulemeu.are	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
8	7	ltnrd 8010	. . . 4 |- ( ph -> -. A < A )
9	8	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. L ) -> -. A < A )
10	6, 9	pm2.21fal 1363	. 2 |- ( ( ph /\ A e. L ) -> F. )
11		breq2 3986	. . . 4 |- ( r = B -> ( B < r <-> B < B ) )
12		dedekindeulemeu.bc	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. q e. L q < B /\ A. r e. U B < r ) )
13	12	simprd 113	. . . . 5 |- ( ph -> A. r e. U B < r )
14	13	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. U ) -> A. r e. U B < r )
15		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. U ) -> B e. U )
16	11, 14, 15	rspcdva 2835	. . 3 |- ( ( ph /\ B e. U ) -> B < B )
17		dedekindeulemeu.bre	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR )
18	17	ltnrd 8010	. . . 4 |- ( ph -> -. B < B )
19	18	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ B e. U ) -> -. B < B )
20	16, 19	pm2.21fal 1363	. 2 |- ( ( ph /\ B e. U ) -> F. )
21		dedekindeulemeu.lt	. . 3 |- ( ph -> A < B )
22		breq2 3986	. . . . 5 |- ( r = B -> ( A < r <-> A < B ) )
23		eleq1 2229	. . . . . 6 |- ( r = B -> ( r e. U <-> B e. U ) )
24	23	orbi2d 780	. . . . 5 |- ( r = B -> ( ( A e. L \/ r e. U ) <-> ( A e. L \/ B e. U ) ) )
25	22, 24	imbi12d 233	. . . 4 |- ( r = B -> ( ( A < r -> ( A e. L \/ r e. U ) ) <-> ( A < B -> ( A e. L \/ B e. U ) ) ) )
26		breq1 3985	. . . . . . 7 |- ( q = A -> ( q < r <-> A < r ) )
27		eleq1 2229	. . . . . . . 8 |- ( q = A -> ( q e. L <-> A e. L ) )
28	27	orbi1d 781	. . . . . . 7 |- ( q = A -> ( ( q e. L \/ r e. U ) <-> ( A e. L \/ r e. U ) ) )
29	26, 28	imbi12d 233	. . . . . 6 |- ( q = A -> ( ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) <-> ( A < r -> ( A e. L \/ r e. U ) ) ) )
30	29	ralbidv 2466	. . . . 5 |- ( q = A -> ( A. r e. RR ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) <-> A. r e. RR ( A < r -> ( A e. L \/ r e. U ) ) ) )
31		dedekindeu.loc	. . . . 5 |- ( ph -> A. q e. RR A. r e. RR ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
32	30, 31, 7	rspcdva 2835	. . . 4 |- ( ph -> A. r e. RR ( A < r -> ( A e. L \/ r e. U ) ) )
33	25, 32, 17	rspcdva 2835	. . 3 |- ( ph -> ( A < B -> ( A e. L \/ B e. U ) ) )
34	21, 33	mpd 13	. 2 |- ( ph -> ( A e. L \/ B e. U ) )
35	10, 20, 34	mpjaodan 788	1 |- ( ph -> F. )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1343   F. wfal 1348   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   i^i cin 3115   C_ wss 3116   (/)c0 3409   class class class wbr 3982   RRcr 7752   < clt 7933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-pre-ltirr 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-ltxr 7938

This theorem is referenced by:  dedekindeu  13241