Theorem dedekindeulemeu 15127

Description: Lemma for dedekindeu 15128. Part of proving uniqueness. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindeu.lss	|- ( ph -> L C_ RR )
dedekindeu.uss	|- ( ph -> U C_ RR )
dedekindeu.lm	|- ( ph -> E. q e. RR q e. L )
dedekindeu.um	|- ( ph -> E. r e. RR r e. U )
dedekindeu.lr	|- ( ph -> A. q e. RR ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
dedekindeu.ur	|- ( ph -> A. r e. RR ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
dedekindeu.disj	|- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
dedekindeu.loc	|- ( ph -> A. q e. RR A. r e. RR ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
dedekindeulemeu.are	|- ( ph -> A e. RR )
dedekindeulemeu.ac	|- ( ph -> ( A. q e. L q < A /\ A. r e. U A < r ) )
dedekindeulemeu.bre	|- ( ph -> B e. RR )
dedekindeulemeu.bc	|- ( ph -> ( A. q e. L q < B /\ A. r e. U B < r ) )
dedekindeulemeu.lt	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
dedekindeulemeu	|- ( ph -> F. )

Distinct variable groups:   A, q, r   B, r   L, q, r   U, q, r

Allowed substitution hints:   ph( r, q)   B( q)

Proof of Theorem dedekindeulemeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4048	. . . 4 |- ( q = A -> ( q < A <-> A < A ) )
2		dedekindeulemeu.ac	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. q e. L q < A /\ A. r e. U A < r ) )
3	2	simpld 112	. . . . 5 |- ( ph -> A. q e. L q < A )
4	3	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. L ) -> A. q e. L q < A )
5		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. L ) -> A e. L )
6	1, 4, 5	rspcdva 2882	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. L ) -> A < A )
7		dedekindeulemeu.are	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
8	7	ltnrd 8186	. . . 4 |- ( ph -> -. A < A )
9	8	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. L ) -> -. A < A )
10	6, 9	pm2.21fal 1393	. 2 |- ( ( ph /\ A e. L ) -> F. )
11		breq2 4049	. . . 4 |- ( r = B -> ( B < r <-> B < B ) )
12		dedekindeulemeu.bc	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. q e. L q < B /\ A. r e. U B < r ) )
13	12	simprd 114	. . . . 5 |- ( ph -> A. r e. U B < r )
14	13	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. U ) -> A. r e. U B < r )
15		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. U ) -> B e. U )
16	11, 14, 15	rspcdva 2882	. . 3 |- ( ( ph /\ B e. U ) -> B < B )
17		dedekindeulemeu.bre	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR )
18	17	ltnrd 8186	. . . 4 |- ( ph -> -. B < B )
19	18	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ B e. U ) -> -. B < B )
20	16, 19	pm2.21fal 1393	. 2 |- ( ( ph /\ B e. U ) -> F. )
21		dedekindeulemeu.lt	. . 3 |- ( ph -> A < B )
22		breq2 4049	. . . . 5 |- ( r = B -> ( A < r <-> A < B ) )
23		eleq1 2268	. . . . . 6 |- ( r = B -> ( r e. U <-> B e. U ) )
24	23	orbi2d 792	. . . . 5 |- ( r = B -> ( ( A e. L \/ r e. U ) <-> ( A e. L \/ B e. U ) ) )
25	22, 24	imbi12d 234	. . . 4 |- ( r = B -> ( ( A < r -> ( A e. L \/ r e. U ) ) <-> ( A < B -> ( A e. L \/ B e. U ) ) ) )
26		breq1 4048	. . . . . . 7 |- ( q = A -> ( q < r <-> A < r ) )
27		eleq1 2268	. . . . . . . 8 |- ( q = A -> ( q e. L <-> A e. L ) )
28	27	orbi1d 793	. . . . . . 7 |- ( q = A -> ( ( q e. L \/ r e. U ) <-> ( A e. L \/ r e. U ) ) )
29	26, 28	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( q = A -> ( ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) <-> ( A < r -> ( A e. L \/ r e. U ) ) ) )
30	29	ralbidv 2506	. . . . 5 |- ( q = A -> ( A. r e. RR ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) <-> A. r e. RR ( A < r -> ( A e. L \/ r e. U ) ) ) )
31		dedekindeu.loc	. . . . 5 |- ( ph -> A. q e. RR A. r e. RR ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
32	30, 31, 7	rspcdva 2882	. . . 4 |- ( ph -> A. r e. RR ( A < r -> ( A e. L \/ r e. U ) ) )
33	25, 32, 17	rspcdva 2882	. . 3 |- ( ph -> ( A < B -> ( A e. L \/ B e. U ) ) )
34	21, 33	mpd 13	. 2 |- ( ph -> ( A e. L \/ B e. U ) )
35	10, 20, 34	mpjaodan 800	1 |- ( ph -> F. )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   = wceq 1373   F. wfal 1378   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   i^i cin 3165   C_ wss 3166   (/)c0 3460   class class class wbr 4045   RRcr 7926   < clt 8109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-pre-ltirr 8039

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-xp 4682  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-ltxr 8114

This theorem is referenced by:  dedekindeu  15128