Theorem dedekindeulemeu 13240

Description: Lemma for dedekindeu 13241. Part of proving uniqueness. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindeu.lss	⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ ℝ)
dedekindeu.uss	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ ℝ)
dedekindeu.lm	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
dedekindeu.um	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
dedekindeu.lr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.ur	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.disj	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
dedekindeu.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
dedekindeulemeu.are	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dedekindeulemeu.ac	⊢ (𝜑 → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝐴 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝐴 < 𝑟))
dedekindeulemeu.bre	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dedekindeulemeu.bc	⊢ (𝜑 → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝐵 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝐵 < 𝑟))
dedekindeulemeu.lt	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dedekindeulemeu	⊢ (𝜑 → ⊥)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑟   𝐵,𝑟   𝐿,𝑞,𝑟   𝑈,𝑞,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟,𝑞)   𝐵(𝑞)

Proof of Theorem dedekindeulemeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3985	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 < 𝐴 ↔ 𝐴 < 𝐴))
2		dedekindeulemeu.ac	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝐴 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝐴 < 𝑟))
3	2	simpld 111	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝐴)
4	3	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) → ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝐴)
5		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) → 𝐴 ∈ 𝐿)
6	1, 4, 5	rspcdva 2835	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) → 𝐴 < 𝐴)
7		dedekindeulemeu.are	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	ltnrd 8010	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐴)
9	8	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
10	6, 9	pm2.21fal 1363	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) → ⊥)
11		breq2 3986	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝐵 → (𝐵 < 𝑟 ↔ 𝐵 < 𝐵))
12		dedekindeulemeu.bc	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝐵 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝐵 < 𝑟))
13	12	simprd 113	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝐵 < 𝑟)
14	13	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝐵 < 𝑟)
15		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → 𝐵 ∈ 𝑈)
16	11, 14, 15	rspcdva 2835	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → 𝐵 < 𝐵)
17		dedekindeulemeu.bre	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
18	17	ltnrd 8010	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐵)
19	18	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ¬ 𝐵 < 𝐵)
20	16, 19	pm2.21fal 1363	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ⊥)
21		dedekindeulemeu.lt	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
22		breq2 3986	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝐵 → (𝐴 < 𝑟 ↔ 𝐴 < 𝐵))
23		eleq1 2229	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝐵 → (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ 𝐵 ∈ 𝑈))
24	23	orbi2d 780	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈) ↔ (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝐵 ∈ 𝑈)))
25	22, 24	imbi12d 233	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝐵 → ((𝐴 < 𝑟 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) ↔ (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝐵 ∈ 𝑈))))
26		breq1 3985	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 < 𝑟 ↔ 𝐴 < 𝑟))
27		eleq1 2229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ 𝐴 ∈ 𝐿))
28	27	orbi1d 781	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → ((𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈) ↔ (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
29	26, 28	imbi12d 233	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → ((𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) ↔ (𝐴 < 𝑟 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈))))
30	29	ralbidv 2466	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝐴 < 𝑟 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈))))
31		dedekindeu.loc	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
32	30, 31, 7	rspcdva 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝐴 < 𝑟 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
33	25, 32, 17	rspcdva 2835	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝐵 ∈ 𝑈)))
34	21, 33	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝐵 ∈ 𝑈))
35	10, 20, 34	mpjaodan 788	1 ⊢ (𝜑 → ⊥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   = wceq 1343  ⊥wfal 1348   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444  ∃wrex 2445   ∩ cin 3115   ⊆ wss 3116  ∅c0 3409   class class class wbr 3982  ℝcr 7752   < clt 7933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-pre-ltirr 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-ltxr 7938

This theorem is referenced by:  dedekindeu  13241