Theorem dedekindeulemeu 13394

Description: Lemma for dedekindeu 13395. Part of proving uniqueness. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindeu.lss	⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ ℝ)
dedekindeu.uss	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ ℝ)
dedekindeu.lm	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
dedekindeu.um	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
dedekindeu.lr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.ur	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.disj	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
dedekindeu.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
dedekindeulemeu.are	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dedekindeulemeu.ac	⊢ (𝜑 → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝐴 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝐴 < 𝑟))
dedekindeulemeu.bre	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dedekindeulemeu.bc	⊢ (𝜑 → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝐵 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝐵 < 𝑟))
dedekindeulemeu.lt	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dedekindeulemeu	⊢ (𝜑 → ⊥)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑟   𝐵,𝑟   𝐿,𝑞,𝑟   𝑈,𝑞,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟,𝑞)   𝐵(𝑞)

Proof of Theorem dedekindeulemeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3992	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 < 𝐴 ↔ 𝐴 < 𝐴))
2		dedekindeulemeu.ac	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝐴 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝐴 < 𝑟))
3	2	simpld 111	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝐴)
4	3	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) → ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝐴)
5		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) → 𝐴 ∈ 𝐿)
6	1, 4, 5	rspcdva 2839	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) → 𝐴 < 𝐴)
7		dedekindeulemeu.are	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	ltnrd 8031	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐴)
9	8	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
10	6, 9	pm2.21fal 1368	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) → ⊥)
11		breq2 3993	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝐵 → (𝐵 < 𝑟 ↔ 𝐵 < 𝐵))
12		dedekindeulemeu.bc	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝐵 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝐵 < 𝑟))
13	12	simprd 113	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝐵 < 𝑟)
14	13	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝐵 < 𝑟)
15		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → 𝐵 ∈ 𝑈)
16	11, 14, 15	rspcdva 2839	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → 𝐵 < 𝐵)
17		dedekindeulemeu.bre	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
18	17	ltnrd 8031	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐵)
19	18	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ¬ 𝐵 < 𝐵)
20	16, 19	pm2.21fal 1368	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ⊥)
21		dedekindeulemeu.lt	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
22		breq2 3993	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝐵 → (𝐴 < 𝑟 ↔ 𝐴 < 𝐵))
23		eleq1 2233	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝐵 → (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ 𝐵 ∈ 𝑈))
24	23	orbi2d 785	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈) ↔ (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝐵 ∈ 𝑈)))
25	22, 24	imbi12d 233	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝐵 → ((𝐴 < 𝑟 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) ↔ (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝐵 ∈ 𝑈))))
26		breq1 3992	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 < 𝑟 ↔ 𝐴 < 𝑟))
27		eleq1 2233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ 𝐴 ∈ 𝐿))
28	27	orbi1d 786	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → ((𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈) ↔ (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
29	26, 28	imbi12d 233	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → ((𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) ↔ (𝐴 < 𝑟 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈))))
30	29	ralbidv 2470	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝐴 < 𝑟 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈))))
31		dedekindeu.loc	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
32	30, 31, 7	rspcdva 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝐴 < 𝑟 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
33	25, 32, 17	rspcdva 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝐵 ∈ 𝑈)))
34	21, 33	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝐵 ∈ 𝑈))
35	10, 20, 34	mpjaodan 793	1 ⊢ (𝜑 → ⊥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 703   = wceq 1348  ⊥wfal 1353   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  ∃wrex 2449   ∩ cin 3120   ⊆ wss 3121  ∅c0 3414   class class class wbr 3989  ℝcr 7773   < clt 7954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-pre-ltirr 7886

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-ltxr 7959

This theorem is referenced by:  dedekindeu  13395