Theorem dedekindeulemeu 15345

Description: Lemma for dedekindeu 15346. Part of proving uniqueness. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindeu.lss	⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ ℝ)
dedekindeu.uss	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ ℝ)
dedekindeu.lm	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
dedekindeu.um	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
dedekindeu.lr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.ur	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.disj	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
dedekindeu.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
dedekindeulemeu.are	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dedekindeulemeu.ac	⊢ (𝜑 → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝐴 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝐴 < 𝑟))
dedekindeulemeu.bre	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dedekindeulemeu.bc	⊢ (𝜑 → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝐵 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝐵 < 𝑟))
dedekindeulemeu.lt	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dedekindeulemeu	⊢ (𝜑 → ⊥)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑟   𝐵,𝑟   𝐿,𝑞,𝑟   𝑈,𝑞,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟,𝑞)   𝐵(𝑞)

Proof of Theorem dedekindeulemeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4091	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 < 𝐴 ↔ 𝐴 < 𝐴))
2		dedekindeulemeu.ac	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝐴 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝐴 < 𝑟))
3	2	simpld 112	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝐴)
4	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) → ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝐴)
5		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) → 𝐴 ∈ 𝐿)
6	1, 4, 5	rspcdva 2915	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) → 𝐴 < 𝐴)
7		dedekindeulemeu.are	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	ltnrd 8290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐴)
9	8	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
10	6, 9	pm2.21fal 1417	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) → ⊥)
11		breq2 4092	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝐵 → (𝐵 < 𝑟 ↔ 𝐵 < 𝐵))
12		dedekindeulemeu.bc	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝐵 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝐵 < 𝑟))
13	12	simprd 114	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝐵 < 𝑟)
14	13	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝐵 < 𝑟)
15		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → 𝐵 ∈ 𝑈)
16	11, 14, 15	rspcdva 2915	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → 𝐵 < 𝐵)
17		dedekindeulemeu.bre	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
18	17	ltnrd 8290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐵)
19	18	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ¬ 𝐵 < 𝐵)
20	16, 19	pm2.21fal 1417	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ⊥)
21		dedekindeulemeu.lt	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
22		breq2 4092	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝐵 → (𝐴 < 𝑟 ↔ 𝐴 < 𝐵))
23		eleq1 2294	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝐵 → (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ 𝐵 ∈ 𝑈))
24	23	orbi2d 797	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈) ↔ (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝐵 ∈ 𝑈)))
25	22, 24	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝐵 → ((𝐴 < 𝑟 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) ↔ (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝐵 ∈ 𝑈))))
26		breq1 4091	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 < 𝑟 ↔ 𝐴 < 𝑟))
27		eleq1 2294	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ 𝐴 ∈ 𝐿))
28	27	orbi1d 798	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → ((𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈) ↔ (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
29	26, 28	imbi12d 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → ((𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) ↔ (𝐴 < 𝑟 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈))))
30	29	ralbidv 2532	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝐴 < 𝑟 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈))))
31		dedekindeu.loc	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
32	30, 31, 7	rspcdva 2915	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝐴 < 𝑟 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
33	25, 32, 17	rspcdva 2915	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝐵 ∈ 𝑈)))
34	21, 33	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝐵 ∈ 𝑈))
35	10, 20, 34	mpjaodan 805	1 ⊢ (𝜑 → ⊥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715   = wceq 1397  ⊥wfal 1402   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ∃wrex 2511   ∩ cin 3199   ⊆ wss 3200  ∅c0 3494   class class class wbr 4088  ℝcr 8030   < clt 8213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-pre-ltirr 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218

This theorem is referenced by:  dedekindeu  15346