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Theorem dedekindeulemlu 12778
Description: Lemma for dedekindeu 12780. There is a number which separates the lower and upper cuts. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindeu.lss  |-  ( ph  ->  L  C_  RR )
dedekindeu.uss  |-  ( ph  ->  U  C_  RR )
dedekindeu.lm  |-  ( ph  ->  E. q  e.  RR  q  e.  L )
dedekindeu.um  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  r  e.  U )
dedekindeu.lr  |-  ( ph  ->  A. q  e.  RR  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
dedekindeu.ur  |-  ( ph  ->  A. r  e.  RR  ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
dedekindeu.disj  |-  ( ph  ->  ( L  i^i  U
)  =  (/) )
dedekindeu.loc  |-  ( ph  ->  A. q  e.  RR  A. r  e.  RR  (
q  <  r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U )
) )
Assertion
Ref Expression
dedekindeulemlu  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
Distinct variable groups:    L, q, r, x    U, q, r    ph, q,
r, x
Allowed substitution hint:    U( x)

Proof of Theorem dedekindeulemlu
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dedekindeu.lss . . 3  |-  ( ph  ->  L  C_  RR )
2 dedekindeu.uss . . 3  |-  ( ph  ->  U  C_  RR )
3 dedekindeu.lm . . 3  |-  ( ph  ->  E. q  e.  RR  q  e.  L )
4 dedekindeu.um . . 3  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  r  e.  U )
5 dedekindeu.lr . . 3  |-  ( ph  ->  A. q  e.  RR  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
6 dedekindeu.ur . . 3  |-  ( ph  ->  A. r  e.  RR  ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
7 dedekindeu.disj . . 3  |-  ( ph  ->  ( L  i^i  U
)  =  (/) )
8 dedekindeu.loc . . 3  |-  ( ph  ->  A. q  e.  RR  A. r  e.  RR  (
q  <  r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U )
) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8dedekindeulemlub 12777 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )
10 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  ->  q  e.  L )
111ad3antrrr 483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  ->  L  C_  RR )
1211, 10sseldd 3098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  ->  q  e.  RR )
13 rsp 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. q  e.  RR  (
q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r )  ->  ( q  e.  RR  ->  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) ) )
145, 13syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( q  e.  RR  ->  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) ) )
1514ad3antrrr 483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  ->  ( q  e.  RR  ->  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) ) )
1612, 15mpd 13 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  ->  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
1710, 16mpbid 146 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  ->  E. r  e.  L  q  <  r )
1812adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  /\  ( r  e.  L  /\  q  <  r ) )  ->  q  e.  RR )
1911adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  /\  ( r  e.  L  /\  q  <  r ) )  ->  L  C_  RR )
20 simprl 520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  /\  ( r  e.  L  /\  q  <  r ) )  ->  r  e.  L )
2119, 20sseldd 3098 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  /\  ( r  e.  L  /\  q  <  r ) )  ->  r  e.  RR )
22 simp-4r 531 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  /\  ( r  e.  L  /\  q  <  r ) )  ->  x  e.  RR )
23 simprr 521 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  /\  ( r  e.  L  /\  q  <  r ) )  ->  q  <  r )
24 breq2 3933 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  r  ->  (
x  <  y  <->  x  <  r ) )
2524notbid 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  r  ->  ( -.  x  <  y  <->  -.  x  <  r ) )
26 simprl 520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  ->  A. y  e.  L  -.  x  <  y )
2726ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  /\  ( r  e.  L  /\  q  <  r ) )  ->  A. y  e.  L  -.  x  <  y )
2825, 27, 20rspcdva 2794 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  /\  ( r  e.  L  /\  q  <  r ) )  ->  -.  x  <  r )
2921, 22, 28nltled 7890 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  /\  ( r  e.  L  /\  q  <  r ) )  ->  r  <_  x )
3018, 21, 22, 23, 29ltletrd 8192 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  /\  ( r  e.  L  /\  q  <  r ) )  ->  q  <  x )
3117, 30rexlimddv 2554 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  q  e.  L )  ->  q  <  x )
3231ralrimiva 2505 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  ->  A. q  e.  L  q  <  x )
33 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  ->  r  e.  U )
34 simplll 522 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  ->  ph )
3534, 2syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  ->  U  C_  RR )
3635, 33sseldd 3098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  ->  r  e.  RR )
37 rsp 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. r  e.  RR  (
r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r )  ->  ( r  e.  RR  ->  ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) ) )
386, 37syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( r  e.  RR  ->  ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) ) )
3934, 36, 38sylc 62 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  ->  ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
4033, 39mpbid 146 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  ->  E. q  e.  U  q  <  r )
41 simp-4r 531 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  ->  x  e.  RR )
4235adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  ->  U  C_  RR )
43 simprl 520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  ->  q  e.  U )
4442, 43sseldd 3098 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  ->  q  e.  RR )
4536adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  ->  r  e.  RR )
4643adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  (
q  e.  U  /\  q  <  r ) )  /\  q  <  x
)  ->  q  e.  U )
4734ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  (
q  e.  U  /\  q  <  r ) )  /\  q  <  x
)  ->  ph )
48 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  (
q  e.  U  /\  q  <  r ) )  /\  q  <  x
)  ->  q  <  x )
49 breq1 3932 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  q  ->  (
y  <  x  <->  q  <  x ) )
50 breq1 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  q  ->  (
y  <  z  <->  q  <  z ) )
5150rexbidv 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  q  ->  ( E. z  e.  L  y  <  z  <->  E. z  e.  L  q  <  z ) )
5249, 51imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  q  ->  (
( y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z )  <->  ( q  <  x  ->  E. z  e.  L  q  <  z ) ) )
53 simprr 521 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  ->  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) )
5453ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  (
q  e.  U  /\  q  <  r ) )  /\  q  <  x
)  ->  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) )
5544adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  (
q  e.  U  /\  q  <  r ) )  /\  q  <  x
)  ->  q  e.  RR )
5652, 54, 55rspcdva 2794 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  (
q  e.  U  /\  q  <  r ) )  /\  q  <  x
)  ->  ( q  <  x  ->  E. z  e.  L  q  <  z ) )
5748, 56mpd 13 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  (
q  e.  U  /\  q  <  r ) )  /\  q  <  x
)  ->  E. z  e.  L  q  <  z )
58 breq2 3933 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  r  ->  (
q  <  z  <->  q  <  r ) )
5958cbvrexv 2655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. z  e.  L  q  <  z  <->  E. r  e.  L  q  <  r )
6057, 59sylib 121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  (
q  e.  U  /\  q  <  r ) )  /\  q  <  x
)  ->  E. r  e.  L  q  <  r )
6147, 55, 14sylc 62 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  (
q  e.  U  /\  q  <  r ) )  /\  q  <  x
)  ->  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
6260, 61mpbird 166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  (
q  e.  U  /\  q  <  r ) )  /\  q  <  x
)  ->  q  e.  L )
63 disj 3411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  i^i  U )  =  (/)  <->  A. q  e.  L  -.  q  e.  U
)
647, 63sylib 121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. q  e.  L  -.  q  e.  U
)
6564r19.21bi 2520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  L )  ->  -.  q  e.  U )
6647, 62, 65syl2anc 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  (
q  e.  U  /\  q  <  r ) )  /\  q  <  x
)  ->  -.  q  e.  U )
6746, 66pm2.65da 650 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  ->  -.  q  <  x )
6841, 44, 67nltled 7890 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  ->  x  <_  q )
69 simprr 521 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  ->  q  <  r )
7041, 44, 45, 68, 69lelttrd 7894 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  /\  ( q  e.  U  /\  q  <  r ) )  ->  x  <  r )
7140, 70rexlimddv 2554 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  /\  r  e.  U )  ->  x  <  r )
7271ralrimiva 2505 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  ->  A. r  e.  U  x  <  r )
7332, 72jca 304 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )  ->  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
7473ex 114 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) )  ->  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r
) ) )
7574reximdva 2534 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  RR  ( A. y  e.  L  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r
) ) )
769, 75mpd 13 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 697    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417    i^i cin 3070    C_ wss 3071   (/)c0 3363   class class class wbr 3929   RRcr 7626    < clt 7807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-suploc 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813
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