Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dedekindeulemlu Unicode version

Theorem dedekindeulemlu 12778
 Description: Lemma for dedekindeu 12780. There is a number which separates the lower and upper cuts. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindeu.lss
dedekindeu.uss
dedekindeu.lm
dedekindeu.um
dedekindeu.lr
dedekindeu.ur
dedekindeu.disj
dedekindeu.loc
Assertion
Ref Expression
dedekindeulemlu
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem dedekindeulemlu
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dedekindeu.lss . . 3
2 dedekindeu.uss . . 3
3 dedekindeu.lm . . 3
4 dedekindeu.um . . 3
5 dedekindeu.lr . . 3
6 dedekindeu.ur . . 3
7 dedekindeu.disj . . 3
8 dedekindeu.loc . . 3
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8dedekindeulemlub 12777 . 2
10 simpr 109 . . . . . . . 8
111ad3antrrr 483 . . . . . . . . . 10
1211, 10sseldd 3098 . . . . . . . . 9
13 rsp 2480 . . . . . . . . . . 11
145, 13syl 14 . . . . . . . . . 10
1514ad3antrrr 483 . . . . . . . . 9
1612, 15mpd 13 . . . . . . . 8
1710, 16mpbid 146 . . . . . . 7
1812adantr 274 . . . . . . . 8
1911adantr 274 . . . . . . . . 9
20 simprl 520 . . . . . . . . 9
2119, 20sseldd 3098 . . . . . . . 8
22 simp-4r 531 . . . . . . . 8
23 simprr 521 . . . . . . . 8
24 breq2 3933 . . . . . . . . . . 11
2524notbid 656 . . . . . . . . . 10
26 simprl 520 . . . . . . . . . . 11
2726ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10
2825, 27, 20rspcdva 2794 . . . . . . . . 9
2921, 22, 28nltled 7890 . . . . . . . 8
3018, 21, 22, 23, 29ltletrd 8192 . . . . . . 7
3117, 30rexlimddv 2554 . . . . . 6
3231ralrimiva 2505 . . . . 5
33 simpr 109 . . . . . . . 8
34 simplll 522 . . . . . . . . 9
3534, 2syl 14 . . . . . . . . . 10
3635, 33sseldd 3098 . . . . . . . . 9
37 rsp 2480 . . . . . . . . . 10
386, 37syl 14 . . . . . . . . 9
3934, 36, 38sylc 62 . . . . . . . 8
4033, 39mpbid 146 . . . . . . 7
41 simp-4r 531 . . . . . . . 8
4235adantr 274 . . . . . . . . 9
43 simprl 520 . . . . . . . . 9
4442, 43sseldd 3098 . . . . . . . 8
4536adantr 274 . . . . . . . 8
4643adantr 274 . . . . . . . . . 10
4734ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11
48 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14
49 breq1 3932 . . . . . . . . . . . . . . . 16
50 breq1 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5150rexbidv 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5249, 51imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . 15
53 simprr 521 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5453ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15
5544adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15
5652, 54, 55rspcdva 2794 . . . . . . . . . . . . . 14
5748, 56mpd 13 . . . . . . . . . . . . 13
58 breq2 3933 . . . . . . . . . . . . . 14
5958cbvrexv 2655 . . . . . . . . . . . . 13
6057, 59sylib 121 . . . . . . . . . . . 12
6147, 55, 14sylc 62 . . . . . . . . . . . 12
6260, 61mpbird 166 . . . . . . . . . . 11
63 disj 3411 . . . . . . . . . . . . 13
647, 63sylib 121 . . . . . . . . . . . 12
6564r19.21bi 2520 . . . . . . . . . . 11
6647, 62, 65syl2anc 408 . . . . . . . . . 10
6746, 66pm2.65da 650 . . . . . . . . 9
6841, 44, 67nltled 7890 . . . . . . . 8
69 simprr 521 . . . . . . . 8
7041, 44, 45, 68, 69lelttrd 7894 . . . . . . 7
7140, 70rexlimddv 2554 . . . . . 6
7271ralrimiva 2505 . . . . 5
7332, 72jca 304 . . . 4
7473ex 114 . . 3
7574reximdva 2534 . 2
769, 75mpd 13 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wb 104   wo 697   wceq 1331   wcel 1480  wral 2416  wrex 2417   cin 3070   wss 3071  c0 3363   class class class wbr 3929  cr 7626   clt 7807 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-suploc 7748 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813 This theorem is referenced by:  dedekindeu  12780
 Copyright terms: Public domain W3C validator