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Theorem dedekindeu 13012
Description: A Dedekind cut identifies a unique real number. Similar to df-inp 7386 except that the the Dedekind cut is formed by sets of reals (rather than positive rationals). But in both cases the defining property of a Dedekind cut is that it is inhabited (bounded), rounded, disjoint, and located. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindeu.lss  |-  ( ph  ->  L  C_  RR )
dedekindeu.uss  |-  ( ph  ->  U  C_  RR )
dedekindeu.lm  |-  ( ph  ->  E. q  e.  RR  q  e.  L )
dedekindeu.um  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  r  e.  U )
dedekindeu.lr  |-  ( ph  ->  A. q  e.  RR  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
dedekindeu.ur  |-  ( ph  ->  A. r  e.  RR  ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
dedekindeu.disj  |-  ( ph  ->  ( L  i^i  U
)  =  (/) )
dedekindeu.loc  |-  ( ph  ->  A. q  e.  RR  A. r  e.  RR  (
q  <  r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U )
) )
Assertion
Ref Expression
dedekindeu  |-  ( ph  ->  E! x  e.  RR  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
Distinct variable groups:    L, q, r, x    U, q, r, x    ph, q, r, x

Proof of Theorem dedekindeu
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dedekindeu.lss . . 3  |-  ( ph  ->  L  C_  RR )
2 dedekindeu.uss . . 3  |-  ( ph  ->  U  C_  RR )
3 dedekindeu.lm . . 3  |-  ( ph  ->  E. q  e.  RR  q  e.  L )
4 dedekindeu.um . . 3  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  r  e.  U )
5 dedekindeu.lr . . 3  |-  ( ph  ->  A. q  e.  RR  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
6 dedekindeu.ur . . 3  |-  ( ph  ->  A. r  e.  RR  ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
7 dedekindeu.disj . . 3  |-  ( ph  ->  ( L  i^i  U
)  =  (/) )
8 dedekindeu.loc . . 3  |-  ( ph  ->  A. q  e.  RR  A. r  e.  RR  (
q  <  r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U )
) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8dedekindeulemlu 13010 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
101ad4antr 486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  ->  L  C_  RR )
112ad4antr 486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  ->  U  C_  RR )
123ad4antr 486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  ->  E. q  e.  RR  q  e.  L
)
134ad4antr 486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  ->  E. r  e.  RR  r  e.  U
)
145ad4antr 486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  ->  A. q  e.  RR  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
156ad4antr 486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  ->  A. r  e.  RR  ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
167ad4antr 486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  ->  ( L  i^i  U )  =  (/) )
178ad4antr 486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  ->  A. q  e.  RR  A. r  e.  RR  ( q  < 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) )
18 simprl 521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  ->  x  e.  RR )
1918ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  ->  x  e.  RR )
2019adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  ->  x  e.  RR )
21 simprl 521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  ->  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r
) )
2221ad2antrr 480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  ->  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
23 simprr 522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
y  e.  RR )
2423ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  ->  y  e.  RR )
2524adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  ->  y  e.  RR )
26 simprr 522 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  ->  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r
) )
2726ad2antrr 480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  ->  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )
28 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  ->  x  <  y )
2910, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 22, 25, 27, 28dedekindeulemeu 13011 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  -> F.  )
301ad4antr 486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  ->  L  C_  RR )
312ad4antr 486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  ->  U  C_  RR )
323ad4antr 486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  ->  E. q  e.  RR  q  e.  L
)
334ad4antr 486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  ->  E. r  e.  RR  r  e.  U
)
345ad4antr 486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  ->  A. q  e.  RR  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
356ad4antr 486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  ->  A. r  e.  RR  ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
367ad4antr 486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  ->  ( L  i^i  U )  =  (/) )
378ad4antr 486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  ->  A. q  e.  RR  A. r  e.  RR  ( q  < 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) )
3824adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  ->  y  e.  RR )
3926ad2antrr 480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  ->  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )
4019adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  ->  x  e.  RR )
4121ad2antrr 480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  ->  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
42 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  ->  y  <  x )
4330, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42dedekindeulemeu 13011 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  -> F.  )
44 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  ->  x #  y )
45 reaplt 8463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x #  y  <->  ( x  <  y  \/  y  < 
x ) ) )
4619, 24, 45syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  ->  ( x #  y  <-> 
( x  <  y  \/  y  <  x ) ) )
4744, 46mpbid 146 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  ->  ( x  < 
y  \/  y  < 
x ) )
4829, 43, 47mpjaodan 788 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  -> F.  )
4948inegd 1354 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  ->  -.  x #  y
)
50 simplrl 525 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  ->  x  e.  RR )
5150recnd 7906 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  ->  x  e.  CC )
52 simplrr 526 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  ->  y  e.  RR )
5352recnd 7906 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  ->  y  e.  CC )
54 apti 8497 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  =  y  <->  -.  x #  y )
)
5551, 53, 54syl2anc 409 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  ->  ( x  =  y  <->  -.  x #  y
) )
5649, 55mpbird 166 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  ->  x  =  y )
5756ex 114 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  ->  x  =  y ) )
5857ralrimivva 2539 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  (
( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r
)  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  ->  x  =  y ) )
59 breq2 3969 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
q  <  x  <->  q  <  y ) )
6059ralbidv 2457 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A. q  e.  L  q  <  x  <->  A. q  e.  L  q  <  y ) )
61 breq1 3968 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <  r  <->  y  <  r ) )
6261ralbidv 2457 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A. r  e.  U  x  <  r  <->  A. r  e.  U  y  <  r ) )
6360, 62anbi12d 465 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  <->  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )
6463rmo4 2905 . . 3  |-  ( E* x  e.  RR  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  <->  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  ->  x  =  y )
)
6558, 64sylibr 133 . 2  |-  ( ph  ->  E* x  e.  RR  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
66 reu5 2669 . 2  |-  ( E! x  e.  RR  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  <->  ( E. x  e.  RR  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  E* x  e.  RR  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )
679, 65, 66sylanbrc 414 1  |-  ( ph  ->  E! x  e.  RR  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 698    = wceq 1335   F. wfal 1340    e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436   E!wreu 2437   E*wrmo 2438    i^i cin 3101    C_ wss 3102   (/)c0 3394   class class class wbr 3965   CCcc 7730   RRcr 7731    < clt 7912   # cap 8456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-suploc 7853
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457
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