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Theorem dedekindeu 13395
Description: A Dedekind cut identifies a unique real number. Similar to df-inp 7428 except that the the Dedekind cut is formed by sets of reals (rather than positive rationals). But in both cases the defining property of a Dedekind cut is that it is inhabited (bounded), rounded, disjoint, and located. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindeu.lss  |-  ( ph  ->  L  C_  RR )
dedekindeu.uss  |-  ( ph  ->  U  C_  RR )
dedekindeu.lm  |-  ( ph  ->  E. q  e.  RR  q  e.  L )
dedekindeu.um  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  r  e.  U )
dedekindeu.lr  |-  ( ph  ->  A. q  e.  RR  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
dedekindeu.ur  |-  ( ph  ->  A. r  e.  RR  ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
dedekindeu.disj  |-  ( ph  ->  ( L  i^i  U
)  =  (/) )
dedekindeu.loc  |-  ( ph  ->  A. q  e.  RR  A. r  e.  RR  (
q  <  r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U )
) )
Assertion
Ref Expression
dedekindeu  |-  ( ph  ->  E! x  e.  RR  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
Distinct variable groups:    L, q, r, x    U, q, r, x    ph, q, r, x

Proof of Theorem dedekindeu
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dedekindeu.lss . . 3  |-  ( ph  ->  L  C_  RR )
2 dedekindeu.uss . . 3  |-  ( ph  ->  U  C_  RR )
3 dedekindeu.lm . . 3  |-  ( ph  ->  E. q  e.  RR  q  e.  L )
4 dedekindeu.um . . 3  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  r  e.  U )
5 dedekindeu.lr . . 3  |-  ( ph  ->  A. q  e.  RR  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
6 dedekindeu.ur . . 3  |-  ( ph  ->  A. r  e.  RR  ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
7 dedekindeu.disj . . 3  |-  ( ph  ->  ( L  i^i  U
)  =  (/) )
8 dedekindeu.loc . . 3  |-  ( ph  ->  A. q  e.  RR  A. r  e.  RR  (
q  <  r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U )
) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8dedekindeulemlu 13393 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
101ad4antr 491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  ->  L  C_  RR )
112ad4antr 491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  ->  U  C_  RR )
123ad4antr 491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  ->  E. q  e.  RR  q  e.  L
)
134ad4antr 491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  ->  E. r  e.  RR  r  e.  U
)
145ad4antr 491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  ->  A. q  e.  RR  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
156ad4antr 491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  ->  A. r  e.  RR  ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
167ad4antr 491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  ->  ( L  i^i  U )  =  (/) )
178ad4antr 491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  ->  A. q  e.  RR  A. r  e.  RR  ( q  < 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) )
18 simprl 526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  ->  x  e.  RR )
1918ad2antrr 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  ->  x  e.  RR )
2019adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  ->  x  e.  RR )
21 simprl 526 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  ->  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r
) )
2221ad2antrr 485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  ->  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
23 simprr 527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
y  e.  RR )
2423ad2antrr 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  ->  y  e.  RR )
2524adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  ->  y  e.  RR )
26 simprr 527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  ->  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r
) )
2726ad2antrr 485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  ->  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )
28 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  ->  x  <  y )
2910, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 22, 25, 27, 28dedekindeulemeu 13394 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  -> F.  )
301ad4antr 491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  ->  L  C_  RR )
312ad4antr 491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  ->  U  C_  RR )
323ad4antr 491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  ->  E. q  e.  RR  q  e.  L
)
334ad4antr 491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  ->  E. r  e.  RR  r  e.  U
)
345ad4antr 491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  ->  A. q  e.  RR  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
356ad4antr 491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  ->  A. r  e.  RR  ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
367ad4antr 491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  ->  ( L  i^i  U )  =  (/) )
378ad4antr 491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  ->  A. q  e.  RR  A. r  e.  RR  ( q  < 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) )
3824adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  ->  y  e.  RR )
3926ad2antrr 485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  ->  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )
4019adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  ->  x  e.  RR )
4121ad2antrr 485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  ->  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
42 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  ->  y  <  x )
4330, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42dedekindeulemeu 13394 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  -> F.  )
44 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  ->  x #  y )
45 reaplt 8507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x #  y  <->  ( x  <  y  \/  y  < 
x ) ) )
4619, 24, 45syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  ->  ( x #  y  <-> 
( x  <  y  \/  y  <  x ) ) )
4744, 46mpbid 146 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  ->  ( x  < 
y  \/  y  < 
x ) )
4829, 43, 47mpjaodan 793 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  -> F.  )
4948inegd 1367 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  ->  -.  x #  y
)
50 simplrl 530 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  ->  x  e.  RR )
5150recnd 7948 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  ->  x  e.  CC )
52 simplrr 531 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  ->  y  e.  RR )
5352recnd 7948 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  ->  y  e.  CC )
54 apti 8541 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  =  y  <->  -.  x #  y )
)
5551, 53, 54syl2anc 409 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  ->  ( x  =  y  <->  -.  x #  y
) )
5649, 55mpbird 166 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  ->  x  =  y )
5756ex 114 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  ->  x  =  y ) )
5857ralrimivva 2552 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  (
( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r
)  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  ->  x  =  y ) )
59 breq2 3993 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
q  <  x  <->  q  <  y ) )
6059ralbidv 2470 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A. q  e.  L  q  <  x  <->  A. q  e.  L  q  <  y ) )
61 breq1 3992 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <  r  <->  y  <  r ) )
6261ralbidv 2470 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A. r  e.  U  x  <  r  <->  A. r  e.  U  y  <  r ) )
6360, 62anbi12d 470 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  <->  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )
6463rmo4 2923 . . 3  |-  ( E* x  e.  RR  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  <->  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  ->  x  =  y )
)
6558, 64sylibr 133 . 2  |-  ( ph  ->  E* x  e.  RR  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
66 reu5 2682 . 2  |-  ( E! x  e.  RR  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  <->  ( E. x  e.  RR  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  E* x  e.  RR  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )
679, 65, 66sylanbrc 415 1  |-  ( ph  ->  E! x  e.  RR  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 703    = wceq 1348   F. wfal 1353    e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   E!wreu 2450   E*wrmo 2451    i^i cin 3120    C_ wss 3121   (/)c0 3414   class class class wbr 3989   CCcc 7772   RRcr 7773    < clt 7954   # cap 8500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-suploc 7895
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501
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