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Theorem dedekindeu 15095
Description: A Dedekind cut identifies a unique real number. Similar to df-inp 7579 except that the the Dedekind cut is formed by sets of reals (rather than positive rationals). But in both cases the defining property of a Dedekind cut is that it is inhabited (bounded), rounded, disjoint, and located. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindeu.lss  |-  ( ph  ->  L  C_  RR )
dedekindeu.uss  |-  ( ph  ->  U  C_  RR )
dedekindeu.lm  |-  ( ph  ->  E. q  e.  RR  q  e.  L )
dedekindeu.um  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  r  e.  U )
dedekindeu.lr  |-  ( ph  ->  A. q  e.  RR  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
dedekindeu.ur  |-  ( ph  ->  A. r  e.  RR  ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
dedekindeu.disj  |-  ( ph  ->  ( L  i^i  U
)  =  (/) )
dedekindeu.loc  |-  ( ph  ->  A. q  e.  RR  A. r  e.  RR  (
q  <  r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U )
) )
Assertion
Ref Expression
dedekindeu  |-  ( ph  ->  E! x  e.  RR  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
Distinct variable groups:    L, q, r, x    U, q, r, x    ph, q, r, x

Proof of Theorem dedekindeu
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dedekindeu.lss . . 3  |-  ( ph  ->  L  C_  RR )
2 dedekindeu.uss . . 3  |-  ( ph  ->  U  C_  RR )
3 dedekindeu.lm . . 3  |-  ( ph  ->  E. q  e.  RR  q  e.  L )
4 dedekindeu.um . . 3  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  r  e.  U )
5 dedekindeu.lr . . 3  |-  ( ph  ->  A. q  e.  RR  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
6 dedekindeu.ur . . 3  |-  ( ph  ->  A. r  e.  RR  ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
7 dedekindeu.disj . . 3  |-  ( ph  ->  ( L  i^i  U
)  =  (/) )
8 dedekindeu.loc . . 3  |-  ( ph  ->  A. q  e.  RR  A. r  e.  RR  (
q  <  r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U )
) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8dedekindeulemlu 15093 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
101ad4antr 494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  ->  L  C_  RR )
112ad4antr 494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  ->  U  C_  RR )
123ad4antr 494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  ->  E. q  e.  RR  q  e.  L
)
134ad4antr 494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  ->  E. r  e.  RR  r  e.  U
)
145ad4antr 494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  ->  A. q  e.  RR  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
156ad4antr 494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  ->  A. r  e.  RR  ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
167ad4antr 494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  ->  ( L  i^i  U )  =  (/) )
178ad4antr 494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  ->  A. q  e.  RR  A. r  e.  RR  ( q  < 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) )
18 simprl 529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  ->  x  e.  RR )
1918ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  ->  x  e.  RR )
2019adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  ->  x  e.  RR )
21 simprl 529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  ->  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r
) )
2221ad2antrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  ->  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
23 simprr 531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
y  e.  RR )
2423ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  ->  y  e.  RR )
2524adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  ->  y  e.  RR )
26 simprr 531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  ->  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r
) )
2726ad2antrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  ->  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )
28 simpr 110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  ->  x  <  y )
2910, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 22, 25, 27, 28dedekindeulemeu 15094 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  x  <  y
)  -> F.  )
301ad4antr 494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  ->  L  C_  RR )
312ad4antr 494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  ->  U  C_  RR )
323ad4antr 494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  ->  E. q  e.  RR  q  e.  L
)
334ad4antr 494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  ->  E. r  e.  RR  r  e.  U
)
345ad4antr 494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  ->  A. q  e.  RR  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
356ad4antr 494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  ->  A. r  e.  RR  ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
367ad4antr 494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  ->  ( L  i^i  U )  =  (/) )
378ad4antr 494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  ->  A. q  e.  RR  A. r  e.  RR  ( q  < 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) )
3824adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  ->  y  e.  RR )
3926ad2antrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  ->  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )
4019adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  ->  x  e.  RR )
4121ad2antrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  ->  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
42 simpr 110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  ->  y  <  x )
4330, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42dedekindeulemeu 15094 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  /\  y  <  x
)  -> F.  )
44 simpr 110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  ->  x #  y )
45 reaplt 8661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x #  y  <->  ( x  <  y  \/  y  < 
x ) ) )
4619, 24, 45syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  ->  ( x #  y  <-> 
( x  <  y  \/  y  <  x ) ) )
4744, 46mpbid 147 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  ->  ( x  < 
y  \/  y  < 
x ) )
4829, 43, 47mpjaodan 800 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  /\  x #  y )  -> F.  )
4948inegd 1392 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  ->  -.  x #  y
)
50 simplrl 535 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  ->  x  e.  RR )
5150recnd 8101 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  ->  x  e.  CC )
52 simplrr 536 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  ->  y  e.  RR )
5352recnd 8101 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  ->  y  e.  CC )
54 apti 8695 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  =  y  <->  -.  x #  y )
)
5551, 53, 54syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  ->  ( x  =  y  <->  -.  x #  y
) )
5649, 55mpbird 167 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  /\  ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )  ->  x  =  y )
5756ex 115 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  ->  x  =  y ) )
5857ralrimivva 2588 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  (
( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r
)  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  ->  x  =  y ) )
59 breq2 4048 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
q  <  x  <->  q  <  y ) )
6059ralbidv 2506 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A. q  e.  L  q  <  x  <->  A. q  e.  L  q  <  y ) )
61 breq1 4047 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <  r  <->  y  <  r ) )
6261ralbidv 2506 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A. r  e.  U  x  <  r  <->  A. r  e.  U  y  <  r ) )
6360, 62anbi12d 473 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  <->  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) ) )
6463rmo4 2966 . . 3  |-  ( E* x  e.  RR  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  <->  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( ( ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  ( A. q  e.  L  q  <  y  /\  A. r  e.  U  y  <  r ) )  ->  x  =  y )
)
6558, 64sylibr 134 . 2  |-  ( ph  ->  E* x  e.  RR  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
66 reu5 2723 . 2  |-  ( E! x  e.  RR  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  <->  ( E. x  e.  RR  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r )  /\  E* x  e.  RR  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) ) )
679, 65, 66sylanbrc 417 1  |-  ( ph  ->  E! x  e.  RR  ( A. q  e.  L  q  <  x  /\  A. r  e.  U  x  <  r ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 710    = wceq 1373   F. wfal 1378    e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   E!wreu 2486   E*wrmo 2487    i^i cin 3165    C_ wss 3166   (/)c0 3460   class class class wbr 4044   CCcc 7923   RRcr 7924    < clt 8107   # cap 8654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-suploc 8046
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655
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