Theorem dffo5 5711

Description: Alternate definition of an onto mapping. (Contributed by NM, 20-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
dffo5	|- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x x F y ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, F, y

Proof of Theorem dffo5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffo4 5710	. 2 |- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) )
2		rexex 2543	. . . . 5 |- ( E. x e. A x F y -> E. x x F y )
3	2	ralimi 2560	. . . 4 |- ( A. y e. B E. x e. A x F y -> A. y e. B E. x x F y )
4	3	anim2i 342	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) -> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x x F y ) )
5		ffn 5407	. . . . . . . . 9 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
6		fnbr 5360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F Fn A /\ x F y ) -> x e. A )
7	6	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn A -> ( x F y -> x e. A ) )
8	5, 7	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( F : A --> B -> ( x F y -> x e. A ) )
9	8	ancrd 326	. . . . . . 7 |- ( F : A --> B -> ( x F y -> ( x e. A /\ x F y ) ) )
10	9	eximdv 1894	. . . . . 6 |- ( F : A --> B -> ( E. x x F y -> E. x ( x e. A /\ x F y ) ) )
11		df-rex 2481	. . . . . 6 |- ( E. x e. A x F y <-> E. x ( x e. A /\ x F y ) )
12	10, 11	imbitrrdi 162	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> ( E. x x F y -> E. x e. A x F y ) )
13	12	ralimdv 2565	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ( A. y e. B E. x x F y -> A. y e. B E. x e. A x F y ) )
14	13	imdistani 445	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x x F y ) -> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) )
15	4, 14	impbii 126	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x x F y ) )
16	1, 15	bitri 184	1 |- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x x F y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   class class class wbr 4033   Fn wfn 5253   -->wf 5254   -onto->wfo 5256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fo 5264  df-fv 5266

This theorem is referenced by: (None)