Theorem dffo5 5464

Description: Alternate definition of an onto mapping. (Contributed by NM, 20-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
dffo5	|- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x x F y ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, F, y

Proof of Theorem dffo5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffo4 5463	. 2 |- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) )
2		rexex 2423	. . . . 5 |- ( E. x e. A x F y -> E. x x F y )
3	2	ralimi 2439	. . . 4 |- ( A. y e. B E. x e. A x F y -> A. y e. B E. x x F y )
4	3	anim2i 335	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) -> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x x F y ) )
5		ffn 5176	. . . . . . . . 9 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
6		fnbr 5131	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F Fn A /\ x F y ) -> x e. A )
7	6	ex 114	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn A -> ( x F y -> x e. A ) )
8	5, 7	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( F : A --> B -> ( x F y -> x e. A ) )
9	8	ancrd 320	. . . . . . 7 |- ( F : A --> B -> ( x F y -> ( x e. A /\ x F y ) ) )
10	9	eximdv 1809	. . . . . 6 |- ( F : A --> B -> ( E. x x F y -> E. x ( x e. A /\ x F y ) ) )
11		df-rex 2366	. . . . . 6 |- ( E. x e. A x F y <-> E. x ( x e. A /\ x F y ) )
12	10, 11	syl6ibr 161	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> ( E. x x F y -> E. x e. A x F y ) )
13	12	ralimdv 2443	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ( A. y e. B E. x x F y -> A. y e. B E. x e. A x F y ) )
14	13	imdistani 435	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x x F y ) -> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) )
15	4, 14	impbii 125	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x x F y ) )
16	1, 15	bitri 183	1 |- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x x F y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   E.wex 1427   e. wcel 1439   A.wral 2360   E.wrex 2361   class class class wbr 3853   Fn wfn 5025   -->wf 5026   -onto->wfo 5028

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2624  df-sbc 2844  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-id 4131  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-fo 5036  df-fv 5038

This theorem is referenced by: (None)