ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dffo5 Unicode version

Theorem dffo5 5686
Description: Alternate definition of an onto mapping. (Contributed by NM, 20-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
dffo5  |-  ( F : A -onto-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. y  e.  B  E. x  x F y ) )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y    x, F, y

Proof of Theorem dffo5
StepHypRef Expression
1 dffo4 5685 . 2  |-  ( F : A -onto-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. y  e.  B  E. x  e.  A  x F y ) )
2 rexex 2536 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  x F y  ->  E. x  x F y )
32ralimi 2553 . . . 4  |-  ( A. y  e.  B  E. x  e.  A  x F y  ->  A. y  e.  B  E. x  x F y )
43anim2i 342 . . 3  |-  ( ( F : A --> B  /\  A. y  e.  B  E. x  e.  A  x F y )  -> 
( F : A --> B  /\  A. y  e.  B  E. x  x F y ) )
5 ffn 5384 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
6 fnbr 5337 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  A  /\  x F y )  ->  x  e.  A )
76ex 115 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  A  ->  (
x F y  ->  x  e.  A )
)
85, 7syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( F : A --> B  -> 
( x F y  ->  x  e.  A
) )
98ancrd 326 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> B  -> 
( x F y  ->  ( x  e.  A  /\  x F y ) ) )
109eximdv 1891 . . . . . 6  |-  ( F : A --> B  -> 
( E. x  x F y  ->  E. x
( x  e.  A  /\  x F y ) ) )
11 df-rex 2474 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  x F y  <->  E. x
( x  e.  A  /\  x F y ) )
1210, 11imbitrrdi 162 . . . . 5  |-  ( F : A --> B  -> 
( E. x  x F y  ->  E. x  e.  A  x F
y ) )
1312ralimdv 2558 . . . 4  |-  ( F : A --> B  -> 
( A. y  e.  B  E. x  x F y  ->  A. y  e.  B  E. x  e.  A  x F
y ) )
1413imdistani 445 . . 3  |-  ( ( F : A --> B  /\  A. y  e.  B  E. x  x F y )  ->  ( F : A
--> B  /\  A. y  e.  B  E. x  e.  A  x F
y ) )
154, 14impbii 126 . 2  |-  ( ( F : A --> B  /\  A. y  e.  B  E. x  e.  A  x F y )  <->  ( F : A --> B  /\  A. y  e.  B  E. x  x F y ) )
161, 15bitri 184 1  |-  ( F : A -onto-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. y  e.  B  E. x  x F y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105   E.wex 1503    e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   class class class wbr 4018    Fn wfn 5230   -->wf 5231   -onto->wfo 5233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fo 5241  df-fv 5243
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator