Theorem dffo5 5634

Description: Alternate definition of an onto mapping. (Contributed by NM, 20-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
dffo5	|- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x x F y ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, F, y

Proof of Theorem dffo5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffo4 5633	. 2 |- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) )
2		rexex 2512	. . . . 5 |- ( E. x e. A x F y -> E. x x F y )
3	2	ralimi 2529	. . . 4 |- ( A. y e. B E. x e. A x F y -> A. y e. B E. x x F y )
4	3	anim2i 340	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) -> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x x F y ) )
5		ffn 5337	. . . . . . . . 9 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
6		fnbr 5290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F Fn A /\ x F y ) -> x e. A )
7	6	ex 114	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn A -> ( x F y -> x e. A ) )
8	5, 7	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( F : A --> B -> ( x F y -> x e. A ) )
9	8	ancrd 324	. . . . . . 7 |- ( F : A --> B -> ( x F y -> ( x e. A /\ x F y ) ) )
10	9	eximdv 1868	. . . . . 6 |- ( F : A --> B -> ( E. x x F y -> E. x ( x e. A /\ x F y ) ) )
11		df-rex 2450	. . . . . 6 |- ( E. x e. A x F y <-> E. x ( x e. A /\ x F y ) )
12	10, 11	syl6ibr 161	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> ( E. x x F y -> E. x e. A x F y ) )
13	12	ralimdv 2534	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ( A. y e. B E. x x F y -> A. y e. B E. x e. A x F y ) )
14	13	imdistani 442	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x x F y ) -> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) )
15	4, 14	impbii 125	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x x F y ) )
16	1, 15	bitri 183	1 |- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x x F y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   E.wex 1480   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   class class class wbr 3982   Fn wfn 5183   -->wf 5184   -onto->wfo 5186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fo 5194  df-fv 5196

This theorem is referenced by: (None)