Theorem dffo5 5784

Description: Alternate definition of an onto mapping. (Contributed by NM, 20-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
dffo5	|- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x x F y ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, F, y

Proof of Theorem dffo5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffo4 5783	. 2 |- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) )
2		rexex 2576	. . . . 5 |- ( E. x e. A x F y -> E. x x F y )
3	2	ralimi 2593	. . . 4 |- ( A. y e. B E. x e. A x F y -> A. y e. B E. x x F y )
4	3	anim2i 342	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) -> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x x F y ) )
5		ffn 5473	. . . . . . . . 9 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
6		fnbr 5425	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F Fn A /\ x F y ) -> x e. A )
7	6	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn A -> ( x F y -> x e. A ) )
8	5, 7	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( F : A --> B -> ( x F y -> x e. A ) )
9	8	ancrd 326	. . . . . . 7 |- ( F : A --> B -> ( x F y -> ( x e. A /\ x F y ) ) )
10	9	eximdv 1926	. . . . . 6 |- ( F : A --> B -> ( E. x x F y -> E. x ( x e. A /\ x F y ) ) )
11		df-rex 2514	. . . . . 6 |- ( E. x e. A x F y <-> E. x ( x e. A /\ x F y ) )
12	10, 11	imbitrrdi 162	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> ( E. x x F y -> E. x e. A x F y ) )
13	12	ralimdv 2598	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ( A. y e. B E. x x F y -> A. y e. B E. x e. A x F y ) )
14	13	imdistani 445	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x x F y ) -> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) )
15	4, 14	impbii 126	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x x F y ) )
16	1, 15	bitri 184	1 |- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x x F y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   class class class wbr 4083   Fn wfn 5313   -->wf 5314   -onto->wfo 5316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fo 5324  df-fv 5326

This theorem is referenced by: (None)