Theorem dffo5 5857

Description: Alternate definition of an onto mapping. (Contributed by NM, 20-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
dffo5	⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 𝑥𝐹𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem dffo5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffo4 5856	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝐹𝑦))
2		rexex 2596	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝐹𝑦 → ∃𝑥 𝑥𝐹𝑦)
3	2	ralimi 2613	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝐹𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 𝑥𝐹𝑦)
4	3	anim2i 342	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝐹𝑦) → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 𝑥𝐹𝑦))
5		ffn 5533	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
6		fnbr 5485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑥𝐹𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴)
7	6	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥𝐹𝑦 → 𝑥 ∈ 𝐴))
8	5, 7	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝑥𝐹𝑦 → 𝑥 ∈ 𝐴))
9	8	ancrd 326	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝑥𝐹𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝐹𝑦)))
10	9	eximdv 1933	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (∃𝑥 𝑥𝐹𝑦 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝐹𝑦)))
11		df-rex 2534	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝐹𝑦 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝐹𝑦))
12	10, 11	imbitrrdi 162	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (∃𝑥 𝑥𝐹𝑦 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝐹𝑦))
13	12	ralimdv 2618	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 𝑥𝐹𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝐹𝑦))
14	13	imdistani 449	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 𝑥𝐹𝑦) → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝐹𝑦))
15	4, 14	impbii 126	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝐹𝑦) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 𝑥𝐹𝑦))
16	1, 15	bitri 184	1 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 𝑥𝐹𝑦))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   class class class wbr 4130   Fn wfn 5372  ⟶wf 5373  –onto→wfo 5375

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fo 5383  df-fv 5385

This theorem is used by: (None)