Theorem dffo5 5686

Description: Alternate definition of an onto mapping. (Contributed by NM, 20-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
dffo5	⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 𝑥𝐹𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem dffo5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffo4 5685	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝐹𝑦))
2		rexex 2536	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝐹𝑦 → ∃𝑥 𝑥𝐹𝑦)
3	2	ralimi 2553	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝐹𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 𝑥𝐹𝑦)
4	3	anim2i 342	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝐹𝑦) → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 𝑥𝐹𝑦))
5		ffn 5384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
6		fnbr 5337	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑥𝐹𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴)
7	6	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥𝐹𝑦 → 𝑥 ∈ 𝐴))
8	5, 7	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝑥𝐹𝑦 → 𝑥 ∈ 𝐴))
9	8	ancrd 326	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝑥𝐹𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝐹𝑦)))
10	9	eximdv 1891	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (∃𝑥 𝑥𝐹𝑦 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝐹𝑦)))
11		df-rex 2474	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝐹𝑦 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝐹𝑦))
12	10, 11	imbitrrdi 162	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (∃𝑥 𝑥𝐹𝑦 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝐹𝑦))
13	12	ralimdv 2558	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 𝑥𝐹𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝐹𝑦))
14	13	imdistani 445	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 𝑥𝐹𝑦) → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝐹𝑦))
15	4, 14	impbii 126	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝐹𝑦) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 𝑥𝐹𝑦))
16	1, 15	bitri 184	1 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 𝑥𝐹𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∃wex 1503   ∈ wcel 2160  ∀wral 2468  ∃wrex 2469   class class class wbr 4018   Fn wfn 5230  ⟶wf 5231  –onto→wfo 5233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fo 5241  df-fv 5243

This theorem is referenced by: (None)