Theorem dmtopon 15047

Description: The domain of TopOn is _V. (Contributed by BJ, 29-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dmtopon	|- dom TopOn = _V

Proof of Theorem dmtopon

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vpwex 4311	. . . 4 |- ~P x e. _V
2	1	pwex 4315	. . 3 |- ~P ~P x e. _V
3		eqcom 2240	. . . . 5 |- ( x = U. y <-> U. y = x )
4	3	rabbii 2808	. . . 4 |- { y e. Top | x = U. y } = { y e. Top | U. y = x }
5		rabssab 3337	. . . . 5 |- { y e. Top | U. y = x } C_ { y | U. y = x }
6		pwpwssunieq 4096	. . . . 5 |- { y | U. y = x } C_ ~P ~P x
7	5, 6	sstri 3257	. . . 4 |- { y e. Top | U. y = x } C_ ~P ~P x
8	4, 7	eqsstri 3280	. . 3 |- { y e. Top | x = U. y } C_ ~P ~P x
9	2, 8	ssexi 4266	. 2 |- { y e. Top | x = U. y } e. _V
10		df-topon 15035	. 2 |- TopOn = ( x e. _V |-> { y e. Top | x = U. y } )
11	9, 10	dmmpti 5508	1 |- dom TopOn = _V

Syntax hints:   = wceq 1402   {cab 2224   {crab 2532   _Vcvv 2821   ~Pcpw 3685   U.cuni 3930   dom cdm 4769   Topctop 15021  TopOnctopon 15034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-fun 5374  df-fn 5375  df-topon 15035

This theorem is referenced by:  fntopon  15048