Theorem dmtopon 14834

Description: The domain of TopOn is _V. (Contributed by BJ, 29-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dmtopon	|- dom TopOn = _V

Proof of Theorem dmtopon

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vpwex 4275	. . . 4 |- ~P x e. _V
2	1	pwex 4279	. . 3 |- ~P ~P x e. _V
3		eqcom 2233	. . . . 5 |- ( x = U. y <-> U. y = x )
4	3	rabbii 2790	. . . 4 |- { y e. Top | x = U. y } = { y e. Top | U. y = x }
5		rabssab 3317	. . . . 5 |- { y e. Top | U. y = x } C_ { y | U. y = x }
6		pwpwssunieq 4064	. . . . 5 |- { y | U. y = x } C_ ~P ~P x
7	5, 6	sstri 3237	. . . 4 |- { y e. Top | U. y = x } C_ ~P ~P x
8	4, 7	eqsstri 3260	. . 3 |- { y e. Top | x = U. y } C_ ~P ~P x
9	2, 8	ssexi 4232	. 2 |- { y e. Top | x = U. y } e. _V
10		df-topon 14822	. 2 |- TopOn = ( x e. _V |-> { y e. Top | x = U. y } )
11	9, 10	dmmpti 5469	1 |- dom TopOn = _V

Syntax hints:   = wceq 1398   {cab 2217   {crab 2515   _Vcvv 2803   ~Pcpw 3656   U.cuni 3898   dom cdm 4731   Topctop 14808  TopOnctopon 14821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-fun 5335  df-fn 5336  df-topon 14822

This theorem is referenced by:  fntopon  14835