Theorem dmtopon 12815

Description: The domain of TopOn is _V. (Contributed by BJ, 29-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dmtopon	|- dom TopOn = _V

Proof of Theorem dmtopon

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vpwex 4165	. . . 4 |- ~P x e. _V
2	1	pwex 4169	. . 3 |- ~P ~P x e. _V
3		eqcom 2172	. . . . 5 |- ( x = U. y <-> U. y = x )
4	3	rabbii 2716	. . . 4 |- { y e. Top | x = U. y } = { y e. Top | U. y = x }
5		rabssab 3235	. . . . 5 |- { y e. Top | U. y = x } C_ { y | U. y = x }
6		pwpwssunieq 3961	. . . . 5 |- { y | U. y = x } C_ ~P ~P x
7	5, 6	sstri 3156	. . . 4 |- { y e. Top | U. y = x } C_ ~P ~P x
8	4, 7	eqsstri 3179	. . 3 |- { y e. Top | x = U. y } C_ ~P ~P x
9	2, 8	ssexi 4127	. 2 |- { y e. Top | x = U. y } e. _V
10		df-topon 12803	. 2 |- TopOn = ( x e. _V |-> { y e. Top | x = U. y } )
11	9, 10	dmmpti 5327	1 |- dom TopOn = _V

Syntax hints:   = wceq 1348   {cab 2156   {crab 2452   _Vcvv 2730   ~Pcpw 3566   U.cuni 3796   dom cdm 4611   Topctop 12789  TopOnctopon 12802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-fun 5200  df-fn 5201  df-topon 12803

This theorem is referenced by:  fntopon  12816