Theorem dmtopon 12661

Description: The domain of TopOn is _V. (Contributed by BJ, 29-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dmtopon	|- dom TopOn = _V

Proof of Theorem dmtopon

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vpwex 4158	. . . 4 |- ~P x e. _V
2	1	pwex 4162	. . 3 |- ~P ~P x e. _V
3		eqcom 2167	. . . . 5 |- ( x = U. y <-> U. y = x )
4	3	rabbii 2712	. . . 4 |- { y e. Top | x = U. y } = { y e. Top | U. y = x }
5		rabssab 3230	. . . . 5 |- { y e. Top | U. y = x } C_ { y | U. y = x }
6		pwpwssunieq 3954	. . . . 5 |- { y | U. y = x } C_ ~P ~P x
7	5, 6	sstri 3151	. . . 4 |- { y e. Top | U. y = x } C_ ~P ~P x
8	4, 7	eqsstri 3174	. . 3 |- { y e. Top | x = U. y } C_ ~P ~P x
9	2, 8	ssexi 4120	. 2 |- { y e. Top | x = U. y } e. _V
10		df-topon 12649	. 2 |- TopOn = ( x e. _V |-> { y e. Top | x = U. y } )
11	9, 10	dmmpti 5317	1 |- dom TopOn = _V

Syntax hints:   = wceq 1343   {cab 2151   {crab 2448   _Vcvv 2726   ~Pcpw 3559   U.cuni 3789   dom cdm 4604   Topctop 12635  TopOnctopon 12648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-fun 5190  df-fn 5191  df-topon 12649

This theorem is referenced by:  fntopon  12662