Theorem dmtopon 11782

Description: The domain of TopOn is _V. (Contributed by BJ, 29-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dmtopon	|- dom TopOn = _V

Proof of Theorem dmtopon

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vpwex 4020	. . . 4 |- ~P x e. _V
2	1	pwex 4024	. . 3 |- ~P ~P x e. _V
3		eqcom 2091	. . . . 5 |- ( x = U. y <-> U. y = x )
4	3	rabbii 2606	. . . 4 |- { y e. Top | x = U. y } = { y e. Top | U. y = x }
5		rabssab 3109	. . . . 5 |- { y e. Top | U. y = x } C_ { y | U. y = x }
6		pwpwssunieq 3823	. . . . 5 |- { y | U. y = x } C_ ~P ~P x
7	5, 6	sstri 3035	. . . 4 |- { y e. Top | U. y = x } C_ ~P ~P x
8	4, 7	eqsstri 3057	. . 3 |- { y e. Top | x = U. y } C_ ~P ~P x
9	2, 8	ssexi 3983	. 2 |- { y e. Top | x = U. y } e. _V
10		df-topon 11771	. 2 |- TopOn = ( x e. _V |-> { y e. Top | x = U. y } )
11	9, 10	dmmpti 5156	1 |- dom TopOn = _V

Syntax hints:   = wceq 1290   {cab 2075   {crab 2364   _Vcvv 2620   ~Pcpw 3433   U.cuni 3659   dom cdm 4452   Topctop 11757  TopOnctopon 11770

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-rab 2369  df-v 2622  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-fun 5030  df-fn 5031  df-topon 11771

This theorem is referenced by:  fntopon  11783