Theorem dmtopon 14000

Description: The domain of TopOn is _V. (Contributed by BJ, 29-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dmtopon	|- dom TopOn = _V

Proof of Theorem dmtopon

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vpwex 4197	. . . 4 |- ~P x e. _V
2	1	pwex 4201	. . 3 |- ~P ~P x e. _V
3		eqcom 2191	. . . . 5 |- ( x = U. y <-> U. y = x )
4	3	rabbii 2738	. . . 4 |- { y e. Top | x = U. y } = { y e. Top | U. y = x }
5		rabssab 3258	. . . . 5 |- { y e. Top | U. y = x } C_ { y | U. y = x }
6		pwpwssunieq 3990	. . . . 5 |- { y | U. y = x } C_ ~P ~P x
7	5, 6	sstri 3179	. . . 4 |- { y e. Top | U. y = x } C_ ~P ~P x
8	4, 7	eqsstri 3202	. . 3 |- { y e. Top | x = U. y } C_ ~P ~P x
9	2, 8	ssexi 4156	. 2 |- { y e. Top | x = U. y } e. _V
10		df-topon 13988	. 2 |- TopOn = ( x e. _V |-> { y e. Top | x = U. y } )
11	9, 10	dmmpti 5364	1 |- dom TopOn = _V

Syntax hints:   = wceq 1364   {cab 2175   {crab 2472   _Vcvv 2752   ~Pcpw 3590   U.cuni 3824   dom cdm 4644   Topctop 13974  TopOnctopon 13987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-fun 5237  df-fn 5238  df-topon 13988

This theorem is referenced by:  fntopon  14001