Theorem dmxpss 4969

Description: The domain of a cross product is a subclass of the first factor. (Contributed by NM, 19-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
dmxpss	|- dom ( A X. B ) C_ A

Proof of Theorem dmxpss

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2689	. . . 4 |- x e. _V
2	1	eldm2 4737	. . 3 |- ( x e. dom ( A X. B ) <-> E. y <. x , y >. e. ( A X. B ) )
3		opelxp1 4573	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> x e. A )
4	3	exlimiv 1577	. . 3 |- ( E. y <. x , y >. e. ( A X. B ) -> x e. A )
5	2, 4	sylbi 120	. 2 |- ( x e. dom ( A X. B ) -> x e. A )
6	5	ssriv 3101	1 |- dom ( A X. B ) C_ A

Syntax hints:   E.wex 1468   e. wcel 1480   C_ wss 3071   <.cop 3530   X. cxp 4537   dom cdm 4539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-dm 4549

This theorem is referenced by:  rnxpss  4970  dmxpss2  4971  ssxpbm  4974  ssxp1  4975  funssxp  5292  tfrlemibfn  6225  tfr1onlembfn  6241  tfrcllembfn  6254  frecuzrdgtcl  10185  frecuzrdgdomlem  10190  dvbssntrcntop  12822