ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvbssntrcntop Unicode version

Theorem dvbssntrcntop 12859
Description: The set of differentiable points is a subset of the interior of the domain of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcl.s  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
dvcl.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
dvcl.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
dvbssntr.j  |-  J  =  ( Kt  S )
dvbssntr.k  |-  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
Assertion
Ref Expression
dvbssntrcntop  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  (
( int `  J
) `  A )
)

Proof of Theorem dvbssntrcntop
Dummy variables  x  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvcl.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
2 dvcl.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
3 dvcl.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
4 dvbssntr.j . . . . 5  |-  J  =  ( Kt  S )
5 dvbssntr.k . . . . 5  |-  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
64, 5dvfvalap 12856 . . . 4  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F : A --> CC  /\  A  C_  S )  ->  (
( S  _D  F
)  =  U_ x  e.  ( ( int `  J
) `  A )
( { x }  X.  ( ( z  e. 
{ w  e.  A  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) )  /\  ( S  _D  F )  C_  ( ( ( int `  J ) `  A
)  X.  CC ) ) )
71, 2, 3, 6syl3anc 1217 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F )  =  U_ x  e.  ( ( int `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( z  e.  {
w  e.  A  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x ) )  /\  ( S  _D  F )  C_  (
( ( int `  J
) `  A )  X.  CC ) ) )
8 dmss 4745 . . 3  |-  ( ( S  _D  F ) 
C_  ( ( ( int `  J ) `
 A )  X.  CC )  ->  dom  ( S  _D  F
)  C_  dom  ( ( ( int `  J
) `  A )  X.  CC ) )
97, 8simpl2im 384 . 2  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  dom  ( ( ( int `  J ) `  A
)  X.  CC ) )
10 dmxpss 4976 . 2  |-  dom  (
( ( int `  J
) `  A )  X.  CC )  C_  (
( int `  J
) `  A )
119, 10sstrdi 3113 1  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  (
( int `  J
) `  A )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1332   {crab 2421    C_ wss 3075   {csn 3531   U_ciun 3820   class class class wbr 3936    |-> cmpt 3996    X. cxp 4544   dom cdm 4546    o. ccom 4550   -->wf 5126   ` cfv 5130  (class class class)co 5781   CCcc 7641    - cmin 7956   # cap 8366    / cdiv 8455   abscabs 10800   ↾t crest 12157   MetOpencmopn 12191   intcnt 12299   lim CC climc 12829    _D cdv 12830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761  ax-arch 7762  ax-caucvg 7763
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-isom 5139  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-map 6551  df-pm 6552  df-sup 6878  df-inf 6879  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-3 8803  df-4 8804  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-q 9438  df-rp 9470  df-xneg 9588  df-xadd 9589  df-seqfrec 10249  df-exp 10323  df-cj 10645  df-re 10646  df-im 10647  df-rsqrt 10801  df-abs 10802  df-rest 12159  df-topgen 12178  df-psmet 12193  df-xmet 12194  df-met 12195  df-bl 12196  df-mopn 12197  df-top 12202  df-topon 12215  df-bases 12247  df-ntr 12302  df-limced 12831  df-dvap 12832
This theorem is referenced by:  dvbss  12860  dvcjbr  12878
  Copyright terms: Public domain W3C validator