Theorem dvbssntrcntop 14838

Description: The set of differentiable points is a subset of the interior of the domain of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcl.s	|- ( ph -> S C_ CC )
dvcl.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
dvcl.a	|- ( ph -> A C_ S )
dvbssntr.j	|- J = ( K ↾t S )
dvbssntr.k	|- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )

Assertion

Ref	Expression
dvbssntrcntop	|- ( ph -> dom ( S _D F ) C_ ( ( int ` J ) ` A ) )

Proof of Theorem dvbssntrcntop

Dummy variables x z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvcl.s	. . . 4 |- ( ph -> S C_ CC )
2		dvcl.f	. . . 4 |- ( ph -> F : A --> CC )
3		dvcl.a	. . . 4 |- ( ph -> A C_ S )
4		dvbssntr.j	. . . . 5 |- J = ( K ↾t S )
5		dvbssntr.k	. . . . 5 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
6	4, 5	dvfvalap 14835	. . . 4 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> ( ( S _D F ) = U_ x e. ( ( int ` J ) ` A ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. A | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) /\ ( S _D F ) C_ ( ( ( int ` J ) ` A ) X. CC ) ) )
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ph -> ( ( S _D F ) = U_ x e. ( ( int ` J ) ` A ) ( { x } X. ( ( z e. { w e. A | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) /\ ( S _D F ) C_ ( ( ( int ` J ) ` A ) X. CC ) ) )
8		dmss 4861	. . 3 |- ( ( S _D F ) C_ ( ( ( int ` J ) ` A ) X. CC ) -> dom ( S _D F ) C_ dom ( ( ( int ` J ) ` A ) X. CC ) )
9	7, 8	simpl2im 386	. 2 |- ( ph -> dom ( S _D F ) C_ dom ( ( ( int ` J ) ` A ) X. CC ) )
10		dmxpss 5096	. 2 |- dom ( ( ( int ` J ) ` A ) X. CC ) C_ ( ( int ` J ) ` A )
11	9, 10	sstrdi 3191	1 |- ( ph -> dom ( S _D F ) C_ ( ( int ` J ) ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   {crab 2476   C_ wss 3153   {csn 3618   U_ciun 3912   class class class wbr 4029   |-> cmpt 4090   X. cxp 4657   dom cdm 4659   o. ccom 4663   -->wf 5250   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   - cmin 8190   # cap 8600   / cdiv 8691   abscabs 11141   ↾_t crest 12850   MetOpencmopn 14037   intcnt 14261   lim CC climc 14808   _D cdv 14809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-map 6704  df-pm 6705  df-sup 7043  df-inf 7044  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-xneg 9838  df-xadd 9839  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-rest 12852  df-topgen 12871  df-psmet 14039  df-xmet 14040  df-met 14041  df-bl 14042  df-mopn 14043  df-top 14166  df-topon 14179  df-bases 14211  df-ntr 14264  df-limced 14810  df-dvap 14811

This theorem is referenced by:  dvbss  14839  dvcjbr  14857