Theorem dom0 6852

Description: A set dominated by the empty set is empty. (Contributed by NM, 22-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dom0	|- ( A ~<_ (/) <-> A = (/) )

Proof of Theorem dom0

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 6763	. . 3 |- ( A ~<_ (/) -> E. x x : A -1-1-> (/) )
2		f1f 5433	. . . . . 6 |- ( x : A -1-1-> (/) -> x : A --> (/) )
3		f00 5419	. . . . . 6 |- ( x : A --> (/) <-> ( x = (/) /\ A = (/) ) )
4	2, 3	sylib 122	. . . . 5 |- ( x : A -1-1-> (/) -> ( x = (/) /\ A = (/) ) )
5	4	simprd 114	. . . 4 |- ( x : A -1-1-> (/) -> A = (/) )
6	5	adantl 277	. . 3 |- ( ( A ~<_ (/) /\ x : A -1-1-> (/) ) -> A = (/) )
7	1, 6	exlimddv 1908	. 2 |- ( A ~<_ (/) -> A = (/) )
8		0ex 4142	. . . 4 |- (/) e. _V
9		domrefg 6781	. . . 4 |- ( (/) e. _V -> (/) ~<_ (/) )
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 |- (/) ~<_ (/)
11		breq1 4018	. . 3 |- ( A = (/) -> ( A ~<_ (/) <-> (/) ~<_ (/) ) )
12	10, 11	mpbiri 168	. 2 |- ( A = (/) -> A ~<_ (/) )
13	7, 12	impbii 126	1 |- ( A ~<_ (/) <-> A = (/) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1363   e. wcel 2158   _Vcvv 2749   (/)c0 3434   class class class wbr 4015   -->wf 5224   -1-1->wf1 5225   ~<_ cdom 6753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-en 6755  df-dom 6756

This theorem is referenced by: (None)