Theorem dom0 6838

Description: A set dominated by the empty set is empty. (Contributed by NM, 22-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dom0	|- ( A ~<_ (/) <-> A = (/) )

Proof of Theorem dom0

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 6749	. . 3 |- ( A ~<_ (/) -> E. x x : A -1-1-> (/) )
2		f1f 5422	. . . . . 6 |- ( x : A -1-1-> (/) -> x : A --> (/) )
3		f00 5408	. . . . . 6 |- ( x : A --> (/) <-> ( x = (/) /\ A = (/) ) )
4	2, 3	sylib 122	. . . . 5 |- ( x : A -1-1-> (/) -> ( x = (/) /\ A = (/) ) )
5	4	simprd 114	. . . 4 |- ( x : A -1-1-> (/) -> A = (/) )
6	5	adantl 277	. . 3 |- ( ( A ~<_ (/) /\ x : A -1-1-> (/) ) -> A = (/) )
7	1, 6	exlimddv 1898	. 2 |- ( A ~<_ (/) -> A = (/) )
8		0ex 4131	. . . 4 |- (/) e. _V
9		domrefg 6767	. . . 4 |- ( (/) e. _V -> (/) ~<_ (/) )
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 |- (/) ~<_ (/)
11		breq1 4007	. . 3 |- ( A = (/) -> ( A ~<_ (/) <-> (/) ~<_ (/) ) )
12	10, 11	mpbiri 168	. 2 |- ( A = (/) -> A ~<_ (/) )
13	7, 12	impbii 126	1 |- ( A ~<_ (/) <-> A = (/) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2738   (/)c0 3423   class class class wbr 4004   -->wf 5213   -1-1->wf1 5214   ~<_ cdom 6739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-en 6741  df-dom 6742

This theorem is referenced by: (None)