ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dom0 Unicode version

Theorem dom0 6554
Description: A set dominated by the empty set is empty. (Contributed by NM, 22-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
dom0  |-  ( A  ~<_  (/) 
<->  A  =  (/) )

Proof of Theorem dom0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 6466 . . 3  |-  ( A  ~<_  (/)  ->  E. x  x : A -1-1-> (/) )
2 f1f 5216 . . . . . 6  |-  ( x : A -1-1-> (/)  ->  x : A --> (/) )
3 f00 5202 . . . . . 6  |-  ( x : A --> (/)  <->  ( x  =  (/)  /\  A  =  (/) ) )
42, 3sylib 120 . . . . 5  |-  ( x : A -1-1-> (/)  ->  (
x  =  (/)  /\  A  =  (/) ) )
54simprd 112 . . . 4  |-  ( x : A -1-1-> (/)  ->  A  =  (/) )
65adantl 271 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  (/)  /\  x : A -1-1-> (/) )  ->  A  =  (/) )
71, 6exlimddv 1826 . 2  |-  ( A  ~<_  (/)  ->  A  =  (/) )
8 0ex 3966 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
9 domrefg 6484 . . . 4  |-  ( (/)  e.  _V  ->  (/)  ~<_  (/) )
108, 9ax-mp 7 . . 3  |-  (/)  ~<_  (/)
11 breq1 3848 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  ~<_  (/) 
<->  (/) 
~<_  (/) ) )
1210, 11mpbiri 166 . 2  |-  ( A  =  (/)  ->  A  ~<_  (/) )
137, 12impbii 124 1  |-  ( A  ~<_  (/) 
<->  A  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   _Vcvv 2619   (/)c0 3286   class class class wbr 3845   -->wf 5011   -1-1->wf1 5012    ~<_ cdom 6456
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-en 6458  df-dom 6459
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator