Theorem dom0 6899

Description: A set dominated by the empty set is empty. (Contributed by NM, 22-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dom0	|- ( A ~<_ (/) <-> A = (/) )

Proof of Theorem dom0

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 6808	. . 3 |- ( A ~<_ (/) -> E. x x : A -1-1-> (/) )
2		f1f 5463	. . . . . 6 |- ( x : A -1-1-> (/) -> x : A --> (/) )
3		f00 5449	. . . . . 6 |- ( x : A --> (/) <-> ( x = (/) /\ A = (/) ) )
4	2, 3	sylib 122	. . . . 5 |- ( x : A -1-1-> (/) -> ( x = (/) /\ A = (/) ) )
5	4	simprd 114	. . . 4 |- ( x : A -1-1-> (/) -> A = (/) )
6	5	adantl 277	. . 3 |- ( ( A ~<_ (/) /\ x : A -1-1-> (/) ) -> A = (/) )
7	1, 6	exlimddv 1913	. 2 |- ( A ~<_ (/) -> A = (/) )
8		0ex 4160	. . . 4 |- (/) e. _V
9		domrefg 6826	. . . 4 |- ( (/) e. _V -> (/) ~<_ (/) )
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 |- (/) ~<_ (/)
11		breq1 4036	. . 3 |- ( A = (/) -> ( A ~<_ (/) <-> (/) ~<_ (/) ) )
12	10, 11	mpbiri 168	. 2 |- ( A = (/) -> A ~<_ (/) )
13	7, 12	impbii 126	1 |- ( A ~<_ (/) <-> A = (/) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   (/)c0 3450   class class class wbr 4033   -->wf 5254   -1-1->wf1 5255   ~<_ cdom 6798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-en 6800  df-dom 6801

This theorem is referenced by: (None)