Theorem dom0 6804

Description: A set dominated by the empty set is empty. (Contributed by NM, 22-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dom0	|- ( A ~<_ (/) <-> A = (/) )

Proof of Theorem dom0

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 6715	. . 3 |- ( A ~<_ (/) -> E. x x : A -1-1-> (/) )
2		f1f 5393	. . . . . 6 |- ( x : A -1-1-> (/) -> x : A --> (/) )
3		f00 5379	. . . . . 6 |- ( x : A --> (/) <-> ( x = (/) /\ A = (/) ) )
4	2, 3	sylib 121	. . . . 5 |- ( x : A -1-1-> (/) -> ( x = (/) /\ A = (/) ) )
5	4	simprd 113	. . . 4 |- ( x : A -1-1-> (/) -> A = (/) )
6	5	adantl 275	. . 3 |- ( ( A ~<_ (/) /\ x : A -1-1-> (/) ) -> A = (/) )
7	1, 6	exlimddv 1886	. 2 |- ( A ~<_ (/) -> A = (/) )
8		0ex 4109	. . . 4 |- (/) e. _V
9		domrefg 6733	. . . 4 |- ( (/) e. _V -> (/) ~<_ (/) )
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 |- (/) ~<_ (/)
11		breq1 3985	. . 3 |- ( A = (/) -> ( A ~<_ (/) <-> (/) ~<_ (/) ) )
12	10, 11	mpbiri 167	. 2 |- ( A = (/) -> A ~<_ (/) )
13	7, 12	impbii 125	1 |- ( A ~<_ (/) <-> A = (/) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   (/)c0 3409   class class class wbr 3982   -->wf 5184   -1-1->wf1 5185   ~<_ cdom 6705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-en 6707  df-dom 6708

This theorem is referenced by: (None)