Theorem dom0 6816

Description: A set dominated by the empty set is empty. (Contributed by NM, 22-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dom0	|- ( A ~<_ (/) <-> A = (/) )

Proof of Theorem dom0

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 6727	. . 3 |- ( A ~<_ (/) -> E. x x : A -1-1-> (/) )
2		f1f 5403	. . . . . 6 |- ( x : A -1-1-> (/) -> x : A --> (/) )
3		f00 5389	. . . . . 6 |- ( x : A --> (/) <-> ( x = (/) /\ A = (/) ) )
4	2, 3	sylib 121	. . . . 5 |- ( x : A -1-1-> (/) -> ( x = (/) /\ A = (/) ) )
5	4	simprd 113	. . . 4 |- ( x : A -1-1-> (/) -> A = (/) )
6	5	adantl 275	. . 3 |- ( ( A ~<_ (/) /\ x : A -1-1-> (/) ) -> A = (/) )
7	1, 6	exlimddv 1891	. 2 |- ( A ~<_ (/) -> A = (/) )
8		0ex 4116	. . . 4 |- (/) e. _V
9		domrefg 6745	. . . 4 |- ( (/) e. _V -> (/) ~<_ (/) )
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 |- (/) ~<_ (/)
11		breq1 3992	. . 3 |- ( A = (/) -> ( A ~<_ (/) <-> (/) ~<_ (/) ) )
12	10, 11	mpbiri 167	. 2 |- ( A = (/) -> A ~<_ (/) )
13	7, 12	impbii 125	1 |- ( A ~<_ (/) <-> A = (/) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   (/)c0 3414   class class class wbr 3989   -->wf 5194   -1-1->wf1 5195   ~<_ cdom 6717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-en 6719  df-dom 6720

This theorem is referenced by: (None)