ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dom0 GIF version

Theorem dom0 6838
Description: A set dominated by the empty set is empty. (Contributed by NM, 22-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
dom0 (𝐴 β‰Ό βˆ… ↔ 𝐴 = βˆ…)

Proof of Theorem dom0
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 6749 . . 3 (𝐴 β‰Ό βˆ… β†’ βˆƒπ‘₯ π‘₯:𝐴–1-1β†’βˆ…)
2 f1f 5422 . . . . . 6 (π‘₯:𝐴–1-1β†’βˆ… β†’ π‘₯:π΄βŸΆβˆ…)
3 f00 5408 . . . . . 6 (π‘₯:π΄βŸΆβˆ… ↔ (π‘₯ = βˆ… ∧ 𝐴 = βˆ…))
42, 3sylib 122 . . . . 5 (π‘₯:𝐴–1-1β†’βˆ… β†’ (π‘₯ = βˆ… ∧ 𝐴 = βˆ…))
54simprd 114 . . . 4 (π‘₯:𝐴–1-1β†’βˆ… β†’ 𝐴 = βˆ…)
65adantl 277 . . 3 ((𝐴 β‰Ό βˆ… ∧ π‘₯:𝐴–1-1β†’βˆ…) β†’ 𝐴 = βˆ…)
71, 6exlimddv 1898 . 2 (𝐴 β‰Ό βˆ… β†’ 𝐴 = βˆ…)
8 0ex 4131 . . . 4 βˆ… ∈ V
9 domrefg 6767 . . . 4 (βˆ… ∈ V β†’ βˆ… β‰Ό βˆ…)
108, 9ax-mp 5 . . 3 βˆ… β‰Ό βˆ…
11 breq1 4007 . . 3 (𝐴 = βˆ… β†’ (𝐴 β‰Ό βˆ… ↔ βˆ… β‰Ό βˆ…))
1210, 11mpbiri 168 . 2 (𝐴 = βˆ… β†’ 𝐴 β‰Ό βˆ…)
137, 12impbii 126 1 (𝐴 β‰Ό βˆ… ↔ 𝐴 = βˆ…)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2738  βˆ…c0 3423   class class class wbr 4004  βŸΆwf 5213  β€“1-1β†’wf1 5214   β‰Ό cdom 6739
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-en 6741  df-dom 6742
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator