Theorem dom0 7138

Description: A set dominated by the empty set is empty. (Contributed by NM, 22-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dom0	⊢ (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem dom0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 7033	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ → ∃𝑥 𝑥:𝐴–1-1→∅)
2		f1f 5598	. . . . . 6 ⊢ (𝑥:𝐴–1-1→∅ → 𝑥:𝐴⟶∅)
3		f00 5584	. . . . . 6 ⊢ (𝑥:𝐴⟶∅ ↔ (𝑥 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
4	2, 3	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (𝑥:𝐴–1-1→∅ → (𝑥 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
5	4	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝑥:𝐴–1-1→∅ → 𝐴 = ∅)
6	5	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ∅ ∧ 𝑥:𝐴–1-1→∅) → 𝐴 = ∅)
7	1, 6	exlimddv 1954	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ → 𝐴 = ∅)
8		0ex 4260	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
9		domrefg 7053	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ V → ∅ ≼ ∅)
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∅ ≼ ∅
11		breq1 4133	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≼ ∅ ↔ ∅ ≼ ∅))
12	10, 11	mpbiri 168	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≼ ∅)
13	7, 12	impbii 126	1 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ∅c0 3520   class class class wbr 4130  ⟶wf 5373  –1-1→wf1 5374   ≼ cdom 7021

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-en 7023  df-dom 7024

This theorem is used by: (None)