Theorem dom0 6894

Description: A set dominated by the empty set is empty. (Contributed by NM, 22-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dom0	⊢ (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem dom0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 6803	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ → ∃𝑥 𝑥:𝐴–1-1→∅)
2		f1f 5459	. . . . . 6 ⊢ (𝑥:𝐴–1-1→∅ → 𝑥:𝐴⟶∅)
3		f00 5445	. . . . . 6 ⊢ (𝑥:𝐴⟶∅ ↔ (𝑥 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
4	2, 3	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (𝑥:𝐴–1-1→∅ → (𝑥 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
5	4	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝑥:𝐴–1-1→∅ → 𝐴 = ∅)
6	5	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ∅ ∧ 𝑥:𝐴–1-1→∅) → 𝐴 = ∅)
7	1, 6	exlimddv 1910	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ → 𝐴 = ∅)
8		0ex 4156	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
9		domrefg 6821	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ V → ∅ ≼ ∅)
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∅ ≼ ∅
11		breq1 4032	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≼ ∅ ↔ ∅ ≼ ∅))
12	10, 11	mpbiri 168	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≼ ∅)
13	7, 12	impbii 126	1 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760  ∅c0 3446   class class class wbr 4029  ⟶wf 5250  –1-1→wf1 5251   ≼ cdom 6793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-en 6795  df-dom 6796

This theorem is referenced by: (None)