ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dom0 GIF version

Theorem dom0 6837
Description: A set dominated by the empty set is empty. (Contributed by NM, 22-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
dom0 (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem dom0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 6748 . . 3 (𝐴 ≼ ∅ → ∃𝑥 𝑥:𝐴1-1→∅)
2 f1f 5421 . . . . . 6 (𝑥:𝐴1-1→∅ → 𝑥:𝐴⟶∅)
3 f00 5407 . . . . . 6 (𝑥:𝐴⟶∅ ↔ (𝑥 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
42, 3sylib 122 . . . . 5 (𝑥:𝐴1-1→∅ → (𝑥 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
54simprd 114 . . . 4 (𝑥:𝐴1-1→∅ → 𝐴 = ∅)
65adantl 277 . . 3 ((𝐴 ≼ ∅ ∧ 𝑥:𝐴1-1→∅) → 𝐴 = ∅)
71, 6exlimddv 1898 . 2 (𝐴 ≼ ∅ → 𝐴 = ∅)
8 0ex 4130 . . . 4 ∅ ∈ V
9 domrefg 6766 . . . 4 (∅ ∈ V → ∅ ≼ ∅)
108, 9ax-mp 5 . . 3 ∅ ≼ ∅
11 breq1 4006 . . 3 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≼ ∅ ↔ ∅ ≼ ∅))
1210, 11mpbiri 168 . 2 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≼ ∅)
137, 12impbii 126 1 (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  Vcvv 2737  c0 3422   class class class wbr 4003  wf 5212  1-1wf1 5213  cdom 6738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-en 6740  df-dom 6741
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator