ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dom0 GIF version

Theorem dom0 6500
Description: A set dominated by the empty set is empty. (Contributed by NM, 22-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
dom0 (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem dom0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 6412 . . 3 (𝐴 ≼ ∅ → ∃𝑥 𝑥:𝐴1-1→∅)
2 f1f 5173 . . . . . 6 (𝑥:𝐴1-1→∅ → 𝑥:𝐴⟶∅)
3 f00 5159 . . . . . 6 (𝑥:𝐴⟶∅ ↔ (𝑥 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
42, 3sylib 120 . . . . 5 (𝑥:𝐴1-1→∅ → (𝑥 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
54simprd 112 . . . 4 (𝑥:𝐴1-1→∅ → 𝐴 = ∅)
65adantl 271 . . 3 ((𝐴 ≼ ∅ ∧ 𝑥:𝐴1-1→∅) → 𝐴 = ∅)
71, 6exlimddv 1823 . 2 (𝐴 ≼ ∅ → 𝐴 = ∅)
8 0ex 3940 . . . 4 ∅ ∈ V
9 domrefg 6430 . . . 4 (∅ ∈ V → ∅ ≼ ∅)
108, 9ax-mp 7 . . 3 ∅ ≼ ∅
11 breq1 3823 . . 3 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≼ ∅ ↔ ∅ ≼ ∅))
1210, 11mpbiri 166 . 2 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≼ ∅)
137, 12impbii 124 1 (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 102  wb 103   = wceq 1287  wcel 1436  Vcvv 2615  c0 3275   class class class wbr 3820  wf 4974  1-1wf1 4975  cdom 6402
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3931  ax-nul 3939  ax-pow 3983  ax-pr 4009  ax-un 4233
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2617  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-br 3821  df-opab 3875  df-id 4093  df-xp 4416  df-rel 4417  df-cnv 4418  df-co 4419  df-dm 4420  df-rn 4421  df-res 4422  df-ima 4423  df-fun 4980  df-fn 4981  df-f 4982  df-f1 4983  df-fo 4984  df-f1o 4985  df-en 6404  df-dom 6405
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator