Theorem dom0 6837

Description: A set dominated by the empty set is empty. (Contributed by NM, 22-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dom0	⊢ (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem dom0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 6748	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ → ∃𝑥 𝑥:𝐴–1-1→∅)
2		f1f 5421	. . . . . 6 ⊢ (𝑥:𝐴–1-1→∅ → 𝑥:𝐴⟶∅)
3		f00 5407	. . . . . 6 ⊢ (𝑥:𝐴⟶∅ ↔ (𝑥 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
4	2, 3	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (𝑥:𝐴–1-1→∅ → (𝑥 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
5	4	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝑥:𝐴–1-1→∅ → 𝐴 = ∅)
6	5	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ∅ ∧ 𝑥:𝐴–1-1→∅) → 𝐴 = ∅)
7	1, 6	exlimddv 1898	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ → 𝐴 = ∅)
8		0ex 4130	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
9		domrefg 6766	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ V → ∅ ≼ ∅)
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∅ ≼ ∅
11		breq1 4006	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≼ ∅ ↔ ∅ ≼ ∅))
12	10, 11	mpbiri 168	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≼ ∅)
13	7, 12	impbii 126	1 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2737  ∅c0 3422   class class class wbr 4003  ⟶wf 5212  –1-1→wf1 5213   ≼ cdom 6738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-en 6740  df-dom 6741

This theorem is referenced by: (None)