Theorem dom0 7067

Description: A set dominated by the empty set is empty. (Contributed by NM, 22-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dom0	⊢ (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem dom0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 6963	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ → ∃𝑥 𝑥:𝐴–1-1→∅)
2		f1f 5551	. . . . . 6 ⊢ (𝑥:𝐴–1-1→∅ → 𝑥:𝐴⟶∅)
3		f00 5537	. . . . . 6 ⊢ (𝑥:𝐴⟶∅ ↔ (𝑥 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
4	2, 3	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (𝑥:𝐴–1-1→∅ → (𝑥 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
5	4	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝑥:𝐴–1-1→∅ → 𝐴 = ∅)
6	5	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ∅ ∧ 𝑥:𝐴–1-1→∅) → 𝐴 = ∅)
7	1, 6	exlimddv 1947	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ → 𝐴 = ∅)
8		0ex 4221	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
9		domrefg 6983	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ V → ∅ ≼ ∅)
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∅ ≼ ∅
11		breq1 4096	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≼ ∅ ↔ ∅ ≼ ∅))
12	10, 11	mpbiri 168	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≼ ∅)
13	7, 12	impbii 126	1 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803  ∅c0 3496   class class class wbr 4093  ⟶wf 5329  –1-1→wf1 5330   ≼ cdom 6951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-en 6953  df-dom 6954

This theorem is referenced by: (None)