Theorem eldifad 3231

Description: If a class is in the difference of two classes, it is also in the minuend. One-way deduction form of eldif 3229. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldifad.1	|- ( ph -> A e. ( B \ C ) )

Assertion

Ref	Expression
eldifad	|- ( ph -> A e. B )

Proof of Theorem eldifad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifad.1	. . 3 |- ( ph -> A e. ( B \ C ) )
2		eldif 3229	. . 3 |- ( A e. ( B \ C ) <-> ( A e. B /\ -. A e. C ) )
3	1, 2	sylib 122	. 2 |- ( ph -> ( A e. B /\ -. A e. C ) )
4	3	simpld 112	1 |- ( ph -> A e. B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   \ cdif 3217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222

This theorem is referenced by:  fvdifsuppst  6477  fimax2gtri  7199  finexdc  7200  elssdc  7202  unfidisj  7222  undifdc  7224  ssfirab  7237  fnfi  7243  iunfidisj  7253  fissfi  7256  dcfi  7308  hashunlem  11225  hashf1lem2  11267  zfz1isolemiso  11272  fsumrelem  12219  fprodcl2lem  12353  fprodap0  12369  fprodrec  12377  fprodap0f  12384  fprodle  12388  ballotfilemcdc  13204  gsumclfi  14139  gsummptfidmadd  14141  gsumsubmclfi  14143  gsumfsum  14898  iuncld  15142  fsumcncntop  15594  gausslemma2dlem0i  16093  gausslemma2dlem4  16100  gausslemma2dlem5a  16101  gausslemma2dlem7  16104  lgseisenlem1  16106  lgseisenlem2  16107  lgseisenlem3  16108  lgseisenlem4  16109  lgseisen  16110  lgsquadlem1  16113  lgsquadlem2  16114  lgsquadlem3  16115  1loopgrvd0fi  16464  bj-charfun  16750