Theorem eldifad 3224

Description: If a class is in the difference of two classes, it is also in the minuend. One-way deduction form of eldif 3222. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldifad.1	|- ( ph -> A e. ( B \ C ) )

Assertion

Ref	Expression
eldifad	|- ( ph -> A e. B )

Proof of Theorem eldifad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifad.1	. . 3 |- ( ph -> A e. ( B \ C ) )
2		eldif 3222	. . 3 |- ( A e. ( B \ C ) <-> ( A e. B /\ -. A e. C ) )
3	1, 2	sylib 122	. 2 |- ( ph -> ( A e. B /\ -. A e. C ) )
4	3	simpld 112	1 |- ( ph -> A e. B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2205   \ cdif 3210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-dif 3215

This theorem is referenced by:  fvdifsuppst  6446  fimax2gtri  7161  finexdc  7162  elssdc  7164  unfidisj  7184  undifdc  7186  ssfirab  7199  fnfi  7205  iunfidisj  7215  fissfi  7218  dcfi  7270  hashunlem  11172  zfz1isolemiso  11215  fsumrelem  12161  fprodcl2lem  12295  fprodap0  12311  fprodrec  12319  fprodap0f  12326  fprodle  12330  ballotfilemcdc  13146  iuncld  14997  fsumcncntop  15449  gausslemma2dlem0i  15947  gausslemma2dlem4  15954  gausslemma2dlem5a  15955  gausslemma2dlem7  15958  lgseisenlem1  15960  lgseisenlem2  15961  lgseisenlem3  15962  lgseisenlem4  15963  lgseisen  15964  lgsquadlem1  15967  lgsquadlem2  15968  lgsquadlem3  15969  1loopgrvd0fi  16318  bj-charfun  16594  gfsumcl  16887