Theorem fprodle 11783

Description: If all the terms of two finite products are nonnegative and compare, so do the two products. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodle.kph	|- F/ k ph
fprodle.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodle.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
fprodle.0l3b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )
fprodle.c	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. RR )
fprodle.blec	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
fprodle	|- ( ph -> prod_ k e. A B <_ prod_ k e. A C )

Distinct variable group:   A, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( k)   C( k)

Proof of Theorem fprodle

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 11696	. . 3 |- ( w = (/) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. (/) B )
2		prodeq1 11696	. . 3 |- ( w = (/) -> prod_ k e. w C = prod_ k e. (/) C )
3	1, 2	breq12d 4042	. 2 |- ( w = (/) -> ( prod_ k e. w B <_ prod_ k e. w C <-> prod_ k e. (/) B <_ prod_ k e. (/) C ) )
4		prodeq1 11696	. . 3 |- ( w = y -> prod_ k e. w B = prod_ k e. y B )
5		prodeq1 11696	. . 3 |- ( w = y -> prod_ k e. w C = prod_ k e. y C )
6	4, 5	breq12d 4042	. 2 |- ( w = y -> ( prod_ k e. w B <_ prod_ k e. w C <-> prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) )
7		prodeq1 11696	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. ( y u. { z } ) B )
8		prodeq1 11696	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> prod_ k e. w C = prod_ k e. ( y u. { z } ) C )
9	7, 8	breq12d 4042	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( prod_ k e. w B <_ prod_ k e. w C <-> prod_ k e. ( y u. { z } ) B <_ prod_ k e. ( y u. { z } ) C ) )
10		prodeq1 11696	. . 3 |- ( w = A -> prod_ k e. w B = prod_ k e. A B )
11		prodeq1 11696	. . 3 |- ( w = A -> prod_ k e. w C = prod_ k e. A C )
12	10, 11	breq12d 4042	. 2 |- ( w = A -> ( prod_ k e. w B <_ prod_ k e. w C <-> prod_ k e. A B <_ prod_ k e. A C ) )
13		prod0 11728	. . . 4 |- prod_ k e. (/) B = 1
14		prod0 11728	. . . 4 |- prod_ k e. (/) C = 1
15	13, 14	eqtr4i 2217	. . 3 |- prod_ k e. (/) B = prod_ k e. (/) C
16		1re 8018	. . . . 5 |- 1 e. RR
17	13, 16	eqeltri 2266	. . . 4 |- prod_ k e. (/) B e. RR
18	17	eqlei 8113	. . 3 |- ( prod_ k e. (/) B = prod_ k e. (/) C -> prod_ k e. (/) B <_ prod_ k e. (/) C )
19	15, 18	mp1i 10	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. (/) B <_ prod_ k e. (/) C )
20		fprodle.kph	. . . . . . . . 9 |- F/ k ph
21		nfv 1539	. . . . . . . . 9 |- F/ k y e. Fin
22	20, 21	nfan 1576	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ph /\ y e. Fin )
23		nfv 1539	. . . . . . . 8 |- F/ k ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) )
24	22, 23	nfan 1576	. . . . . . 7 |- F/ k ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) )
25		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
26		simplll 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> ph )
27		simplrl 535	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> y C_ A )
28		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. y )
29	27, 28	sseldd 3180	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. A )
30		fprodle.b	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
31	26, 29, 30	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. RR )
32	24, 25, 31	fprodreclf 11757	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. y B e. RR )
33	32	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> prod_ k e. y B e. RR )
34		fprodle.c	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. RR )
35	26, 29, 34	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> C e. RR )
36	24, 25, 35	fprodreclf 11757	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. y C e. RR )
37	36	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> prod_ k e. y C e. RR )
38		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ph )
39		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
40	39	eldifad 3164	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. A )
41	30	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A -> B e. RR ) )
42	20, 41	ralrimi 2565	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. A B e. RR )
43		nfv 1539	. . . . . . . . . 10 |- F/ z B e. RR
44		nfcsb1v 3113	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k [_ z / k ]_ B
45	44	nfel1 2347	. . . . . . . . . 10 |- F/ k [_ z / k ]_ B e. RR
46		csbeq1a 3089	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = z -> B = [_ z / k ]_ B )
47	46	eleq1d 2262	. . . . . . . . . 10 |- ( k = z -> ( B e. RR <-> [_ z / k ]_ B e. RR ) )
48	43, 45, 47	cbvral 2722	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. A B e. RR <-> A. z e. A [_ z / k ]_ B e. RR )
49	42, 48	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. z e. A [_ z / k ]_ B e. RR )
50		rsp 2541	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. A [_ z / k ]_ B e. RR -> ( z e. A -> [_ z / k ]_ B e. RR ) )
51	49, 50	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( z e. A -> [_ z / k ]_ B e. RR ) )
52	38, 40, 51	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ B e. RR )
53	52	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> [_ z / k ]_ B e. RR )
54	34	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A -> C e. RR ) )
55	20, 54	ralrimi 2565	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. A C e. RR )
56		nfv 1539	. . . . . . . . . 10 |- F/ z C e. RR
57		nfcsb1v 3113	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k [_ z / k ]_ C
58	57	nfel1 2347	. . . . . . . . . 10 |- F/ k [_ z / k ]_ C e. RR
59		csbeq1a 3089	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = z -> C = [_ z / k ]_ C )
60	59	eleq1d 2262	. . . . . . . . . 10 |- ( k = z -> ( C e. RR <-> [_ z / k ]_ C e. RR ) )
61	56, 58, 60	cbvral 2722	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. A C e. RR <-> A. z e. A [_ z / k ]_ C e. RR )
62	55, 61	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. z e. A [_ z / k ]_ C e. RR )
63		rsp 2541	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. A [_ z / k ]_ C e. RR -> ( z e. A -> [_ z / k ]_ C e. RR ) )
64	62, 63	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( z e. A -> [_ z / k ]_ C e. RR ) )
65	38, 40, 64	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ C e. RR )
66	65	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> [_ z / k ]_ C e. RR )
67		fprodle.0l3b	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )
68	26, 29, 67	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> 0 <_ B )
69	24, 25, 31, 68	fprodge0 11780	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> 0 <_ prod_ k e. y B )
70	69	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> 0 <_ prod_ k e. y B )
71	67	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. A -> 0 <_ B ) )
72	20, 71	ralrimi 2565	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. A 0 <_ B )
73	38, 72	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> A. k e. A 0 <_ B )
74		nfcv 2336	. . . . . . . . 9 |- F/_ k 0
75		nfcv 2336	. . . . . . . . 9 |- F/_ k <_
76	74, 75, 44	nfbr 4075	. . . . . . . 8 |- F/ k 0 <_ [_ z / k ]_ B
77	46	breq2d 4041	. . . . . . . 8 |- ( k = z -> ( 0 <_ B <-> 0 <_ [_ z / k ]_ B ) )
78	76, 77	rspc 2858	. . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( A. k e. A 0 <_ B -> 0 <_ [_ z / k ]_ B ) )
79	40, 73, 78	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> 0 <_ [_ z / k ]_ B )
80	79	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> 0 <_ [_ z / k ]_ B )
81		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C )
82	40	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> z e. A )
83		fprodle.blec	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B <_ C )
84	83	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( k e. A -> B <_ C ) )
85	20, 84	ralrimi 2565	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. A B <_ C )
86	85	ad3antrrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> A. k e. A B <_ C )
87	44, 75, 57	nfbr 4075	. . . . . . 7 |- F/ k [_ z / k ]_ B <_ [_ z / k ]_ C
88	46, 59	breq12d 4042	. . . . . . 7 |- ( k = z -> ( B <_ C <-> [_ z / k ]_ B <_ [_ z / k ]_ C ) )
89	87, 88	rspc 2858	. . . . . 6 |- ( z e. A -> ( A. k e. A B <_ C -> [_ z / k ]_ B <_ [_ z / k ]_ C ) )
90	82, 86, 89	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> [_ z / k ]_ B <_ [_ z / k ]_ C )
91	33, 37, 53, 66, 70, 80, 81, 90	lemul12ad 8961	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) <_ ( prod_ k e. y C x. [_ z / k ]_ C ) )
92	39	eldifbd 3165	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
93	30	recnd 8048	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
94	26, 29, 93	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. CC )
95	52	recnd 8048	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
96	24, 44, 25, 39, 92, 94, 46, 95	fprodsplitsn 11776	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) )
97	35	recnd 8048	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> C e. CC )
98	65	recnd 8048	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ C e. CC )
99	24, 57, 25, 39, 92, 97, 59, 98	fprodsplitsn 11776	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) C = ( prod_ k e. y C x. [_ z / k ]_ C ) )
100	96, 99	breq12d 4042	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { z } ) B <_ prod_ k e. ( y u. { z } ) C <-> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) <_ ( prod_ k e. y C x. [_ z / k ]_ C ) ) )
101	100	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> ( prod_ k e. ( y u. { z } ) B <_ prod_ k e. ( y u. { z } ) C <-> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) <_ ( prod_ k e. y C x. [_ z / k ]_ C ) ) )
102	91, 101	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B <_ prod_ k e. ( y u. { z } ) C )
103	102	ex 115	. 2 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B <_ prod_ k e. ( y u. { z } ) C ) )
104		fprodle.a	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
105	3, 6, 9, 12, 19, 103, 104	findcard2sd 6948	1 |- ( ph -> prod_ k e. A B <_ prod_ k e. A C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   F/wnf 1471   e. wcel 2164   A.wral 2472   [_csb 3080   \ cdif 3150   u. cun 3151   C_ wss 3153   (/)c0 3446   {csn 3618   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918   Fincfn 6794   CCcc 7870   RRcr 7871   0cc0 7872   1c1 7873   x. cmul 7877   <_ cle 8055   prod_cprod 11693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-ico 9960  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-ihash 10847  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-proddc 11694

This theorem is referenced by: (None)