Theorem fprodle 12066

Description: If all the terms of two finite products are nonnegative and compare, so do the two products. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodle.kph	|- F/ k ph
fprodle.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodle.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
fprodle.0l3b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )
fprodle.c	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. RR )
fprodle.blec	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
fprodle	|- ( ph -> prod_ k e. A B <_ prod_ k e. A C )

Distinct variable group:   A, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( k)   C( k)

Proof of Theorem fprodle

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 11979	. . 3 |- ( w = (/) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. (/) B )
2		prodeq1 11979	. . 3 |- ( w = (/) -> prod_ k e. w C = prod_ k e. (/) C )
3	1, 2	breq12d 4072	. 2 |- ( w = (/) -> ( prod_ k e. w B <_ prod_ k e. w C <-> prod_ k e. (/) B <_ prod_ k e. (/) C ) )
4		prodeq1 11979	. . 3 |- ( w = y -> prod_ k e. w B = prod_ k e. y B )
5		prodeq1 11979	. . 3 |- ( w = y -> prod_ k e. w C = prod_ k e. y C )
6	4, 5	breq12d 4072	. 2 |- ( w = y -> ( prod_ k e. w B <_ prod_ k e. w C <-> prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) )
7		prodeq1 11979	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. ( y u. { z } ) B )
8		prodeq1 11979	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> prod_ k e. w C = prod_ k e. ( y u. { z } ) C )
9	7, 8	breq12d 4072	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( prod_ k e. w B <_ prod_ k e. w C <-> prod_ k e. ( y u. { z } ) B <_ prod_ k e. ( y u. { z } ) C ) )
10		prodeq1 11979	. . 3 |- ( w = A -> prod_ k e. w B = prod_ k e. A B )
11		prodeq1 11979	. . 3 |- ( w = A -> prod_ k e. w C = prod_ k e. A C )
12	10, 11	breq12d 4072	. 2 |- ( w = A -> ( prod_ k e. w B <_ prod_ k e. w C <-> prod_ k e. A B <_ prod_ k e. A C ) )
13		prod0 12011	. . . 4 |- prod_ k e. (/) B = 1
14		prod0 12011	. . . 4 |- prod_ k e. (/) C = 1
15	13, 14	eqtr4i 2231	. . 3 |- prod_ k e. (/) B = prod_ k e. (/) C
16		1re 8106	. . . . 5 |- 1 e. RR
17	13, 16	eqeltri 2280	. . . 4 |- prod_ k e. (/) B e. RR
18	17	eqlei 8201	. . 3 |- ( prod_ k e. (/) B = prod_ k e. (/) C -> prod_ k e. (/) B <_ prod_ k e. (/) C )
19	15, 18	mp1i 10	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. (/) B <_ prod_ k e. (/) C )
20		fprodle.kph	. . . . . . . . 9 |- F/ k ph
21		nfv 1552	. . . . . . . . 9 |- F/ k y e. Fin
22	20, 21	nfan 1589	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ph /\ y e. Fin )
23		nfv 1552	. . . . . . . 8 |- F/ k ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) )
24	22, 23	nfan 1589	. . . . . . 7 |- F/ k ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) )
25		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
26		simplll 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> ph )
27		simplrl 535	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> y C_ A )
28		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. y )
29	27, 28	sseldd 3202	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. A )
30		fprodle.b	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
31	26, 29, 30	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. RR )
32	24, 25, 31	fprodreclf 12040	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. y B e. RR )
33	32	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> prod_ k e. y B e. RR )
34		fprodle.c	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. RR )
35	26, 29, 34	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> C e. RR )
36	24, 25, 35	fprodreclf 12040	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. y C e. RR )
37	36	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> prod_ k e. y C e. RR )
38		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ph )
39		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
40	39	eldifad 3185	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. A )
41	30	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A -> B e. RR ) )
42	20, 41	ralrimi 2579	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. A B e. RR )
43		nfv 1552	. . . . . . . . . 10 |- F/ z B e. RR
44		nfcsb1v 3134	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k [_ z / k ]_ B
45	44	nfel1 2361	. . . . . . . . . 10 |- F/ k [_ z / k ]_ B e. RR
46		csbeq1a 3110	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = z -> B = [_ z / k ]_ B )
47	46	eleq1d 2276	. . . . . . . . . 10 |- ( k = z -> ( B e. RR <-> [_ z / k ]_ B e. RR ) )
48	43, 45, 47	cbvral 2738	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. A B e. RR <-> A. z e. A [_ z / k ]_ B e. RR )
49	42, 48	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. z e. A [_ z / k ]_ B e. RR )
50		rsp 2555	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. A [_ z / k ]_ B e. RR -> ( z e. A -> [_ z / k ]_ B e. RR ) )
51	49, 50	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( z e. A -> [_ z / k ]_ B e. RR ) )
52	38, 40, 51	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ B e. RR )
53	52	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> [_ z / k ]_ B e. RR )
54	34	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A -> C e. RR ) )
55	20, 54	ralrimi 2579	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. A C e. RR )
56		nfv 1552	. . . . . . . . . 10 |- F/ z C e. RR
57		nfcsb1v 3134	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k [_ z / k ]_ C
58	57	nfel1 2361	. . . . . . . . . 10 |- F/ k [_ z / k ]_ C e. RR
59		csbeq1a 3110	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = z -> C = [_ z / k ]_ C )
60	59	eleq1d 2276	. . . . . . . . . 10 |- ( k = z -> ( C e. RR <-> [_ z / k ]_ C e. RR ) )
61	56, 58, 60	cbvral 2738	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. A C e. RR <-> A. z e. A [_ z / k ]_ C e. RR )
62	55, 61	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. z e. A [_ z / k ]_ C e. RR )
63		rsp 2555	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. A [_ z / k ]_ C e. RR -> ( z e. A -> [_ z / k ]_ C e. RR ) )
64	62, 63	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( z e. A -> [_ z / k ]_ C e. RR ) )
65	38, 40, 64	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ C e. RR )
66	65	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> [_ z / k ]_ C e. RR )
67		fprodle.0l3b	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )
68	26, 29, 67	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> 0 <_ B )
69	24, 25, 31, 68	fprodge0 12063	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> 0 <_ prod_ k e. y B )
70	69	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> 0 <_ prod_ k e. y B )
71	67	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. A -> 0 <_ B ) )
72	20, 71	ralrimi 2579	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. A 0 <_ B )
73	38, 72	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> A. k e. A 0 <_ B )
74		nfcv 2350	. . . . . . . . 9 |- F/_ k 0
75		nfcv 2350	. . . . . . . . 9 |- F/_ k <_
76	74, 75, 44	nfbr 4106	. . . . . . . 8 |- F/ k 0 <_ [_ z / k ]_ B
77	46	breq2d 4071	. . . . . . . 8 |- ( k = z -> ( 0 <_ B <-> 0 <_ [_ z / k ]_ B ) )
78	76, 77	rspc 2878	. . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( A. k e. A 0 <_ B -> 0 <_ [_ z / k ]_ B ) )
79	40, 73, 78	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> 0 <_ [_ z / k ]_ B )
80	79	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> 0 <_ [_ z / k ]_ B )
81		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C )
82	40	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> z e. A )
83		fprodle.blec	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B <_ C )
84	83	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( k e. A -> B <_ C ) )
85	20, 84	ralrimi 2579	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. A B <_ C )
86	85	ad3antrrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> A. k e. A B <_ C )
87	44, 75, 57	nfbr 4106	. . . . . . 7 |- F/ k [_ z / k ]_ B <_ [_ z / k ]_ C
88	46, 59	breq12d 4072	. . . . . . 7 |- ( k = z -> ( B <_ C <-> [_ z / k ]_ B <_ [_ z / k ]_ C ) )
89	87, 88	rspc 2878	. . . . . 6 |- ( z e. A -> ( A. k e. A B <_ C -> [_ z / k ]_ B <_ [_ z / k ]_ C ) )
90	82, 86, 89	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> [_ z / k ]_ B <_ [_ z / k ]_ C )
91	33, 37, 53, 66, 70, 80, 81, 90	lemul12ad 9050	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) <_ ( prod_ k e. y C x. [_ z / k ]_ C ) )
92	39	eldifbd 3186	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
93	30	recnd 8136	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
94	26, 29, 93	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. CC )
95	52	recnd 8136	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
96	24, 44, 25, 39, 92, 94, 46, 95	fprodsplitsn 12059	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) )
97	35	recnd 8136	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> C e. CC )
98	65	recnd 8136	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ C e. CC )
99	24, 57, 25, 39, 92, 97, 59, 98	fprodsplitsn 12059	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) C = ( prod_ k e. y C x. [_ z / k ]_ C ) )
100	96, 99	breq12d 4072	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { z } ) B <_ prod_ k e. ( y u. { z } ) C <-> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) <_ ( prod_ k e. y C x. [_ z / k ]_ C ) ) )
101	100	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> ( prod_ k e. ( y u. { z } ) B <_ prod_ k e. ( y u. { z } ) C <-> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) <_ ( prod_ k e. y C x. [_ z / k ]_ C ) ) )
102	91, 101	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B <_ prod_ k e. ( y u. { z } ) C )
103	102	ex 115	. 2 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B <_ prod_ k e. ( y u. { z } ) C ) )
104		fprodle.a	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
105	3, 6, 9, 12, 19, 103, 104	findcard2sd 7015	1 |- ( ph -> prod_ k e. A B <_ prod_ k e. A C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   F/wnf 1484   e. wcel 2178   A.wral 2486   [_csb 3101   \ cdif 3171   u. cun 3172   C_ wss 3174   (/)c0 3468   {csn 3643   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967   Fincfn 6850   CCcc 7958   RRcr 7959   0cc0 7960   1c1 7961   x. cmul 7965   <_ cle 8143   prod_cprod 11976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-frec 6500  df-1o 6525  df-oadd 6529  df-er 6643  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-ico 10051  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-ihash 10958  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-clim 11705  df-proddc 11977

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