Theorem fprodle 11650

Description: If all the terms of two finite products are nonnegative and compare, so do the two products. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodle.kph	|- F/ k ph
fprodle.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodle.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
fprodle.0l3b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )
fprodle.c	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. RR )
fprodle.blec	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
fprodle	|- ( ph -> prod_ k e. A B <_ prod_ k e. A C )

Distinct variable group:   A, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( k)   C( k)

Proof of Theorem fprodle

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 11563	. . 3 |- ( w = (/) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. (/) B )
2		prodeq1 11563	. . 3 |- ( w = (/) -> prod_ k e. w C = prod_ k e. (/) C )
3	1, 2	breq12d 4018	. 2 |- ( w = (/) -> ( prod_ k e. w B <_ prod_ k e. w C <-> prod_ k e. (/) B <_ prod_ k e. (/) C ) )
4		prodeq1 11563	. . 3 |- ( w = y -> prod_ k e. w B = prod_ k e. y B )
5		prodeq1 11563	. . 3 |- ( w = y -> prod_ k e. w C = prod_ k e. y C )
6	4, 5	breq12d 4018	. 2 |- ( w = y -> ( prod_ k e. w B <_ prod_ k e. w C <-> prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) )
7		prodeq1 11563	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. ( y u. { z } ) B )
8		prodeq1 11563	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> prod_ k e. w C = prod_ k e. ( y u. { z } ) C )
9	7, 8	breq12d 4018	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( prod_ k e. w B <_ prod_ k e. w C <-> prod_ k e. ( y u. { z } ) B <_ prod_ k e. ( y u. { z } ) C ) )
10		prodeq1 11563	. . 3 |- ( w = A -> prod_ k e. w B = prod_ k e. A B )
11		prodeq1 11563	. . 3 |- ( w = A -> prod_ k e. w C = prod_ k e. A C )
12	10, 11	breq12d 4018	. 2 |- ( w = A -> ( prod_ k e. w B <_ prod_ k e. w C <-> prod_ k e. A B <_ prod_ k e. A C ) )
13		prod0 11595	. . . 4 |- prod_ k e. (/) B = 1
14		prod0 11595	. . . 4 |- prod_ k e. (/) C = 1
15	13, 14	eqtr4i 2201	. . 3 |- prod_ k e. (/) B = prod_ k e. (/) C
16		1re 7958	. . . . 5 |- 1 e. RR
17	13, 16	eqeltri 2250	. . . 4 |- prod_ k e. (/) B e. RR
18	17	eqlei 8053	. . 3 |- ( prod_ k e. (/) B = prod_ k e. (/) C -> prod_ k e. (/) B <_ prod_ k e. (/) C )
19	15, 18	mp1i 10	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. (/) B <_ prod_ k e. (/) C )
20		fprodle.kph	. . . . . . . . 9 |- F/ k ph
21		nfv 1528	. . . . . . . . 9 |- F/ k y e. Fin
22	20, 21	nfan 1565	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ph /\ y e. Fin )
23		nfv 1528	. . . . . . . 8 |- F/ k ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) )
24	22, 23	nfan 1565	. . . . . . 7 |- F/ k ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) )
25		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
26		simplll 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> ph )
27		simplrl 535	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> y C_ A )
28		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. y )
29	27, 28	sseldd 3158	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. A )
30		fprodle.b	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
31	26, 29, 30	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. RR )
32	24, 25, 31	fprodreclf 11624	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. y B e. RR )
33	32	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> prod_ k e. y B e. RR )
34		fprodle.c	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. RR )
35	26, 29, 34	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> C e. RR )
36	24, 25, 35	fprodreclf 11624	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. y C e. RR )
37	36	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> prod_ k e. y C e. RR )
38		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ph )
39		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
40	39	eldifad 3142	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. A )
41	30	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A -> B e. RR ) )
42	20, 41	ralrimi 2548	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. A B e. RR )
43		nfv 1528	. . . . . . . . . 10 |- F/ z B e. RR
44		nfcsb1v 3092	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k [_ z / k ]_ B
45	44	nfel1 2330	. . . . . . . . . 10 |- F/ k [_ z / k ]_ B e. RR
46		csbeq1a 3068	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = z -> B = [_ z / k ]_ B )
47	46	eleq1d 2246	. . . . . . . . . 10 |- ( k = z -> ( B e. RR <-> [_ z / k ]_ B e. RR ) )
48	43, 45, 47	cbvral 2701	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. A B e. RR <-> A. z e. A [_ z / k ]_ B e. RR )
49	42, 48	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. z e. A [_ z / k ]_ B e. RR )
50		rsp 2524	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. A [_ z / k ]_ B e. RR -> ( z e. A -> [_ z / k ]_ B e. RR ) )
51	49, 50	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( z e. A -> [_ z / k ]_ B e. RR ) )
52	38, 40, 51	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ B e. RR )
53	52	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> [_ z / k ]_ B e. RR )
54	34	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A -> C e. RR ) )
55	20, 54	ralrimi 2548	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. A C e. RR )
56		nfv 1528	. . . . . . . . . 10 |- F/ z C e. RR
57		nfcsb1v 3092	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k [_ z / k ]_ C
58	57	nfel1 2330	. . . . . . . . . 10 |- F/ k [_ z / k ]_ C e. RR
59		csbeq1a 3068	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = z -> C = [_ z / k ]_ C )
60	59	eleq1d 2246	. . . . . . . . . 10 |- ( k = z -> ( C e. RR <-> [_ z / k ]_ C e. RR ) )
61	56, 58, 60	cbvral 2701	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. A C e. RR <-> A. z e. A [_ z / k ]_ C e. RR )
62	55, 61	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. z e. A [_ z / k ]_ C e. RR )
63		rsp 2524	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. A [_ z / k ]_ C e. RR -> ( z e. A -> [_ z / k ]_ C e. RR ) )
64	62, 63	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( z e. A -> [_ z / k ]_ C e. RR ) )
65	38, 40, 64	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ C e. RR )
66	65	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> [_ z / k ]_ C e. RR )
67		fprodle.0l3b	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )
68	26, 29, 67	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> 0 <_ B )
69	24, 25, 31, 68	fprodge0 11647	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> 0 <_ prod_ k e. y B )
70	69	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> 0 <_ prod_ k e. y B )
71	67	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. A -> 0 <_ B ) )
72	20, 71	ralrimi 2548	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. A 0 <_ B )
73	38, 72	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> A. k e. A 0 <_ B )
74		nfcv 2319	. . . . . . . . 9 |- F/_ k 0
75		nfcv 2319	. . . . . . . . 9 |- F/_ k <_
76	74, 75, 44	nfbr 4051	. . . . . . . 8 |- F/ k 0 <_ [_ z / k ]_ B
77	46	breq2d 4017	. . . . . . . 8 |- ( k = z -> ( 0 <_ B <-> 0 <_ [_ z / k ]_ B ) )
78	76, 77	rspc 2837	. . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( A. k e. A 0 <_ B -> 0 <_ [_ z / k ]_ B ) )
79	40, 73, 78	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> 0 <_ [_ z / k ]_ B )
80	79	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> 0 <_ [_ z / k ]_ B )
81		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C )
82	40	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> z e. A )
83		fprodle.blec	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B <_ C )
84	83	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( k e. A -> B <_ C ) )
85	20, 84	ralrimi 2548	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. A B <_ C )
86	85	ad3antrrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> A. k e. A B <_ C )
87	44, 75, 57	nfbr 4051	. . . . . . 7 |- F/ k [_ z / k ]_ B <_ [_ z / k ]_ C
88	46, 59	breq12d 4018	. . . . . . 7 |- ( k = z -> ( B <_ C <-> [_ z / k ]_ B <_ [_ z / k ]_ C ) )
89	87, 88	rspc 2837	. . . . . 6 |- ( z e. A -> ( A. k e. A B <_ C -> [_ z / k ]_ B <_ [_ z / k ]_ C ) )
90	82, 86, 89	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> [_ z / k ]_ B <_ [_ z / k ]_ C )
91	33, 37, 53, 66, 70, 80, 81, 90	lemul12ad 8901	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) <_ ( prod_ k e. y C x. [_ z / k ]_ C ) )
92	39	eldifbd 3143	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
93	30	recnd 7988	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
94	26, 29, 93	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. CC )
95	52	recnd 7988	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
96	24, 44, 25, 39, 92, 94, 46, 95	fprodsplitsn 11643	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) )
97	35	recnd 7988	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> C e. CC )
98	65	recnd 7988	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ C e. CC )
99	24, 57, 25, 39, 92, 97, 59, 98	fprodsplitsn 11643	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) C = ( prod_ k e. y C x. [_ z / k ]_ C ) )
100	96, 99	breq12d 4018	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { z } ) B <_ prod_ k e. ( y u. { z } ) C <-> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) <_ ( prod_ k e. y C x. [_ z / k ]_ C ) ) )
101	100	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> ( prod_ k e. ( y u. { z } ) B <_ prod_ k e. ( y u. { z } ) C <-> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) <_ ( prod_ k e. y C x. [_ z / k ]_ C ) ) )
102	91, 101	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B <_ prod_ k e. ( y u. { z } ) C )
103	102	ex 115	. 2 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B <_ prod_ k e. ( y u. { z } ) C ) )
104		fprodle.a	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
105	3, 6, 9, 12, 19, 103, 104	findcard2sd 6894	1 |- ( ph -> prod_ k e. A B <_ prod_ k e. A C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   F/wnf 1460   e. wcel 2148   A.wral 2455   [_csb 3059   \ cdif 3128   u. cun 3129   C_ wss 3131   (/)c0 3424   {csn 3594   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877   Fincfn 6742   CCcc 7811   RRcr 7812   0cc0 7813   1c1 7814   x. cmul 7818   <_ cle 7995   prod_cprod 11560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-ico 9896  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-ihash 10758  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-proddc 11561

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