Theorem fprodle 12351

Description: If all the terms of two finite products are nonnegative and compare, so do the two products. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodle.kph	|- F/ k ph
fprodle.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodle.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
fprodle.0l3b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )
fprodle.c	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. RR )
fprodle.blec	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
fprodle	|- ( ph -> prod_ k e. A B <_ prod_ k e. A C )

Distinct variable group:   A, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( k)   C( k)

Proof of Theorem fprodle

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 12264	. . 3 |- ( w = (/) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. (/) B )
2		prodeq1 12264	. . 3 |- ( w = (/) -> prod_ k e. w C = prod_ k e. (/) C )
3	1, 2	breq12d 4127	. 2 |- ( w = (/) -> ( prod_ k e. w B <_ prod_ k e. w C <-> prod_ k e. (/) B <_ prod_ k e. (/) C ) )
4		prodeq1 12264	. . 3 |- ( w = y -> prod_ k e. w B = prod_ k e. y B )
5		prodeq1 12264	. . 3 |- ( w = y -> prod_ k e. w C = prod_ k e. y C )
6	4, 5	breq12d 4127	. 2 |- ( w = y -> ( prod_ k e. w B <_ prod_ k e. w C <-> prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) )
7		prodeq1 12264	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. ( y u. { z } ) B )
8		prodeq1 12264	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> prod_ k e. w C = prod_ k e. ( y u. { z } ) C )
9	7, 8	breq12d 4127	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( prod_ k e. w B <_ prod_ k e. w C <-> prod_ k e. ( y u. { z } ) B <_ prod_ k e. ( y u. { z } ) C ) )
10		prodeq1 12264	. . 3 |- ( w = A -> prod_ k e. w B = prod_ k e. A B )
11		prodeq1 12264	. . 3 |- ( w = A -> prod_ k e. w C = prod_ k e. A C )
12	10, 11	breq12d 4127	. 2 |- ( w = A -> ( prod_ k e. w B <_ prod_ k e. w C <-> prod_ k e. A B <_ prod_ k e. A C ) )
13		prod0 12296	. . . 4 |- prod_ k e. (/) B = 1
14		prod0 12296	. . . 4 |- prod_ k e. (/) C = 1
15	13, 14	eqtr4i 2258	. . 3 |- prod_ k e. (/) B = prod_ k e. (/) C
16		1re 8289	. . . . 5 |- 1 e. RR
17	13, 16	eqeltri 2307	. . . 4 |- prod_ k e. (/) B e. RR
18	17	eqlei 8383	. . 3 |- ( prod_ k e. (/) B = prod_ k e. (/) C -> prod_ k e. (/) B <_ prod_ k e. (/) C )
19	15, 18	mp1i 10	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. (/) B <_ prod_ k e. (/) C )
20		fprodle.kph	. . . . . . . . 9 |- F/ k ph
21		nfv 1577	. . . . . . . . 9 |- F/ k y e. Fin
22	20, 21	nfan 1614	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ph /\ y e. Fin )
23		nfv 1577	. . . . . . . 8 |- F/ k ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) )
24	22, 23	nfan 1614	. . . . . . 7 |- F/ k ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) )
25		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
26		simplll 535	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> ph )
27		simplrl 537	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> y C_ A )
28		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. y )
29	27, 28	sseldd 3243	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. A )
30		fprodle.b	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
31	26, 29, 30	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. RR )
32	24, 25, 31	fprodreclf 12325	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. y B e. RR )
33	32	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> prod_ k e. y B e. RR )
34		fprodle.c	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. RR )
35	26, 29, 34	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> C e. RR )
36	24, 25, 35	fprodreclf 12325	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. y C e. RR )
37	36	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> prod_ k e. y C e. RR )
38		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ph )
39		simprr 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
40	39	eldifad 3225	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. A )
41	30	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A -> B e. RR ) )
42	20, 41	ralrimi 2615	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. A B e. RR )
43		nfv 1577	. . . . . . . . . 10 |- F/ z B e. RR
44		nfcsb1v 3174	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k [_ z / k ]_ B
45	44	nfel1 2397	. . . . . . . . . 10 |- F/ k [_ z / k ]_ B e. RR
46		csbeq1a 3150	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = z -> B = [_ z / k ]_ B )
47	46	eleq1d 2303	. . . . . . . . . 10 |- ( k = z -> ( B e. RR <-> [_ z / k ]_ B e. RR ) )
48	43, 45, 47	cbvral 2776	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. A B e. RR <-> A. z e. A [_ z / k ]_ B e. RR )
49	42, 48	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. z e. A [_ z / k ]_ B e. RR )
50		rsp 2591	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. A [_ z / k ]_ B e. RR -> ( z e. A -> [_ z / k ]_ B e. RR ) )
51	49, 50	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( z e. A -> [_ z / k ]_ B e. RR ) )
52	38, 40, 51	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ B e. RR )
53	52	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> [_ z / k ]_ B e. RR )
54	34	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A -> C e. RR ) )
55	20, 54	ralrimi 2615	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. A C e. RR )
56		nfv 1577	. . . . . . . . . 10 |- F/ z C e. RR
57		nfcsb1v 3174	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k [_ z / k ]_ C
58	57	nfel1 2397	. . . . . . . . . 10 |- F/ k [_ z / k ]_ C e. RR
59		csbeq1a 3150	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = z -> C = [_ z / k ]_ C )
60	59	eleq1d 2303	. . . . . . . . . 10 |- ( k = z -> ( C e. RR <-> [_ z / k ]_ C e. RR ) )
61	56, 58, 60	cbvral 2776	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. A C e. RR <-> A. z e. A [_ z / k ]_ C e. RR )
62	55, 61	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. z e. A [_ z / k ]_ C e. RR )
63		rsp 2591	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. A [_ z / k ]_ C e. RR -> ( z e. A -> [_ z / k ]_ C e. RR ) )
64	62, 63	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( z e. A -> [_ z / k ]_ C e. RR ) )
65	38, 40, 64	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ C e. RR )
66	65	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> [_ z / k ]_ C e. RR )
67		fprodle.0l3b	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )
68	26, 29, 67	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> 0 <_ B )
69	24, 25, 31, 68	fprodge0 12348	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> 0 <_ prod_ k e. y B )
70	69	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> 0 <_ prod_ k e. y B )
71	67	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. A -> 0 <_ B ) )
72	20, 71	ralrimi 2615	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. A 0 <_ B )
73	38, 72	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> A. k e. A 0 <_ B )
74		nfcv 2386	. . . . . . . . 9 |- F/_ k 0
75		nfcv 2386	. . . . . . . . 9 |- F/_ k <_
76	74, 75, 44	nfbr 4161	. . . . . . . 8 |- F/ k 0 <_ [_ z / k ]_ B
77	46	breq2d 4126	. . . . . . . 8 |- ( k = z -> ( 0 <_ B <-> 0 <_ [_ z / k ]_ B ) )
78	76, 77	rspc 2917	. . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( A. k e. A 0 <_ B -> 0 <_ [_ z / k ]_ B ) )
79	40, 73, 78	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> 0 <_ [_ z / k ]_ B )
80	79	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> 0 <_ [_ z / k ]_ B )
81		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C )
82	40	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> z e. A )
83		fprodle.blec	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B <_ C )
84	83	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( k e. A -> B <_ C ) )
85	20, 84	ralrimi 2615	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. A B <_ C )
86	85	ad3antrrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> A. k e. A B <_ C )
87	44, 75, 57	nfbr 4161	. . . . . . 7 |- F/ k [_ z / k ]_ B <_ [_ z / k ]_ C
88	46, 59	breq12d 4127	. . . . . . 7 |- ( k = z -> ( B <_ C <-> [_ z / k ]_ B <_ [_ z / k ]_ C ) )
89	87, 88	rspc 2917	. . . . . 6 |- ( z e. A -> ( A. k e. A B <_ C -> [_ z / k ]_ B <_ [_ z / k ]_ C ) )
90	82, 86, 89	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> [_ z / k ]_ B <_ [_ z / k ]_ C )
91	33, 37, 53, 66, 70, 80, 81, 90	lemul12ad 9233	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) <_ ( prod_ k e. y C x. [_ z / k ]_ C ) )
92	39	eldifbd 3226	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
93	30	recnd 8318	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
94	26, 29, 93	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. CC )
95	52	recnd 8318	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
96	24, 44, 25, 39, 92, 94, 46, 95	fprodsplitsn 12344	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) )
97	35	recnd 8318	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> C e. CC )
98	65	recnd 8318	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ C e. CC )
99	24, 57, 25, 39, 92, 97, 59, 98	fprodsplitsn 12344	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) C = ( prod_ k e. y C x. [_ z / k ]_ C ) )
100	96, 99	breq12d 4127	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { z } ) B <_ prod_ k e. ( y u. { z } ) C <-> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) <_ ( prod_ k e. y C x. [_ z / k ]_ C ) ) )
101	100	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> ( prod_ k e. ( y u. { z } ) B <_ prod_ k e. ( y u. { z } ) C <-> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) <_ ( prod_ k e. y C x. [_ z / k ]_ C ) ) )
102	91, 101	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B <_ prod_ k e. ( y u. { z } ) C )
103	102	ex 115	. 2 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. y B <_ prod_ k e. y C -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B <_ prod_ k e. ( y u. { z } ) C ) )
104		fprodle.a	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
105	3, 6, 9, 12, 19, 103, 104	findcard2sd 7162	1 |- ( ph -> prod_ k e. A B <_ prod_ k e. A C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   F/wnf 1509   e. wcel 2205   A.wral 2522   [_csb 3141   \ cdif 3211   u. cun 3212   C_ wss 3214   (/)c0 3512   {csn 3694   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   Fincfn 6988   CCcc 8141   RRcr 8142   0cc0 8143   1c1 8144   x. cmul 8148   <_ cle 8325   prod_cprod 12261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-ico 10246  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-ihash 11164  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989  df-proddc 12262

This theorem is referenced by: (None)