Theorem fprodrec 12180

Description: The finite product of reciprocals is the reciprocal of the product. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodrec.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodrec.ccl	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
fprodrec.cap	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B # 0 )

Assertion

Ref	Expression
fprodrec	|- ( ph -> prod_ k e. A ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. A B ) )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fprodrec

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 12104	. . 3 |- ( w = (/) -> prod_ k e. w ( 1 / B ) = prod_ k e. (/) ( 1 / B ) )
2		prodeq1 12104	. . . 4 |- ( w = (/) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. (/) B )
3	2	oveq2d 6029	. . 3 |- ( w = (/) -> ( 1 / prod_ k e. w B ) = ( 1 / prod_ k e. (/) B ) )
4	1, 3	eqeq12d 2244	. 2 |- ( w = (/) -> ( prod_ k e. w ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. w B ) <-> prod_ k e. (/) ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. (/) B ) ) )
5		prodeq1 12104	. . 3 |- ( w = y -> prod_ k e. w ( 1 / B ) = prod_ k e. y ( 1 / B ) )
6		prodeq1 12104	. . . 4 |- ( w = y -> prod_ k e. w B = prod_ k e. y B )
7	6	oveq2d 6029	. . 3 |- ( w = y -> ( 1 / prod_ k e. w B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) )
8	5, 7	eqeq12d 2244	. 2 |- ( w = y -> ( prod_ k e. w ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. w B ) <-> prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) )
9		prodeq1 12104	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> prod_ k e. w ( 1 / B ) = prod_ k e. ( y u. { z } ) ( 1 / B ) )
10		prodeq1 12104	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. ( y u. { z } ) B )
11	10	oveq2d 6029	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( 1 / prod_ k e. w B ) = ( 1 / prod_ k e. ( y u. { z } ) B ) )
12	9, 11	eqeq12d 2244	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( prod_ k e. w ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. w B ) <-> prod_ k e. ( y u. { z } ) ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. ( y u. { z } ) B ) ) )
13		prodeq1 12104	. . 3 |- ( w = A -> prod_ k e. w ( 1 / B ) = prod_ k e. A ( 1 / B ) )
14		prodeq1 12104	. . . 4 |- ( w = A -> prod_ k e. w B = prod_ k e. A B )
15	14	oveq2d 6029	. . 3 |- ( w = A -> ( 1 / prod_ k e. w B ) = ( 1 / prod_ k e. A B ) )
16	13, 15	eqeq12d 2244	. 2 |- ( w = A -> ( prod_ k e. w ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. w B ) <-> prod_ k e. A ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. A B ) ) )
17		1div1e1 8874	. . . 4 |- ( 1 / 1 ) = 1
18		prod0 12136	. . . . 5 |- prod_ k e. (/) B = 1
19	18	oveq2i 6024	. . . 4 |- ( 1 / prod_ k e. (/) B ) = ( 1 / 1 )
20		prod0 12136	. . . 4 |- prod_ k e. (/) ( 1 / B ) = 1
21	17, 19, 20	3eqtr4ri 2261	. . 3 |- prod_ k e. (/) ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. (/) B )
22	21	a1i 9	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. (/) ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. (/) B ) )
23		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) -> prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) )
24	23	oveq1d 6028	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) -> ( prod_ k e. y ( 1 / B ) x. ( 1 / [_ z / k ]_ B ) ) = ( ( 1 / prod_ k e. y B ) x. ( 1 / [_ z / k ]_ B ) ) )
25		1cnd 8185	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) -> 1 e. CC )
26		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
27		simplll 533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> ph )
28		simplrl 535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> y C_ A )
29		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. y )
30	28, 29	sseldd 3226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. A )
31		fprodrec.ccl	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
32	27, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. CC )
33	26, 32	fprodcl 12158	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. y B e. CC )
34	33	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) -> prod_ k e. y B e. CC )
35		simprr 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
36	35	eldifad 3209	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. A )
37	31	ralrimiva 2603	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
38	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> A. k e. A B e. CC )
39		nfcsb1v 3158	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k [_ z / k ]_ B
40	39	nfel1 2383	. . . . . . . . . 10 |- F/ k [_ z / k ]_ B e. CC
41		csbeq1a 3134	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = z -> B = [_ z / k ]_ B )
42	41	eleq1d 2298	. . . . . . . . . 10 |- ( k = z -> ( B e. CC <-> [_ z / k ]_ B e. CC ) )
43	40, 42	rspc 2902	. . . . . . . . 9 |- ( z e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ z / k ]_ B e. CC ) )
44	36, 38, 43	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
45	44	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
46		fprodrec.cap	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B # 0 )
47	27, 30, 46	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B # 0 )
48	26, 32, 47	fprodap0 12172	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. y B # 0 )
49	48	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) -> prod_ k e. y B # 0 )
50	46	ralrimiva 2603	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. k e. A B # 0 )
51	50	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> A. k e. A B # 0 )
52		nfcv 2372	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k #
53		nfcv 2372	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k 0
54	39, 52, 53	nfbr 4133	. . . . . . . . . 10 |- F/ k [_ z / k ]_ B # 0
55	41	breq1d 4096	. . . . . . . . . 10 |- ( k = z -> ( B # 0 <-> [_ z / k ]_ B # 0 ) )
56	54, 55	rspc 2902	. . . . . . . . 9 |- ( z e. A -> ( A. k e. A B # 0 -> [_ z / k ]_ B # 0 ) )
57	36, 51, 56	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ B # 0 )
58	57	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) -> [_ z / k ]_ B # 0 )
59	25, 34, 25, 45, 49, 58	divmuldivapd 9002	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) -> ( ( 1 / prod_ k e. y B ) x. ( 1 / [_ z / k ]_ B ) ) = ( ( 1 x. 1 ) / ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) ) )
60		1t1e1 9286	. . . . . . 7 |- ( 1 x. 1 ) = 1
61	60	oveq1i 6023	. . . . . 6 |- ( ( 1 x. 1 ) / ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) ) = ( 1 / ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) )
62	59, 61	eqtrdi 2278	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) -> ( ( 1 / prod_ k e. y B ) x. ( 1 / [_ z / k ]_ B ) ) = ( 1 / ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) ) )
63	24, 62	eqtrd 2262	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) -> ( prod_ k e. y ( 1 / B ) x. ( 1 / [_ z / k ]_ B ) ) = ( 1 / ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) ) )
64		nfcv 2372	. . . . . . 7 |- F/_ k 1
65		nfcv 2372	. . . . . . 7 |- F/_ k /
66	64, 65, 39	nfov 6043	. . . . . 6 |- F/_ k ( 1 / [_ z / k ]_ B )
67	35	eldifbd 3210	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
68	32, 47	recclapd 8951	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> ( 1 / B ) e. CC )
69	44, 57	recclapd 8951	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( 1 / [_ z / k ]_ B ) e. CC )
70	41	oveq2d 6029	. . . . . 6 |- ( k = z -> ( 1 / B ) = ( 1 / [_ z / k ]_ B ) )
71	66, 26, 35, 67, 68, 69, 70	fprodunsn 12155	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) ( 1 / B ) = ( prod_ k e. y ( 1 / B ) x. ( 1 / [_ z / k ]_ B ) ) )
72	71	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) ( 1 / B ) = ( prod_ k e. y ( 1 / B ) x. ( 1 / [_ z / k ]_ B ) ) )
73	39, 26, 35, 67, 32, 44, 41	fprodunsn 12155	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) )
74	73	oveq2d 6029	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( 1 / prod_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( 1 / ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) ) )
75	74	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) -> ( 1 / prod_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( 1 / ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) ) )
76	63, 72, 75	3eqtr4d 2272	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. ( y u. { z } ) B ) )
77	76	ex 115	. 2 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. ( y u. { z } ) B ) ) )
78		fprodrec.a	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
79	4, 8, 12, 16, 22, 77, 78	findcard2sd 7074	1 |- ( ph -> prod_ k e. A ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. A B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   [_csb 3125   \ cdif 3195   u. cun 3196   C_ wss 3198   (/)c0 3492   {csn 3667   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013   Fincfn 6904   CCcc 8020   0cc0 8022   1c1 8023   x. cmul 8027   # cap 8751   / cdiv 8842   prod_cprod 12101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-oadd 6581  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-ihash 11028  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-clim 11830  df-proddc 12102

This theorem is referenced by:  fproddivap  12181