Theorem fprodrec 12055

Description: The finite product of reciprocals is the reciprocal of the product. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodrec.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodrec.ccl	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
fprodrec.cap	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B # 0 )

Assertion

Ref	Expression
fprodrec	|- ( ph -> prod_ k e. A ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. A B ) )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fprodrec

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 11979	. . 3 |- ( w = (/) -> prod_ k e. w ( 1 / B ) = prod_ k e. (/) ( 1 / B ) )
2		prodeq1 11979	. . . 4 |- ( w = (/) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. (/) B )
3	2	oveq2d 5983	. . 3 |- ( w = (/) -> ( 1 / prod_ k e. w B ) = ( 1 / prod_ k e. (/) B ) )
4	1, 3	eqeq12d 2222	. 2 |- ( w = (/) -> ( prod_ k e. w ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. w B ) <-> prod_ k e. (/) ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. (/) B ) ) )
5		prodeq1 11979	. . 3 |- ( w = y -> prod_ k e. w ( 1 / B ) = prod_ k e. y ( 1 / B ) )
6		prodeq1 11979	. . . 4 |- ( w = y -> prod_ k e. w B = prod_ k e. y B )
7	6	oveq2d 5983	. . 3 |- ( w = y -> ( 1 / prod_ k e. w B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) )
8	5, 7	eqeq12d 2222	. 2 |- ( w = y -> ( prod_ k e. w ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. w B ) <-> prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) )
9		prodeq1 11979	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> prod_ k e. w ( 1 / B ) = prod_ k e. ( y u. { z } ) ( 1 / B ) )
10		prodeq1 11979	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. ( y u. { z } ) B )
11	10	oveq2d 5983	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( 1 / prod_ k e. w B ) = ( 1 / prod_ k e. ( y u. { z } ) B ) )
12	9, 11	eqeq12d 2222	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( prod_ k e. w ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. w B ) <-> prod_ k e. ( y u. { z } ) ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. ( y u. { z } ) B ) ) )
13		prodeq1 11979	. . 3 |- ( w = A -> prod_ k e. w ( 1 / B ) = prod_ k e. A ( 1 / B ) )
14		prodeq1 11979	. . . 4 |- ( w = A -> prod_ k e. w B = prod_ k e. A B )
15	14	oveq2d 5983	. . 3 |- ( w = A -> ( 1 / prod_ k e. w B ) = ( 1 / prod_ k e. A B ) )
16	13, 15	eqeq12d 2222	. 2 |- ( w = A -> ( prod_ k e. w ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. w B ) <-> prod_ k e. A ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. A B ) ) )
17		1div1e1 8812	. . . 4 |- ( 1 / 1 ) = 1
18		prod0 12011	. . . . 5 |- prod_ k e. (/) B = 1
19	18	oveq2i 5978	. . . 4 |- ( 1 / prod_ k e. (/) B ) = ( 1 / 1 )
20		prod0 12011	. . . 4 |- prod_ k e. (/) ( 1 / B ) = 1
21	17, 19, 20	3eqtr4ri 2239	. . 3 |- prod_ k e. (/) ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. (/) B )
22	21	a1i 9	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. (/) ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. (/) B ) )
23		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) -> prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) )
24	23	oveq1d 5982	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) -> ( prod_ k e. y ( 1 / B ) x. ( 1 / [_ z / k ]_ B ) ) = ( ( 1 / prod_ k e. y B ) x. ( 1 / [_ z / k ]_ B ) ) )
25		1cnd 8123	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) -> 1 e. CC )
26		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
27		simplll 533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> ph )
28		simplrl 535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> y C_ A )
29		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. y )
30	28, 29	sseldd 3202	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. A )
31		fprodrec.ccl	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
32	27, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. CC )
33	26, 32	fprodcl 12033	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. y B e. CC )
34	33	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) -> prod_ k e. y B e. CC )
35		simprr 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
36	35	eldifad 3185	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. A )
37	31	ralrimiva 2581	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
38	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> A. k e. A B e. CC )
39		nfcsb1v 3134	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k [_ z / k ]_ B
40	39	nfel1 2361	. . . . . . . . . 10 |- F/ k [_ z / k ]_ B e. CC
41		csbeq1a 3110	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = z -> B = [_ z / k ]_ B )
42	41	eleq1d 2276	. . . . . . . . . 10 |- ( k = z -> ( B e. CC <-> [_ z / k ]_ B e. CC ) )
43	40, 42	rspc 2878	. . . . . . . . 9 |- ( z e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ z / k ]_ B e. CC ) )
44	36, 38, 43	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
45	44	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
46		fprodrec.cap	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B # 0 )
47	27, 30, 46	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B # 0 )
48	26, 32, 47	fprodap0 12047	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. y B # 0 )
49	48	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) -> prod_ k e. y B # 0 )
50	46	ralrimiva 2581	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. k e. A B # 0 )
51	50	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> A. k e. A B # 0 )
52		nfcv 2350	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k #
53		nfcv 2350	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k 0
54	39, 52, 53	nfbr 4106	. . . . . . . . . 10 |- F/ k [_ z / k ]_ B # 0
55	41	breq1d 4069	. . . . . . . . . 10 |- ( k = z -> ( B # 0 <-> [_ z / k ]_ B # 0 ) )
56	54, 55	rspc 2878	. . . . . . . . 9 |- ( z e. A -> ( A. k e. A B # 0 -> [_ z / k ]_ B # 0 ) )
57	36, 51, 56	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ B # 0 )
58	57	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) -> [_ z / k ]_ B # 0 )
59	25, 34, 25, 45, 49, 58	divmuldivapd 8940	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) -> ( ( 1 / prod_ k e. y B ) x. ( 1 / [_ z / k ]_ B ) ) = ( ( 1 x. 1 ) / ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) ) )
60		1t1e1 9224	. . . . . . 7 |- ( 1 x. 1 ) = 1
61	60	oveq1i 5977	. . . . . 6 |- ( ( 1 x. 1 ) / ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) ) = ( 1 / ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) )
62	59, 61	eqtrdi 2256	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) -> ( ( 1 / prod_ k e. y B ) x. ( 1 / [_ z / k ]_ B ) ) = ( 1 / ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) ) )
63	24, 62	eqtrd 2240	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) -> ( prod_ k e. y ( 1 / B ) x. ( 1 / [_ z / k ]_ B ) ) = ( 1 / ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) ) )
64		nfcv 2350	. . . . . . 7 |- F/_ k 1
65		nfcv 2350	. . . . . . 7 |- F/_ k /
66	64, 65, 39	nfov 5997	. . . . . 6 |- F/_ k ( 1 / [_ z / k ]_ B )
67	35	eldifbd 3186	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
68	32, 47	recclapd 8889	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> ( 1 / B ) e. CC )
69	44, 57	recclapd 8889	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( 1 / [_ z / k ]_ B ) e. CC )
70	41	oveq2d 5983	. . . . . 6 |- ( k = z -> ( 1 / B ) = ( 1 / [_ z / k ]_ B ) )
71	66, 26, 35, 67, 68, 69, 70	fprodunsn 12030	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) ( 1 / B ) = ( prod_ k e. y ( 1 / B ) x. ( 1 / [_ z / k ]_ B ) ) )
72	71	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) ( 1 / B ) = ( prod_ k e. y ( 1 / B ) x. ( 1 / [_ z / k ]_ B ) ) )
73	39, 26, 35, 67, 32, 44, 41	fprodunsn 12030	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) )
74	73	oveq2d 5983	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( 1 / prod_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( 1 / ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) ) )
75	74	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) -> ( 1 / prod_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( 1 / ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) ) )
76	63, 72, 75	3eqtr4d 2250	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. ( y u. { z } ) B ) )
77	76	ex 115	. 2 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. ( y u. { z } ) B ) ) )
78		fprodrec.a	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
79	4, 8, 12, 16, 22, 77, 78	findcard2sd 7015	1 |- ( ph -> prod_ k e. A ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. A B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   [_csb 3101   \ cdif 3171   u. cun 3172   C_ wss 3174   (/)c0 3468   {csn 3643   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967   Fincfn 6850   CCcc 7958   0cc0 7960   1c1 7961   x. cmul 7965   # cap 8689   / cdiv 8780   prod_cprod 11976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-frec 6500  df-1o 6525  df-oadd 6529  df-er 6643  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-ihash 10958  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-clim 11705  df-proddc 11977

This theorem is referenced by:  fproddivap  12056