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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > fprodrec | Unicode version |
Description: The finite product of reciprocals is the reciprocal of the product. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2024.) |
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fprodrec |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | prodeq1 11563 |
. . 3
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2 | prodeq1 11563 |
. . . 4
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3 | 2 | oveq2d 5893 |
. . 3
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4 | 1, 3 | eqeq12d 2192 |
. 2
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5 | prodeq1 11563 |
. . 3
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6 | prodeq1 11563 |
. . . 4
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7 | 6 | oveq2d 5893 |
. . 3
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8 | 5, 7 | eqeq12d 2192 |
. 2
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9 | prodeq1 11563 |
. . 3
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10 | prodeq1 11563 |
. . . 4
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11 | 10 | oveq2d 5893 |
. . 3
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12 | 9, 11 | eqeq12d 2192 |
. 2
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13 | prodeq1 11563 |
. . 3
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14 | prodeq1 11563 |
. . . 4
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15 | 14 | oveq2d 5893 |
. . 3
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16 | 13, 15 | eqeq12d 2192 |
. 2
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17 | 1div1e1 8663 |
. . . 4
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18 | prod0 11595 |
. . . . 5
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19 | 18 | oveq2i 5888 |
. . . 4
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20 | prod0 11595 |
. . . 4
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21 | 17, 19, 20 | 3eqtr4ri 2209 |
. . 3
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22 | 21 | a1i 9 |
. 2
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23 | simpr 110 |
. . . . . 6
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24 | 23 | oveq1d 5892 |
. . . . 5
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25 | 1cnd 7975 |
. . . . . . 7
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26 | simplr 528 |
. . . . . . . . 9
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27 | simplll 533 |
. . . . . . . . . 10
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28 | simplrl 535 |
. . . . . . . . . . 11
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29 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . 11
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30 | 28, 29 | sseldd 3158 |
. . . . . . . . . 10
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31 | fprodrec.ccl |
. . . . . . . . . 10
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32 | 27, 30, 31 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
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33 | 26, 32 | fprodcl 11617 |
. . . . . . . 8
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34 | 33 | adantr 276 |
. . . . . . 7
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35 | simprr 531 |
. . . . . . . . . 10
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36 | 35 | eldifad 3142 |
. . . . . . . . 9
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37 | 31 | ralrimiva 2550 |
. . . . . . . . . 10
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38 | 37 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . 9
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39 | nfcsb1v 3092 |
. . . . . . . . . . 11
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40 | 39 | nfel1 2330 |
. . . . . . . . . 10
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41 | csbeq1a 3068 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | 41 | eleq1d 2246 |
. . . . . . . . . 10
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43 | 40, 42 | rspc 2837 |
. . . . . . . . 9
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44 | 36, 38, 43 | sylc 62 |
. . . . . . . 8
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45 | 44 | adantr 276 |
. . . . . . 7
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46 | fprodrec.cap |
. . . . . . . . . 10
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47 | 27, 30, 46 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
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48 | 26, 32, 47 | fprodap0 11631 |
. . . . . . . 8
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49 | 48 | adantr 276 |
. . . . . . 7
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50 | 46 | ralrimiva 2550 |
. . . . . . . . . 10
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51 | 50 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . 9
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52 | nfcv 2319 |
. . . . . . . . . . 11
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53 | nfcv 2319 |
. . . . . . . . . . 11
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54 | 39, 52, 53 | nfbr 4051 |
. . . . . . . . . 10
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55 | 41 | breq1d 4015 |
. . . . . . . . . 10
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56 | 54, 55 | rspc 2837 |
. . . . . . . . 9
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57 | 36, 51, 56 | sylc 62 |
. . . . . . . 8
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58 | 57 | adantr 276 |
. . . . . . 7
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59 | 25, 34, 25, 45, 49, 58 | divmuldivapd 8791 |
. . . . . 6
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60 | 1t1e1 9073 |
. . . . . . 7
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61 | 60 | oveq1i 5887 |
. . . . . 6
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62 | 59, 61 | eqtrdi 2226 |
. . . . 5
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63 | 24, 62 | eqtrd 2210 |
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64 | nfcv 2319 |
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65 | nfcv 2319 |
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66 | 64, 65, 39 | nfov 5907 |
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67 | 35 | eldifbd 3143 |
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68 | 32, 47 | recclapd 8740 |
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69 | 44, 57 | recclapd 8740 |
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70 | 41 | oveq2d 5893 |
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71 | 66, 26, 35, 67, 68, 69, 70 | fprodunsn 11614 |
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72 | 71 | adantr 276 |
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73 | 39, 26, 35, 67, 32, 44, 41 | fprodunsn 11614 |
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74 | 73 | oveq2d 5893 |
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75 | 74 | adantr 276 |
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76 | 63, 72, 75 | 3eqtr4d 2220 |
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77 | 76 | ex 115 |
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78 | fprodrec.a |
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79 | 4, 8, 12, 16, 22, 77, 78 | findcard2sd 6894 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4120 ax-sep 4123 ax-nul 4131 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-iinf 4589 ax-cnex 7904 ax-resscn 7905 ax-1cn 7906 ax-1re 7907 ax-icn 7908 ax-addcl 7909 ax-addrcl 7910 ax-mulcl 7911 ax-mulrcl 7912 ax-addcom 7913 ax-mulcom 7914 ax-addass 7915 ax-mulass 7916 ax-distr 7917 ax-i2m1 7918 ax-0lt1 7919 ax-1rid 7920 ax-0id 7921 ax-rnegex 7922 ax-precex 7923 ax-cnre 7924 ax-pre-ltirr 7925 ax-pre-ltwlin 7926 ax-pre-lttrn 7927 ax-pre-apti 7928 ax-pre-ltadd 7929 ax-pre-mulgt0 7930 ax-pre-mulext 7931 ax-arch 7932 ax-caucvg 7933 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-csb 3060 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-nul 3425 df-if 3537 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-int 3847 df-iun 3890 df-br 4006 df-opab 4067 df-mpt 4068 df-tr 4104 df-id 4295 df-po 4298 df-iso 4299 df-iord 4368 df-on 4370 df-ilim 4371 df-suc 4373 df-iom 4592 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-rn 4639 df-res 4640 df-ima 4641 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fn 5221 df-f 5222 df-f1 5223 df-fo 5224 df-f1o 5225 df-fv 5226 df-isom 5227 df-riota 5833 df-ov 5880 df-oprab 5881 df-mpo 5882 df-1st 6143 df-2nd 6144 df-recs 6308 df-irdg 6373 df-frec 6394 df-1o 6419 df-oadd 6423 df-er 6537 df-en 6743 df-dom 6744 df-fin 6745 df-pnf 7996 df-mnf 7997 df-xr 7998 df-ltxr 7999 df-le 8000 df-sub 8132 df-neg 8133 df-reap 8534 df-ap 8541 df-div 8632 df-inn 8922 df-2 8980 df-3 8981 df-4 8982 df-n0 9179 df-z 9256 df-uz 9531 df-q 9622 df-rp 9656 df-fz 10011 df-fzo 10145 df-seqfrec 10448 df-exp 10522 df-ihash 10758 df-cj 10853 df-re 10854 df-im 10855 df-rsqrt 11009 df-abs 11010 df-clim 11289 df-proddc 11561 |
This theorem is referenced by: fproddivap 11640 |
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