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Theorem fprodrec 11636
Description: The finite product of reciprocals is the reciprocal of the product. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodrec.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fprodrec.ccl  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fprodrec.cap  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B #  0 )
Assertion
Ref Expression
fprodrec  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  ( 1  /  B
)  =  ( 1  /  prod_ k  e.  A  B ) )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fprodrec
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 11560 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  prod_ k  e.  w  ( 1  /  B )  = 
prod_ k  e.  (/)  ( 1  /  B ) )
2 prodeq1 11560 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  prod_ k  e.  w  B  =  prod_ k  e.  (/)  B )
32oveq2d 5890 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( 1  /  prod_ k  e.  w  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  (/)  B ) )
41, 3eqeq12d 2192 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  ( prod_
k  e.  w  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  w  B )  <->  prod_ k  e.  (/)  ( 1  /  B
)  =  ( 1  /  prod_ k  e.  (/)  B ) ) )
5 prodeq1 11560 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  prod_ k  e.  w  ( 1  /  B )  = 
prod_ k  e.  y 
( 1  /  B
) )
6 prodeq1 11560 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  prod_ k  e.  w  B  = 
prod_ k  e.  y  B )
76oveq2d 5890 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  (
1  /  prod_ k  e.  w  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )
85, 7eqeq12d 2192 . 2  |-  ( w  =  y  ->  ( prod_ k  e.  w  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  w  B )  <->  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B
)  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) ) )
9 prodeq1 11560 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  prod_ k  e.  w  ( 1  /  B
)  =  prod_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( 1  /  B ) )
10 prodeq1 11560 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  prod_ k  e.  w  B  =  prod_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
1110oveq2d 5890 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( 1  /  prod_ k  e.  w  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B ) )
129, 11eqeq12d 2192 . 2  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( prod_ k  e.  w  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  w  B )  <->  prod_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B ) ) )
13 prodeq1 11560 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  prod_ k  e.  w  ( 1  /  B )  = 
prod_ k  e.  A  ( 1  /  B
) )
14 prodeq1 11560 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  prod_ k  e.  w  B  = 
prod_ k  e.  A  B )
1514oveq2d 5890 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  (
1  /  prod_ k  e.  w  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  A  B
) )
1613, 15eqeq12d 2192 . 2  |-  ( w  =  A  ->  ( prod_ k  e.  w  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  w  B )  <->  prod_ k  e.  A  ( 1  /  B
)  =  ( 1  /  prod_ k  e.  A  B ) ) )
17 1div1e1 8660 . . . 4  |-  ( 1  /  1 )  =  1
18 prod0 11592 . . . . 5  |-  prod_ k  e.  (/)  B  =  1
1918oveq2i 5885 . . . 4  |-  ( 1  /  prod_ k  e.  (/)  B )  =  ( 1  /  1 )
20 prod0 11592 . . . 4  |-  prod_ k  e.  (/)  ( 1  /  B )  =  1
2117, 19, 203eqtr4ri 2209 . . 3  |-  prod_ k  e.  (/)  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  (/)  B )
2221a1i 9 . 2  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  (/)  ( 1  /  B
)  =  ( 1  /  prod_ k  e.  (/)  B ) )
23 simpr 110 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )  ->  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B )
)
2423oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )  ->  ( prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  x.  ( 1  /  [_ z  /  k ]_ B
) )  =  ( ( 1  /  prod_ k  e.  y  B )  x.  ( 1  /  [_ z  /  k ]_ B ) ) )
25 1cnd 7972 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )  ->  1  e.  CC )
26 simplr 528 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  y  e.  Fin )
27 simplll 533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  k  e.  y )  ->  ph )
28 simplrl 535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  k  e.  y )  ->  y  C_  A )
29 simpr 110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  k  e.  y )  ->  k  e.  y )
3028, 29sseldd 3156 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  k  e.  y )  ->  k  e.  A )
31 fprodrec.ccl . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
3227, 30, 31syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  k  e.  y )  ->  B  e.  CC )
3326, 32fprodcl 11614 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  prod_ k  e.  y  B  e.  CC )
3433adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )  ->  prod_ k  e.  y  B  e.  CC )
35 simprr 531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  z  e.  ( A  \  y ) )
3635eldifad 3140 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  z  e.  A
)
3731ralrimiva 2550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
3837ad2antrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
39 nfcsb1v 3090 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ B
4039nfel1 2330 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k
[_ z  /  k ]_ B  e.  CC
41 csbeq1a 3066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  z  ->  B  =  [_ z  /  k ]_ B )
4241eleq1d 2246 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  z  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ z  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
4340, 42rspc 2835 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  CC )
)
4436, 38, 43sylc 62 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  CC )
4544adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )  ->  [_ z  / 
k ]_ B  e.  CC )
46 fprodrec.cap . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B #  0 )
4727, 30, 46syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  k  e.  y )  ->  B #  0 )
4826, 32, 47fprodap0 11628 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  prod_ k  e.  y  B #  0 )
4948adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )  ->  prod_ k  e.  y  B #  0 )
5046ralrimiva 2550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B #  0 )
5150ad2antrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  A. k  e.  A  B #  0 )
52 nfcv 2319 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k #
53 nfcv 2319 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
0
5439, 52, 53nfbr 4049 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k
[_ z  /  k ]_ B #  0
5541breq1d 4013 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  z  ->  ( B #  0  <->  [_ z  /  k ]_ B #  0 )
)
5654, 55rspc 2835 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B #  0  ->  [_ z  /  k ]_ B #  0 ) )
5736, 51, 56sylc 62 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  [_ z  /  k ]_ B #  0 )
5857adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )  ->  [_ z  / 
k ]_ B #  0 )
5925, 34, 25, 45, 49, 58divmuldivapd 8788 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )  ->  ( (
1  /  prod_ k  e.  y  B )  x.  ( 1  /  [_ z  /  k ]_ B
) )  =  ( ( 1  x.  1 )  /  ( prod_
k  e.  y  B  x.  [_ z  / 
k ]_ B ) ) )
60 1t1e1 9070 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
6160oveq1i 5884 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  1 )  /  ( prod_ k  e.  y  B  x.  [_ z  /  k ]_ B ) )  =  ( 1  /  ( prod_ k  e.  y  B  x.  [_ z  / 
k ]_ B ) )
6259, 61eqtrdi 2226 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )  ->  ( (
1  /  prod_ k  e.  y  B )  x.  ( 1  /  [_ z  /  k ]_ B
) )  =  ( 1  /  ( prod_
k  e.  y  B  x.  [_ z  / 
k ]_ B ) ) )
6324, 62eqtrd 2210 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )  ->  ( prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  x.  ( 1  /  [_ z  /  k ]_ B
) )  =  ( 1  /  ( prod_
k  e.  y  B  x.  [_ z  / 
k ]_ B ) ) )
64 nfcv 2319 . . . . . . 7  |-  F/_ k
1
65 nfcv 2319 . . . . . . 7  |-  F/_ k  /
6664, 65, 39nfov 5904 . . . . . 6  |-  F/_ k
( 1  /  [_ z  /  k ]_ B
)
6735eldifbd 3141 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  -.  z  e.  y )
6832, 47recclapd 8737 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  k  e.  y )  ->  (
1  /  B )  e.  CC )
6944, 57recclapd 8737 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( 1  /  [_ z  /  k ]_ B )  e.  CC )
7041oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( k  =  z  ->  (
1  /  B )  =  ( 1  /  [_ z  /  k ]_ B ) )
7166, 26, 35, 67, 68, 69, 70fprodunsn 11611 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  prod_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( 1  /  B )  =  ( prod_ k  e.  y  ( 1  /  B
)  x.  ( 1  /  [_ z  / 
k ]_ B ) ) )
7271adantr 276 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )  ->  prod_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( 1  /  B )  =  ( prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  x.  ( 1  /  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
7339, 26, 35, 67, 32, 44, 41fprodunsn 11611 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  prod_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  =  ( prod_ k  e.  y  B  x.  [_ z  /  k ]_ B
) )
7473oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( 1  /  prod_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  =  ( 1  /  ( prod_ k  e.  y  B  x.  [_ z  / 
k ]_ B ) ) )
7574adantr 276 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )  ->  ( 1  /  prod_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  =  ( 1  / 
( prod_ k  e.  y  B  x.  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
7663, 72, 753eqtr4d 2220 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )  ->  prod_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B ) )
7776ex 115 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B )  ->  prod_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) ) )
78 fprodrec.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
794, 8, 12, 16, 22, 77, 78findcard2sd 6891 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  ( 1  /  B
)  =  ( 1  /  prod_ k  e.  A  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   [_csb 3057    \ cdif 3126    u. cun 3127    C_ wss 3129   (/)c0 3422   {csn 3592   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874   Fincfn 6739   CCcc 7808   0cc0 7810   1c1 7811    x. cmul 7815   # cap 8537    / cdiv 8628   prod_cprod 11557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-ihash 10755  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-clim 11286  df-proddc 11558
This theorem is referenced by:  fproddivap  11637
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