Theorem fprodrec 11508

Description: The finite product of reciprocals is the reciprocal of the product. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodrec.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodrec.ccl	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
fprodrec.cap	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B # 0 )

Assertion

Ref	Expression
fprodrec	|- ( ph -> prod_ k e. A ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. A B ) )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fprodrec

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 11432	. . 3 |- ( w = (/) -> prod_ k e. w ( 1 / B ) = prod_ k e. (/) ( 1 / B ) )
2		prodeq1 11432	. . . 4 |- ( w = (/) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. (/) B )
3	2	oveq2d 5834	. . 3 |- ( w = (/) -> ( 1 / prod_ k e. w B ) = ( 1 / prod_ k e. (/) B ) )
4	1, 3	eqeq12d 2172	. 2 |- ( w = (/) -> ( prod_ k e. w ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. w B ) <-> prod_ k e. (/) ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. (/) B ) ) )
5		prodeq1 11432	. . 3 |- ( w = y -> prod_ k e. w ( 1 / B ) = prod_ k e. y ( 1 / B ) )
6		prodeq1 11432	. . . 4 |- ( w = y -> prod_ k e. w B = prod_ k e. y B )
7	6	oveq2d 5834	. . 3 |- ( w = y -> ( 1 / prod_ k e. w B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) )
8	5, 7	eqeq12d 2172	. 2 |- ( w = y -> ( prod_ k e. w ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. w B ) <-> prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) )
9		prodeq1 11432	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> prod_ k e. w ( 1 / B ) = prod_ k e. ( y u. { z } ) ( 1 / B ) )
10		prodeq1 11432	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. ( y u. { z } ) B )
11	10	oveq2d 5834	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( 1 / prod_ k e. w B ) = ( 1 / prod_ k e. ( y u. { z } ) B ) )
12	9, 11	eqeq12d 2172	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( prod_ k e. w ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. w B ) <-> prod_ k e. ( y u. { z } ) ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. ( y u. { z } ) B ) ) )
13		prodeq1 11432	. . 3 |- ( w = A -> prod_ k e. w ( 1 / B ) = prod_ k e. A ( 1 / B ) )
14		prodeq1 11432	. . . 4 |- ( w = A -> prod_ k e. w B = prod_ k e. A B )
15	14	oveq2d 5834	. . 3 |- ( w = A -> ( 1 / prod_ k e. w B ) = ( 1 / prod_ k e. A B ) )
16	13, 15	eqeq12d 2172	. 2 |- ( w = A -> ( prod_ k e. w ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. w B ) <-> prod_ k e. A ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. A B ) ) )
17		1div1e1 8560	. . . 4 |- ( 1 / 1 ) = 1
18		prod0 11464	. . . . 5 |- prod_ k e. (/) B = 1
19	18	oveq2i 5829	. . . 4 |- ( 1 / prod_ k e. (/) B ) = ( 1 / 1 )
20		prod0 11464	. . . 4 |- prod_ k e. (/) ( 1 / B ) = 1
21	17, 19, 20	3eqtr4ri 2189	. . 3 |- prod_ k e. (/) ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. (/) B )
22	21	a1i 9	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. (/) ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. (/) B ) )
23		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) -> prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) )
24	23	oveq1d 5833	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) -> ( prod_ k e. y ( 1 / B ) x. ( 1 / [_ z / k ]_ B ) ) = ( ( 1 / prod_ k e. y B ) x. ( 1 / [_ z / k ]_ B ) ) )
25		1cnd 7877	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) -> 1 e. CC )
26		simplr 520	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
27		simplll 523	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> ph )
28		simplrl 525	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> y C_ A )
29		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. y )
30	28, 29	sseldd 3129	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. A )
31		fprodrec.ccl	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
32	27, 30, 31	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. CC )
33	26, 32	fprodcl 11486	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. y B e. CC )
34	33	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) -> prod_ k e. y B e. CC )
35		simprr 522	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
36	35	eldifad 3113	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. A )
37	31	ralrimiva 2530	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
38	37	ad2antrr 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> A. k e. A B e. CC )
39		nfcsb1v 3064	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k [_ z / k ]_ B
40	39	nfel1 2310	. . . . . . . . . 10 |- F/ k [_ z / k ]_ B e. CC
41		csbeq1a 3040	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = z -> B = [_ z / k ]_ B )
42	41	eleq1d 2226	. . . . . . . . . 10 |- ( k = z -> ( B e. CC <-> [_ z / k ]_ B e. CC ) )
43	40, 42	rspc 2810	. . . . . . . . 9 |- ( z e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ z / k ]_ B e. CC ) )
44	36, 38, 43	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
45	44	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
46		fprodrec.cap	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B # 0 )
47	27, 30, 46	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B # 0 )
48	26, 32, 47	fprodap0 11500	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. y B # 0 )
49	48	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) -> prod_ k e. y B # 0 )
50	46	ralrimiva 2530	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. k e. A B # 0 )
51	50	ad2antrr 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> A. k e. A B # 0 )
52		nfcv 2299	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k #
53		nfcv 2299	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k 0
54	39, 52, 53	nfbr 4010	. . . . . . . . . 10 |- F/ k [_ z / k ]_ B # 0
55	41	breq1d 3975	. . . . . . . . . 10 |- ( k = z -> ( B # 0 <-> [_ z / k ]_ B # 0 ) )
56	54, 55	rspc 2810	. . . . . . . . 9 |- ( z e. A -> ( A. k e. A B # 0 -> [_ z / k ]_ B # 0 ) )
57	36, 51, 56	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ B # 0 )
58	57	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) -> [_ z / k ]_ B # 0 )
59	25, 34, 25, 45, 49, 58	divmuldivapd 8688	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) -> ( ( 1 / prod_ k e. y B ) x. ( 1 / [_ z / k ]_ B ) ) = ( ( 1 x. 1 ) / ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) ) )
60		1t1e1 8968	. . . . . . 7 |- ( 1 x. 1 ) = 1
61	60	oveq1i 5828	. . . . . 6 |- ( ( 1 x. 1 ) / ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) ) = ( 1 / ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) )
62	59, 61	eqtrdi 2206	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) -> ( ( 1 / prod_ k e. y B ) x. ( 1 / [_ z / k ]_ B ) ) = ( 1 / ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) ) )
63	24, 62	eqtrd 2190	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) -> ( prod_ k e. y ( 1 / B ) x. ( 1 / [_ z / k ]_ B ) ) = ( 1 / ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) ) )
64		nfcv 2299	. . . . . . 7 |- F/_ k 1
65		nfcv 2299	. . . . . . 7 |- F/_ k /
66	64, 65, 39	nfov 5845	. . . . . 6 |- F/_ k ( 1 / [_ z / k ]_ B )
67	35	eldifbd 3114	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
68	32, 47	recclapd 8637	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> ( 1 / B ) e. CC )
69	44, 57	recclapd 8637	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( 1 / [_ z / k ]_ B ) e. CC )
70	41	oveq2d 5834	. . . . . 6 |- ( k = z -> ( 1 / B ) = ( 1 / [_ z / k ]_ B ) )
71	66, 26, 35, 67, 68, 69, 70	fprodunsn 11483	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) ( 1 / B ) = ( prod_ k e. y ( 1 / B ) x. ( 1 / [_ z / k ]_ B ) ) )
72	71	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) ( 1 / B ) = ( prod_ k e. y ( 1 / B ) x. ( 1 / [_ z / k ]_ B ) ) )
73	39, 26, 35, 67, 32, 44, 41	fprodunsn 11483	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) )
74	73	oveq2d 5834	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( 1 / prod_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( 1 / ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) ) )
75	74	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) -> ( 1 / prod_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( 1 / ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) ) )
76	63, 72, 75	3eqtr4d 2200	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. ( y u. { z } ) B ) )
77	76	ex 114	. 2 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. y ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. y B ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. ( y u. { z } ) B ) ) )
78		fprodrec.a	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
79	4, 8, 12, 16, 22, 77, 78	findcard2sd 6830	1 |- ( ph -> prod_ k e. A ( 1 / B ) = ( 1 / prod_ k e. A B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   [_csb 3031   \ cdif 3099   u. cun 3100   C_ wss 3102   (/)c0 3394   {csn 3560   class class class wbr 3965  (class class class)co 5818   Fincfn 6678   CCcc 7713   0cc0 7715   1c1 7716   x. cmul 7720   # cap 8439   / cdiv 8528   prod_cprod 11429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-arch 7834  ax-caucvg 7835

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-isom 5176  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-irdg 6311  df-frec 6332  df-1o 6357  df-oadd 6361  df-er 6473  df-en 6679  df-dom 6680  df-fin 6681  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-3 8876  df-4 8877  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-q 9511  df-rp 9543  df-fz 9895  df-fzo 10024  df-seqfrec 10327  df-exp 10401  df-ihash 10632  df-cj 10724  df-re 10725  df-im 10726  df-rsqrt 10880  df-abs 10881  df-clim 11158  df-proddc 11430

This theorem is referenced by:  fproddivap  11509