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Theorem fprodrec 11526
Description: The finite product of reciprocals is the reciprocal of the product. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodrec.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fprodrec.ccl  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fprodrec.cap  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B #  0 )
Assertion
Ref Expression
fprodrec  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  ( 1  /  B
)  =  ( 1  /  prod_ k  e.  A  B ) )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fprodrec
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 11450 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  prod_ k  e.  w  ( 1  /  B )  = 
prod_ k  e.  (/)  ( 1  /  B ) )
2 prodeq1 11450 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  prod_ k  e.  w  B  =  prod_ k  e.  (/)  B )
32oveq2d 5840 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( 1  /  prod_ k  e.  w  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  (/)  B ) )
41, 3eqeq12d 2172 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  ( prod_
k  e.  w  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  w  B )  <->  prod_ k  e.  (/)  ( 1  /  B
)  =  ( 1  /  prod_ k  e.  (/)  B ) ) )
5 prodeq1 11450 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  prod_ k  e.  w  ( 1  /  B )  = 
prod_ k  e.  y 
( 1  /  B
) )
6 prodeq1 11450 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  prod_ k  e.  w  B  = 
prod_ k  e.  y  B )
76oveq2d 5840 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  (
1  /  prod_ k  e.  w  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )
85, 7eqeq12d 2172 . 2  |-  ( w  =  y  ->  ( prod_ k  e.  w  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  w  B )  <->  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B
)  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) ) )
9 prodeq1 11450 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  prod_ k  e.  w  ( 1  /  B
)  =  prod_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( 1  /  B ) )
10 prodeq1 11450 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  prod_ k  e.  w  B  =  prod_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
1110oveq2d 5840 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( 1  /  prod_ k  e.  w  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B ) )
129, 11eqeq12d 2172 . 2  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( prod_ k  e.  w  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  w  B )  <->  prod_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B ) ) )
13 prodeq1 11450 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  prod_ k  e.  w  ( 1  /  B )  = 
prod_ k  e.  A  ( 1  /  B
) )
14 prodeq1 11450 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  prod_ k  e.  w  B  = 
prod_ k  e.  A  B )
1514oveq2d 5840 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  (
1  /  prod_ k  e.  w  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  A  B
) )
1613, 15eqeq12d 2172 . 2  |-  ( w  =  A  ->  ( prod_ k  e.  w  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  w  B )  <->  prod_ k  e.  A  ( 1  /  B
)  =  ( 1  /  prod_ k  e.  A  B ) ) )
17 1div1e1 8577 . . . 4  |-  ( 1  /  1 )  =  1
18 prod0 11482 . . . . 5  |-  prod_ k  e.  (/)  B  =  1
1918oveq2i 5835 . . . 4  |-  ( 1  /  prod_ k  e.  (/)  B )  =  ( 1  /  1 )
20 prod0 11482 . . . 4  |-  prod_ k  e.  (/)  ( 1  /  B )  =  1
2117, 19, 203eqtr4ri 2189 . . 3  |-  prod_ k  e.  (/)  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  (/)  B )
2221a1i 9 . 2  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  (/)  ( 1  /  B
)  =  ( 1  /  prod_ k  e.  (/)  B ) )
23 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )  ->  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B )
)
2423oveq1d 5839 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )  ->  ( prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  x.  ( 1  /  [_ z  /  k ]_ B
) )  =  ( ( 1  /  prod_ k  e.  y  B )  x.  ( 1  /  [_ z  /  k ]_ B ) ) )
25 1cnd 7894 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )  ->  1  e.  CC )
26 simplr 520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  y  e.  Fin )
27 simplll 523 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  k  e.  y )  ->  ph )
28 simplrl 525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  k  e.  y )  ->  y  C_  A )
29 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  k  e.  y )  ->  k  e.  y )
3028, 29sseldd 3129 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  k  e.  y )  ->  k  e.  A )
31 fprodrec.ccl . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
3227, 30, 31syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  k  e.  y )  ->  B  e.  CC )
3326, 32fprodcl 11504 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  prod_ k  e.  y  B  e.  CC )
3433adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )  ->  prod_ k  e.  y  B  e.  CC )
35 simprr 522 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  z  e.  ( A  \  y ) )
3635eldifad 3113 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  z  e.  A
)
3731ralrimiva 2530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
3837ad2antrr 480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
39 nfcsb1v 3064 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ B
4039nfel1 2310 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k
[_ z  /  k ]_ B  e.  CC
41 csbeq1a 3040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  z  ->  B  =  [_ z  /  k ]_ B )
4241eleq1d 2226 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  z  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ z  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
4340, 42rspc 2810 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  CC )
)
4436, 38, 43sylc 62 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  CC )
4544adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )  ->  [_ z  / 
k ]_ B  e.  CC )
46 fprodrec.cap . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B #  0 )
4727, 30, 46syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  k  e.  y )  ->  B #  0 )
4826, 32, 47fprodap0 11518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  prod_ k  e.  y  B #  0 )
4948adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )  ->  prod_ k  e.  y  B #  0 )
5046ralrimiva 2530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B #  0 )
5150ad2antrr 480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  A. k  e.  A  B #  0 )
52 nfcv 2299 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k #
53 nfcv 2299 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
0
5439, 52, 53nfbr 4010 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k
[_ z  /  k ]_ B #  0
5541breq1d 3975 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  z  ->  ( B #  0  <->  [_ z  /  k ]_ B #  0 )
)
5654, 55rspc 2810 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B #  0  ->  [_ z  /  k ]_ B #  0 ) )
5736, 51, 56sylc 62 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  [_ z  /  k ]_ B #  0 )
5857adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )  ->  [_ z  / 
k ]_ B #  0 )
5925, 34, 25, 45, 49, 58divmuldivapd 8705 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )  ->  ( (
1  /  prod_ k  e.  y  B )  x.  ( 1  /  [_ z  /  k ]_ B
) )  =  ( ( 1  x.  1 )  /  ( prod_
k  e.  y  B  x.  [_ z  / 
k ]_ B ) ) )
60 1t1e1 8985 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
6160oveq1i 5834 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  1 )  /  ( prod_ k  e.  y  B  x.  [_ z  /  k ]_ B ) )  =  ( 1  /  ( prod_ k  e.  y  B  x.  [_ z  / 
k ]_ B ) )
6259, 61eqtrdi 2206 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )  ->  ( (
1  /  prod_ k  e.  y  B )  x.  ( 1  /  [_ z  /  k ]_ B
) )  =  ( 1  /  ( prod_
k  e.  y  B  x.  [_ z  / 
k ]_ B ) ) )
6324, 62eqtrd 2190 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )  ->  ( prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  x.  ( 1  /  [_ z  /  k ]_ B
) )  =  ( 1  /  ( prod_
k  e.  y  B  x.  [_ z  / 
k ]_ B ) ) )
64 nfcv 2299 . . . . . . 7  |-  F/_ k
1
65 nfcv 2299 . . . . . . 7  |-  F/_ k  /
6664, 65, 39nfov 5851 . . . . . 6  |-  F/_ k
( 1  /  [_ z  /  k ]_ B
)
6735eldifbd 3114 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  -.  z  e.  y )
6832, 47recclapd 8654 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  k  e.  y )  ->  (
1  /  B )  e.  CC )
6944, 57recclapd 8654 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( 1  /  [_ z  /  k ]_ B )  e.  CC )
7041oveq2d 5840 . . . . . 6  |-  ( k  =  z  ->  (
1  /  B )  =  ( 1  /  [_ z  /  k ]_ B ) )
7166, 26, 35, 67, 68, 69, 70fprodunsn 11501 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  prod_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( 1  /  B )  =  ( prod_ k  e.  y  ( 1  /  B
)  x.  ( 1  /  [_ z  / 
k ]_ B ) ) )
7271adantr 274 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )  ->  prod_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( 1  /  B )  =  ( prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  x.  ( 1  /  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
7339, 26, 35, 67, 32, 44, 41fprodunsn 11501 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  prod_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  =  ( prod_ k  e.  y  B  x.  [_ z  /  k ]_ B
) )
7473oveq2d 5840 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( 1  /  prod_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  =  ( 1  /  ( prod_ k  e.  y  B  x.  [_ z  / 
k ]_ B ) ) )
7574adantr 274 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )  ->  ( 1  /  prod_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  =  ( 1  / 
( prod_ k  e.  y  B  x.  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
7663, 72, 753eqtr4d 2200 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )  ->  prod_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B ) )
7776ex 114 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B )  ->  prod_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) ) )
78 fprodrec.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
794, 8, 12, 16, 22, 77, 78findcard2sd 6837 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  ( 1  /  B
)  =  ( 1  /  prod_ k  e.  A  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1335    e. wcel 2128   A.wral 2435   [_csb 3031    \ cdif 3099    u. cun 3100    C_ wss 3102   (/)c0 3394   {csn 3560   class class class wbr 3965  (class class class)co 5824   Fincfn 6685   CCcc 7730   0cc0 7732   1c1 7733    x. cmul 7737   # cap 8456    / cdiv 8545   prod_cprod 11447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851  ax-caucvg 7852
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-isom 5179  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-irdg 6317  df-frec 6338  df-1o 6363  df-oadd 6367  df-er 6480  df-en 6686  df-dom 6687  df-fin 6688  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-4 8894  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-q 9529  df-rp 9561  df-fz 9913  df-fzo 10042  df-seqfrec 10345  df-exp 10419  df-ihash 10650  df-cj 10742  df-re 10743  df-im 10744  df-rsqrt 10898  df-abs 10899  df-clim 11176  df-proddc 11448
This theorem is referenced by:  fproddivap  11527
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