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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > fprodrec | Unicode version |
Description: The finite product of reciprocals is the reciprocal of the product. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2024.) |
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fprodrec.a |
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fprodrec.cap |
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fprodrec |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | prodeq1 11560 |
. . 3
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2 | prodeq1 11560 |
. . . 4
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3 | 2 | oveq2d 5890 |
. . 3
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4 | 1, 3 | eqeq12d 2192 |
. 2
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5 | prodeq1 11560 |
. . 3
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6 | prodeq1 11560 |
. . . 4
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7 | 6 | oveq2d 5890 |
. . 3
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8 | 5, 7 | eqeq12d 2192 |
. 2
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9 | prodeq1 11560 |
. . 3
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10 | prodeq1 11560 |
. . . 4
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11 | 10 | oveq2d 5890 |
. . 3
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12 | 9, 11 | eqeq12d 2192 |
. 2
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13 | prodeq1 11560 |
. . 3
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14 | prodeq1 11560 |
. . . 4
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15 | 14 | oveq2d 5890 |
. . 3
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16 | 13, 15 | eqeq12d 2192 |
. 2
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17 | 1div1e1 8660 |
. . . 4
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18 | prod0 11592 |
. . . . 5
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19 | 18 | oveq2i 5885 |
. . . 4
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20 | prod0 11592 |
. . . 4
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21 | 17, 19, 20 | 3eqtr4ri 2209 |
. . 3
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22 | 21 | a1i 9 |
. 2
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23 | simpr 110 |
. . . . . 6
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24 | 23 | oveq1d 5889 |
. . . . 5
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25 | 1cnd 7972 |
. . . . . . 7
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26 | simplr 528 |
. . . . . . . . 9
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27 | simplll 533 |
. . . . . . . . . 10
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28 | simplrl 535 |
. . . . . . . . . . 11
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29 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . 11
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30 | 28, 29 | sseldd 3156 |
. . . . . . . . . 10
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31 | fprodrec.ccl |
. . . . . . . . . 10
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32 | 27, 30, 31 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
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33 | 26, 32 | fprodcl 11614 |
. . . . . . . 8
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34 | 33 | adantr 276 |
. . . . . . 7
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35 | simprr 531 |
. . . . . . . . . 10
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36 | 35 | eldifad 3140 |
. . . . . . . . 9
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37 | 31 | ralrimiva 2550 |
. . . . . . . . . 10
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38 | 37 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . 9
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39 | nfcsb1v 3090 |
. . . . . . . . . . 11
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40 | 39 | nfel1 2330 |
. . . . . . . . . 10
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41 | csbeq1a 3066 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | 41 | eleq1d 2246 |
. . . . . . . . . 10
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43 | 40, 42 | rspc 2835 |
. . . . . . . . 9
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44 | 36, 38, 43 | sylc 62 |
. . . . . . . 8
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45 | 44 | adantr 276 |
. . . . . . 7
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46 | fprodrec.cap |
. . . . . . . . . 10
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47 | 27, 30, 46 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
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48 | 26, 32, 47 | fprodap0 11628 |
. . . . . . . 8
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49 | 48 | adantr 276 |
. . . . . . 7
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50 | 46 | ralrimiva 2550 |
. . . . . . . . . 10
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51 | 50 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . 9
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52 | nfcv 2319 |
. . . . . . . . . . 11
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53 | nfcv 2319 |
. . . . . . . . . . 11
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54 | 39, 52, 53 | nfbr 4049 |
. . . . . . . . . 10
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55 | 41 | breq1d 4013 |
. . . . . . . . . 10
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56 | 54, 55 | rspc 2835 |
. . . . . . . . 9
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57 | 36, 51, 56 | sylc 62 |
. . . . . . . 8
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58 | 57 | adantr 276 |
. . . . . . 7
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59 | 25, 34, 25, 45, 49, 58 | divmuldivapd 8788 |
. . . . . 6
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60 | 1t1e1 9070 |
. . . . . . 7
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61 | 60 | oveq1i 5884 |
. . . . . 6
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62 | 59, 61 | eqtrdi 2226 |
. . . . 5
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63 | 24, 62 | eqtrd 2210 |
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64 | nfcv 2319 |
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65 | nfcv 2319 |
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66 | 64, 65, 39 | nfov 5904 |
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67 | 35 | eldifbd 3141 |
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68 | 32, 47 | recclapd 8737 |
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69 | 44, 57 | recclapd 8737 |
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70 | 41 | oveq2d 5890 |
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71 | 66, 26, 35, 67, 68, 69, 70 | fprodunsn 11611 |
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72 | 71 | adantr 276 |
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73 | 39, 26, 35, 67, 32, 44, 41 | fprodunsn 11611 |
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74 | 73 | oveq2d 5890 |
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75 | 74 | adantr 276 |
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76 | 63, 72, 75 | 3eqtr4d 2220 |
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77 | 76 | ex 115 |
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78 | fprodrec.a |
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79 | 4, 8, 12, 16, 22, 77, 78 | findcard2sd 6891 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4118 ax-sep 4121 ax-nul 4129 ax-pow 4174 ax-pr 4209 ax-un 4433 ax-setind 4536 ax-iinf 4587 ax-cnex 7901 ax-resscn 7902 ax-1cn 7903 ax-1re 7904 ax-icn 7905 ax-addcl 7906 ax-addrcl 7907 ax-mulcl 7908 ax-mulrcl 7909 ax-addcom 7910 ax-mulcom 7911 ax-addass 7912 ax-mulass 7913 ax-distr 7914 ax-i2m1 7915 ax-0lt1 7916 ax-1rid 7917 ax-0id 7918 ax-rnegex 7919 ax-precex 7920 ax-cnre 7921 ax-pre-ltirr 7922 ax-pre-ltwlin 7923 ax-pre-lttrn 7924 ax-pre-apti 7925 ax-pre-ltadd 7926 ax-pre-mulgt0 7927 ax-pre-mulext 7928 ax-arch 7929 ax-caucvg 7930 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3810 df-int 3845 df-iun 3888 df-br 4004 df-opab 4065 df-mpt 4066 df-tr 4102 df-id 4293 df-po 4296 df-iso 4297 df-iord 4366 df-on 4368 df-ilim 4369 df-suc 4371 df-iom 4590 df-xp 4632 df-rel 4633 df-cnv 4634 df-co 4635 df-dm 4636 df-rn 4637 df-res 4638 df-ima 4639 df-iota 5178 df-fun 5218 df-fn 5219 df-f 5220 df-f1 5221 df-fo 5222 df-f1o 5223 df-fv 5224 df-isom 5225 df-riota 5830 df-ov 5877 df-oprab 5878 df-mpo 5879 df-1st 6140 df-2nd 6141 df-recs 6305 df-irdg 6370 df-frec 6391 df-1o 6416 df-oadd 6420 df-er 6534 df-en 6740 df-dom 6741 df-fin 6742 df-pnf 7993 df-mnf 7994 df-xr 7995 df-ltxr 7996 df-le 7997 df-sub 8129 df-neg 8130 df-reap 8531 df-ap 8538 df-div 8629 df-inn 8919 df-2 8977 df-3 8978 df-4 8979 df-n0 9176 df-z 9253 df-uz 9528 df-q 9619 df-rp 9653 df-fz 10008 df-fzo 10142 df-seqfrec 10445 df-exp 10519 df-ihash 10755 df-cj 10850 df-re 10851 df-im 10852 df-rsqrt 11006 df-abs 11007 df-clim 11286 df-proddc 11558 |
This theorem is referenced by: fproddivap 11637 |
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