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Theorem fprodrec 11592
Description: The finite product of reciprocals is the reciprocal of the product. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodrec.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fprodrec.ccl  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fprodrec.cap  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B #  0 )
Assertion
Ref Expression
fprodrec  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  ( 1  /  B
)  =  ( 1  /  prod_ k  e.  A  B ) )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fprodrec
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 11516 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  prod_ k  e.  w  ( 1  /  B )  = 
prod_ k  e.  (/)  ( 1  /  B ) )
2 prodeq1 11516 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  prod_ k  e.  w  B  =  prod_ k  e.  (/)  B )
32oveq2d 5869 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( 1  /  prod_ k  e.  w  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  (/)  B ) )
41, 3eqeq12d 2185 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  ( prod_
k  e.  w  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  w  B )  <->  prod_ k  e.  (/)  ( 1  /  B
)  =  ( 1  /  prod_ k  e.  (/)  B ) ) )
5 prodeq1 11516 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  prod_ k  e.  w  ( 1  /  B )  = 
prod_ k  e.  y 
( 1  /  B
) )
6 prodeq1 11516 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  prod_ k  e.  w  B  = 
prod_ k  e.  y  B )
76oveq2d 5869 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  (
1  /  prod_ k  e.  w  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )
85, 7eqeq12d 2185 . 2  |-  ( w  =  y  ->  ( prod_ k  e.  w  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  w  B )  <->  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B
)  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) ) )
9 prodeq1 11516 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  prod_ k  e.  w  ( 1  /  B
)  =  prod_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( 1  /  B ) )
10 prodeq1 11516 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  prod_ k  e.  w  B  =  prod_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
1110oveq2d 5869 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( 1  /  prod_ k  e.  w  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B ) )
129, 11eqeq12d 2185 . 2  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( prod_ k  e.  w  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  w  B )  <->  prod_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B ) ) )
13 prodeq1 11516 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  prod_ k  e.  w  ( 1  /  B )  = 
prod_ k  e.  A  ( 1  /  B
) )
14 prodeq1 11516 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  prod_ k  e.  w  B  = 
prod_ k  e.  A  B )
1514oveq2d 5869 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  (
1  /  prod_ k  e.  w  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  A  B
) )
1613, 15eqeq12d 2185 . 2  |-  ( w  =  A  ->  ( prod_ k  e.  w  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  w  B )  <->  prod_ k  e.  A  ( 1  /  B
)  =  ( 1  /  prod_ k  e.  A  B ) ) )
17 1div1e1 8621 . . . 4  |-  ( 1  /  1 )  =  1
18 prod0 11548 . . . . 5  |-  prod_ k  e.  (/)  B  =  1
1918oveq2i 5864 . . . 4  |-  ( 1  /  prod_ k  e.  (/)  B )  =  ( 1  /  1 )
20 prod0 11548 . . . 4  |-  prod_ k  e.  (/)  ( 1  /  B )  =  1
2117, 19, 203eqtr4ri 2202 . . 3  |-  prod_ k  e.  (/)  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  (/)  B )
2221a1i 9 . 2  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  (/)  ( 1  /  B
)  =  ( 1  /  prod_ k  e.  (/)  B ) )
23 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )  ->  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B )
)
2423oveq1d 5868 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )  ->  ( prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  x.  ( 1  /  [_ z  /  k ]_ B
) )  =  ( ( 1  /  prod_ k  e.  y  B )  x.  ( 1  /  [_ z  /  k ]_ B ) ) )
25 1cnd 7936 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )  ->  1  e.  CC )
26 simplr 525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  y  e.  Fin )
27 simplll 528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  k  e.  y )  ->  ph )
28 simplrl 530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  k  e.  y )  ->  y  C_  A )
29 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  k  e.  y )  ->  k  e.  y )
3028, 29sseldd 3148 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  k  e.  y )  ->  k  e.  A )
31 fprodrec.ccl . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
3227, 30, 31syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  k  e.  y )  ->  B  e.  CC )
3326, 32fprodcl 11570 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  prod_ k  e.  y  B  e.  CC )
3433adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )  ->  prod_ k  e.  y  B  e.  CC )
35 simprr 527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  z  e.  ( A  \  y ) )
3635eldifad 3132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  z  e.  A
)
3731ralrimiva 2543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
3837ad2antrr 485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
39 nfcsb1v 3082 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ B
4039nfel1 2323 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k
[_ z  /  k ]_ B  e.  CC
41 csbeq1a 3058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  z  ->  B  =  [_ z  /  k ]_ B )
4241eleq1d 2239 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  z  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ z  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
4340, 42rspc 2828 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  CC )
)
4436, 38, 43sylc 62 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  CC )
4544adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )  ->  [_ z  / 
k ]_ B  e.  CC )
46 fprodrec.cap . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B #  0 )
4727, 30, 46syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  k  e.  y )  ->  B #  0 )
4826, 32, 47fprodap0 11584 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  prod_ k  e.  y  B #  0 )
4948adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )  ->  prod_ k  e.  y  B #  0 )
5046ralrimiva 2543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B #  0 )
5150ad2antrr 485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  A. k  e.  A  B #  0 )
52 nfcv 2312 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k #
53 nfcv 2312 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
0
5439, 52, 53nfbr 4035 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k
[_ z  /  k ]_ B #  0
5541breq1d 3999 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  z  ->  ( B #  0  <->  [_ z  /  k ]_ B #  0 )
)
5654, 55rspc 2828 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B #  0  ->  [_ z  /  k ]_ B #  0 ) )
5736, 51, 56sylc 62 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  [_ z  /  k ]_ B #  0 )
5857adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )  ->  [_ z  / 
k ]_ B #  0 )
5925, 34, 25, 45, 49, 58divmuldivapd 8749 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )  ->  ( (
1  /  prod_ k  e.  y  B )  x.  ( 1  /  [_ z  /  k ]_ B
) )  =  ( ( 1  x.  1 )  /  ( prod_
k  e.  y  B  x.  [_ z  / 
k ]_ B ) ) )
60 1t1e1 9030 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
6160oveq1i 5863 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  1 )  /  ( prod_ k  e.  y  B  x.  [_ z  /  k ]_ B ) )  =  ( 1  /  ( prod_ k  e.  y  B  x.  [_ z  / 
k ]_ B ) )
6259, 61eqtrdi 2219 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )  ->  ( (
1  /  prod_ k  e.  y  B )  x.  ( 1  /  [_ z  /  k ]_ B
) )  =  ( 1  /  ( prod_
k  e.  y  B  x.  [_ z  / 
k ]_ B ) ) )
6324, 62eqtrd 2203 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )  ->  ( prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  x.  ( 1  /  [_ z  /  k ]_ B
) )  =  ( 1  /  ( prod_
k  e.  y  B  x.  [_ z  / 
k ]_ B ) ) )
64 nfcv 2312 . . . . . . 7  |-  F/_ k
1
65 nfcv 2312 . . . . . . 7  |-  F/_ k  /
6664, 65, 39nfov 5883 . . . . . 6  |-  F/_ k
( 1  /  [_ z  /  k ]_ B
)
6735eldifbd 3133 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  -.  z  e.  y )
6832, 47recclapd 8698 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  k  e.  y )  ->  (
1  /  B )  e.  CC )
6944, 57recclapd 8698 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( 1  /  [_ z  /  k ]_ B )  e.  CC )
7041oveq2d 5869 . . . . . 6  |-  ( k  =  z  ->  (
1  /  B )  =  ( 1  /  [_ z  /  k ]_ B ) )
7166, 26, 35, 67, 68, 69, 70fprodunsn 11567 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  prod_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( 1  /  B )  =  ( prod_ k  e.  y  ( 1  /  B
)  x.  ( 1  /  [_ z  / 
k ]_ B ) ) )
7271adantr 274 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )  ->  prod_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( 1  /  B )  =  ( prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  x.  ( 1  /  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
7339, 26, 35, 67, 32, 44, 41fprodunsn 11567 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  prod_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  =  ( prod_ k  e.  y  B  x.  [_ z  /  k ]_ B
) )
7473oveq2d 5869 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( 1  /  prod_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  =  ( 1  /  ( prod_ k  e.  y  B  x.  [_ z  / 
k ]_ B ) ) )
7574adantr 274 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )  ->  ( 1  /  prod_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  =  ( 1  / 
( prod_ k  e.  y  B  x.  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
7663, 72, 753eqtr4d 2213 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B ) )  ->  prod_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B ) )
7776ex 114 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( prod_ k  e.  y  ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  y  B )  ->  prod_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( 1  /  B )  =  ( 1  /  prod_ k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) ) )
78 fprodrec.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
794, 8, 12, 16, 22, 77, 78findcard2sd 6870 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  ( 1  /  B
)  =  ( 1  /  prod_ k  e.  A  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448   [_csb 3049    \ cdif 3118    u. cun 3119    C_ wss 3121   (/)c0 3414   {csn 3583   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   Fincfn 6718   CCcc 7772   0cc0 7774   1c1 7775    x. cmul 7779   # cap 8500    / cdiv 8589   prod_cprod 11513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-proddc 11514
This theorem is referenced by:  fproddivap  11593
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