Theorem ssfirab 6899

Description: A subset of a finite set is finite if it is defined by a decidable property. (Contributed by Jim Kingdon, 27-May-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssfirab.a	|- ( ph -> A e. Fin )
ssfirab.dc	|- ( ph -> A. x e. A DECID ps )

Assertion

Ref	Expression
ssfirab	|- ( ph -> { x e. A | ps } e. Fin )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x)

Proof of Theorem ssfirab

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabeq 2718	. . 3 |- ( w = (/) -> { x e. w | ps } = { x e. (/) | ps } )
2	1	eleq1d 2235	. 2 |- ( w = (/) -> ( { x e. w | ps } e. Fin <-> { x e. (/) | ps } e. Fin ) )
3		rabeq 2718	. . 3 |- ( w = y -> { x e. w | ps } = { x e. y | ps } )
4	3	eleq1d 2235	. 2 |- ( w = y -> ( { x e. w | ps } e. Fin <-> { x e. y | ps } e. Fin ) )
5		rabeq 2718	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> { x e. w | ps } = { x e. ( y u. { z } ) | ps } )
6	5	eleq1d 2235	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( { x e. w | ps } e. Fin <-> { x e. ( y u. { z } ) | ps } e. Fin ) )
7		rabeq 2718	. . 3 |- ( w = A -> { x e. w | ps } = { x e. A | ps } )
8	7	eleq1d 2235	. 2 |- ( w = A -> ( { x e. w | ps } e. Fin <-> { x e. A | ps } e. Fin ) )
9		rab0 3437	. . . 4 |- { x e. (/) | ps } = (/)
10		0fin 6850	. . . 4 |- (/) e. Fin
11	9, 10	eqeltri 2239	. . 3 |- { x e. (/) | ps } e. Fin
12	11	a1i 9	. 2 |- ( ph -> { x e. (/) | ps } e. Fin )
13		rabun2 3401	. . . . 5 |- { x e. ( y u. { z } ) | ps } = ( { x e. y | ps } u. { x e. { z } | ps } )
14		sbsbc 2955	. . . . . . . . . 10 |- ( [ z / x ] ps <-> [. z / x ]. ps )
15		vex 2729	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
16		ralsns 3614	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. _V -> ( A. x e. { z } ps <-> [. z / x ]. ps ) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. { z } ps <-> [. z / x ]. ps )
18	14, 17	bitr4i 186	. . . . . . . . 9 |- ( [ z / x ] ps <-> A. x e. { z } ps )
19		rabid2 2642	. . . . . . . . 9 |- ( { z } = { x e. { z } | ps } <-> A. x e. { z } ps )
20	18, 19	sylbb2 137	. . . . . . . 8 |- ( [ z / x ] ps -> { z } = { x e. { z } | ps } )
21	20	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> { z } = { x e. { z } | ps } )
22	21	uneq2d 3276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> ( { x e. y | ps } u. { z } ) = ( { x e. y | ps } u. { x e. { z } | ps } ) )
23		simplr 520	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> { x e. y | ps } e. Fin )
24	15	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> z e. _V )
25		simprr 522	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
26	25	ad2antrr 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> z e. ( A \ y ) )
27	26	eldifbd 3128	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> -. z e. y )
28		elrabi 2879	. . . . . . . 8 |- ( z e. { x e. y | ps } -> z e. y )
29	27, 28	nsyl 618	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> -. z e. { x e. y | ps } )
30		unsnfi 6884	. . . . . . 7 |- ( ( { x e. y | ps } e. Fin /\ z e. _V /\ -. z e. { x e. y | ps } ) -> ( { x e. y | ps } u. { z } ) e. Fin )
31	23, 24, 29, 30	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> ( { x e. y | ps } u. { z } ) e. Fin )
32	22, 31	eqeltrrd 2244	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> ( { x e. y | ps } u. { x e. { z } | ps } ) e. Fin )
33	13, 32	eqeltrid 2253	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> { x e. ( y u. { z } ) | ps } e. Fin )
34		ralsns 3614	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. _V -> ( A. x e. { z } -. ps <-> [. z / x ]. -. ps ) )
35	15, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. { z } -. ps <-> [. z / x ]. -. ps )
36		sbsbc 2955	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ z / x ] -. ps <-> [. z / x ]. -. ps )
37		sbn 1940	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ z / x ] -. ps <-> -. [ z / x ] ps )
38	35, 36, 37	3bitr2ri 208	. . . . . . . . . 10 |- ( -. [ z / x ] ps <-> A. x e. { z } -. ps )
39		rabeq0 3438	. . . . . . . . . 10 |- ( { x e. { z } | ps } = (/) <-> A. x e. { z } -. ps )
40	38, 39	sylbb2 137	. . . . . . . . 9 |- ( -. [ z / x ] ps -> { x e. { z } | ps } = (/) )
41	40	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ -. [ z / x ] ps ) -> { x e. { z } | ps } = (/) )
42	41	uneq2d 3276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ -. [ z / x ] ps ) -> ( { x e. y | ps } u. { x e. { z } | ps } ) = ( { x e. y | ps } u. (/) ) )
43		un0 3442	. . . . . . 7 |- ( { x e. y | ps } u. (/) ) = { x e. y | ps }
44	42, 43	eqtrdi 2215	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ -. [ z / x ] ps ) -> ( { x e. y | ps } u. { x e. { z } | ps } ) = { x e. y | ps } )
45	13, 44	syl5eq 2211	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ -. [ z / x ] ps ) -> { x e. ( y u. { z } ) | ps } = { x e. y | ps } )
46		simplr 520	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ -. [ z / x ] ps ) -> { x e. y | ps } e. Fin )
47	45, 46	eqeltrd 2243	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ -. [ z / x ] ps ) -> { x e. ( y u. { z } ) | ps } e. Fin )
48		simplrr 526	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) -> z e. ( A \ y ) )
49	48	eldifad 3127	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) -> z e. A )
50		ssfirab.dc	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. A DECID ps )
51	50	ad3antrrr 484	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) -> A. x e. A DECID ps )
52		nfs1v 1927	. . . . . . . 8 |- F/ x [ z / x ] ps
53	52	nfdc 1647	. . . . . . 7 |- F/ xDECID [ z / x ] ps
54		sbequ12 1759	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ps <-> [ z / x ] ps ) )
55	54	dcbid 828	. . . . . . 7 |- ( x = z -> (DECID ps <-> DECID [ z / x ] ps ) )
56	53, 55	rspc 2824	. . . . . 6 |- ( z e. A -> ( A. x e. A DECID ps -> DECID [ z / x ] ps ) )
57	49, 51, 56	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) -> DECID [ z / x ] ps )
58		exmiddc 826	. . . . 5 |- (DECID [ z / x ] ps -> ( [ z / x ] ps \/ -. [ z / x ] ps ) )
59	57, 58	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) -> ( [ z / x ] ps \/ -. [ z / x ] ps ) )
60	33, 47, 59	mpjaodan 788	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) -> { x e. ( y u. { z } ) | ps } e. Fin )
61	60	ex 114	. 2 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( { x e. y | ps } e. Fin -> { x e. ( y u. { z } ) | ps } e. Fin ) )
62		ssfirab.a	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
63	2, 4, 6, 8, 12, 61, 62	findcard2sd 6858	1 |- ( ph -> { x e. A | ps } e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 824   = wceq 1343   [wsb 1750   e. wcel 2136   A.wral 2444   {crab 2448   _Vcvv 2726   [.wsbc 2951   \ cdif 3113   u. cun 3114   C_ wss 3116   (/)c0 3409   {csn 3576   Fincfn 6706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-1o 6384  df-er 6501  df-en 6707  df-fin 6709

This theorem is referenced by:  ssfidc  6900  phivalfi  12144  hashdvds  12153  phiprmpw  12154  phimullem  12157  hashgcdeq  12171