Theorem ssfirab 6697

Description: A subset of a finite set is finite if it is defined by a decidable property. (Contributed by Jim Kingdon, 27-May-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssfirab.a	|- ( ph -> A e. Fin )
ssfirab.dc	|- ( ph -> A. x e. A DECID ps )

Assertion

Ref	Expression
ssfirab	|- ( ph -> { x e. A | ps } e. Fin )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x)

Proof of Theorem ssfirab

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabeq 2612	. . 3 |- ( w = (/) -> { x e. w | ps } = { x e. (/) | ps } )
2	1	eleq1d 2157	. 2 |- ( w = (/) -> ( { x e. w | ps } e. Fin <-> { x e. (/) | ps } e. Fin ) )
3		rabeq 2612	. . 3 |- ( w = y -> { x e. w | ps } = { x e. y | ps } )
4	3	eleq1d 2157	. 2 |- ( w = y -> ( { x e. w | ps } e. Fin <-> { x e. y | ps } e. Fin ) )
5		rabeq 2612	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> { x e. w | ps } = { x e. ( y u. { z } ) | ps } )
6	5	eleq1d 2157	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( { x e. w | ps } e. Fin <-> { x e. ( y u. { z } ) | ps } e. Fin ) )
7		rabeq 2612	. . 3 |- ( w = A -> { x e. w | ps } = { x e. A | ps } )
8	7	eleq1d 2157	. 2 |- ( w = A -> ( { x e. w | ps } e. Fin <-> { x e. A | ps } e. Fin ) )
9		rab0 3315	. . . 4 |- { x e. (/) | ps } = (/)
10		0fin 6654	. . . 4 |- (/) e. Fin
11	9, 10	eqeltri 2161	. . 3 |- { x e. (/) | ps } e. Fin
12	11	a1i 9	. 2 |- ( ph -> { x e. (/) | ps } e. Fin )
13		rabun2 3279	. . . . 5 |- { x e. ( y u. { z } ) | ps } = ( { x e. y | ps } u. { x e. { z } | ps } )
14		sbsbc 2845	. . . . . . . . . 10 |- ( [ z / x ] ps <-> [. z / x ]. ps )
15		vex 2623	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
16		ralsns 3485	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. _V -> ( A. x e. { z } ps <-> [. z / x ]. ps ) )
17	15, 16	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. { z } ps <-> [. z / x ]. ps )
18	14, 17	bitr4i 186	. . . . . . . . 9 |- ( [ z / x ] ps <-> A. x e. { z } ps )
19		rabid2 2544	. . . . . . . . 9 |- ( { z } = { x e. { z } | ps } <-> A. x e. { z } ps )
20	18, 19	sylbb2 137	. . . . . . . 8 |- ( [ z / x ] ps -> { z } = { x e. { z } | ps } )
21	20	adantl 272	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> { z } = { x e. { z } | ps } )
22	21	uneq2d 3155	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> ( { x e. y | ps } u. { z } ) = ( { x e. y | ps } u. { x e. { z } | ps } ) )
23		simplr 498	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> { x e. y | ps } e. Fin )
24	15	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> z e. _V )
25		simprr 500	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
26	25	ad2antrr 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> z e. ( A \ y ) )
27	26	eldifbd 3012	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> -. z e. y )
28		elrabi 2769	. . . . . . . 8 |- ( z e. { x e. y | ps } -> z e. y )
29	27, 28	nsyl 594	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> -. z e. { x e. y | ps } )
30		unsnfi 6683	. . . . . . 7 |- ( ( { x e. y | ps } e. Fin /\ z e. _V /\ -. z e. { x e. y | ps } ) -> ( { x e. y | ps } u. { z } ) e. Fin )
31	23, 24, 29, 30	syl3anc 1175	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> ( { x e. y | ps } u. { z } ) e. Fin )
32	22, 31	eqeltrrd 2166	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> ( { x e. y | ps } u. { x e. { z } | ps } ) e. Fin )
33	13, 32	syl5eqel 2175	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> { x e. ( y u. { z } ) | ps } e. Fin )
34		ralsns 3485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. _V -> ( A. x e. { z } -. ps <-> [. z / x ]. -. ps ) )
35	15, 34	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. { z } -. ps <-> [. z / x ]. -. ps )
36		sbsbc 2845	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ z / x ] -. ps <-> [. z / x ]. -. ps )
37		sbn 1875	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ z / x ] -. ps <-> -. [ z / x ] ps )
38	35, 36, 37	3bitr2ri 208	. . . . . . . . . 10 |- ( -. [ z / x ] ps <-> A. x e. { z } -. ps )
39		rabeq0 3316	. . . . . . . . . 10 |- ( { x e. { z } | ps } = (/) <-> A. x e. { z } -. ps )
40	38, 39	sylbb2 137	. . . . . . . . 9 |- ( -. [ z / x ] ps -> { x e. { z } | ps } = (/) )
41	40	adantl 272	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ -. [ z / x ] ps ) -> { x e. { z } | ps } = (/) )
42	41	uneq2d 3155	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ -. [ z / x ] ps ) -> ( { x e. y | ps } u. { x e. { z } | ps } ) = ( { x e. y | ps } u. (/) ) )
43		un0 3320	. . . . . . 7 |- ( { x e. y | ps } u. (/) ) = { x e. y | ps }
44	42, 43	syl6eq 2137	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ -. [ z / x ] ps ) -> ( { x e. y | ps } u. { x e. { z } | ps } ) = { x e. y | ps } )
45	13, 44	syl5eq 2133	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ -. [ z / x ] ps ) -> { x e. ( y u. { z } ) | ps } = { x e. y | ps } )
46		simplr 498	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ -. [ z / x ] ps ) -> { x e. y | ps } e. Fin )
47	45, 46	eqeltrd 2165	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ -. [ z / x ] ps ) -> { x e. ( y u. { z } ) | ps } e. Fin )
48		simplrr 504	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) -> z e. ( A \ y ) )
49	48	eldifad 3011	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) -> z e. A )
50		ssfirab.dc	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. A DECID ps )
51	50	ad3antrrr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) -> A. x e. A DECID ps )
52		nfs1v 1864	. . . . . . . 8 |- F/ x [ z / x ] ps
53	52	nfdc 1595	. . . . . . 7 |- F/ xDECID [ z / x ] ps
54		sbequ12 1702	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ps <-> [ z / x ] ps ) )
55	54	dcbid 787	. . . . . . 7 |- ( x = z -> (DECID ps <-> DECID [ z / x ] ps ) )
56	53, 55	rspc 2717	. . . . . 6 |- ( z e. A -> ( A. x e. A DECID ps -> DECID [ z / x ] ps ) )
57	49, 51, 56	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) -> DECID [ z / x ] ps )
58		exmiddc 783	. . . . 5 |- (DECID [ z / x ] ps -> ( [ z / x ] ps \/ -. [ z / x ] ps ) )
59	57, 58	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) -> ( [ z / x ] ps \/ -. [ z / x ] ps ) )
60	33, 47, 59	mpjaodan 748	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) -> { x e. ( y u. { z } ) | ps } e. Fin )
61	60	ex 114	. 2 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( { x e. y | ps } e. Fin -> { x e. ( y u. { z } ) | ps } e. Fin ) )
62		ssfirab.a	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
63	2, 4, 6, 8, 12, 61, 62	findcard2sd 6662	1 |- ( ph -> { x e. A | ps } e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 665  DECID wdc 781   = wceq 1290   e. wcel 1439   [wsb 1693   A.wral 2360   {crab 2364   _Vcvv 2620   [.wsbc 2841   \ cdif 2997   u. cun 2998   C_ wss 3000   (/)c0 3287   {csn 3450   Fincfn 6511

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-1o 6195  df-er 6306  df-en 6512  df-fin 6514

This theorem is referenced by:  ssfidc  6698  phivalfi  11527  hashdvds  11536  phiprmpw  11537  phimullem  11540  hashgcdeq  11543