Theorem ssfirab 7250

Description: A subset of a finite set is finite if it is defined by a decidable property. (Contributed by Jim Kingdon, 27-May-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssfirab.a	|- ( ph -> A e. Fin )
ssfirab.dc	|- ( ph -> A. x e. A DECID ps )

Assertion

Ref	Expression
ssfirab	|- ( ph -> { x e. A | ps } e. Fin )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x)

Proof of Theorem ssfirab

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabeq 2813	. . 3 |- ( w = (/) -> { x e. w | ps } = { x e. (/) | ps } )
2	1	eleq1d 2307	. 2 |- ( w = (/) -> ( { x e. w | ps } e. Fin <-> { x e. (/) | ps } e. Fin ) )
3		rabeq 2813	. . 3 |- ( w = y -> { x e. w | ps } = { x e. y | ps } )
4	3	eleq1d 2307	. 2 |- ( w = y -> ( { x e. w | ps } e. Fin <-> { x e. y | ps } e. Fin ) )
5		rabeq 2813	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> { x e. w | ps } = { x e. ( y u. { z } ) | ps } )
6	5	eleq1d 2307	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( { x e. w | ps } e. Fin <-> { x e. ( y u. { z } ) | ps } e. Fin ) )
7		rabeq 2813	. . 3 |- ( w = A -> { x e. w | ps } = { x e. A | ps } )
8	7	eleq1d 2307	. 2 |- ( w = A -> ( { x e. w | ps } e. Fin <-> { x e. A | ps } e. Fin ) )
9		rab0 3551	. . . 4 |- { x e. (/) | ps } = (/)
10		0fi 7194	. . . 4 |- (/) e. Fin
11	9, 10	eqeltri 2311	. . 3 |- { x e. (/) | ps } e. Fin
12	11	a1i 9	. 2 |- ( ph -> { x e. (/) | ps } e. Fin )
13		rabun2 3512	. . . . 5 |- { x e. ( y u. { z } ) | ps } = ( { x e. y | ps } u. { x e. { z } | ps } )
14		sbsbc 3055	. . . . . . . . . 10 |- ( [ z / x ] ps <-> [. z / x ]. ps )
15		vex 2824	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
16		ralsns 3747	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. _V -> ( A. x e. { z } ps <-> [. z / x ]. ps ) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. { z } ps <-> [. z / x ]. ps )
18	14, 17	bitr4i 187	. . . . . . . . 9 |- ( [ z / x ] ps <-> A. x e. { z } ps )
19		rabid2 2729	. . . . . . . . 9 |- ( { z } = { x e. { z } | ps } <-> A. x e. { z } ps )
20	18, 19	sylbb2 138	. . . . . . . 8 |- ( [ z / x ] ps -> { z } = { x e. { z } | ps } )
21	20	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> { z } = { x e. { z } | ps } )
22	21	uneq2d 3383	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> ( { x e. y | ps } u. { z } ) = ( { x e. y | ps } u. { x e. { z } | ps } ) )
23		simplr 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> { x e. y | ps } e. Fin )
24	15	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> z e. _V )
25		simprr 537	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
26	25	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> z e. ( A \ y ) )
27	26	eldifbd 3232	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> -. z e. y )
28		elrabi 2979	. . . . . . . 8 |- ( z e. { x e. y | ps } -> z e. y )
29	27, 28	nsyl 637	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> -. z e. { x e. y | ps } )
30		unsnfi 7232	. . . . . . 7 |- ( ( { x e. y | ps } e. Fin /\ z e. _V /\ -. z e. { x e. y | ps } ) -> ( { x e. y | ps } u. { z } ) e. Fin )
31	23, 24, 29, 30	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> ( { x e. y | ps } u. { z } ) e. Fin )
32	22, 31	eqeltrrd 2316	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> ( { x e. y | ps } u. { x e. { z } | ps } ) e. Fin )
33	13, 32	eqeltrid 2325	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> { x e. ( y u. { z } ) | ps } e. Fin )
34		ralsns 3747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. _V -> ( A. x e. { z } -. ps <-> [. z / x ]. -. ps ) )
35	15, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. { z } -. ps <-> [. z / x ]. -. ps )
36		sbsbc 3055	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ z / x ] -. ps <-> [. z / x ]. -. ps )
37		sbn 2012	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ z / x ] -. ps <-> -. [ z / x ] ps )
38	35, 36, 37	3bitr2ri 209	. . . . . . . . . 10 |- ( -. [ z / x ] ps <-> A. x e. { z } -. ps )
39		rabeq0 3552	. . . . . . . . . 10 |- ( { x e. { z } | ps } = (/) <-> A. x e. { z } -. ps )
40	38, 39	sylbb2 138	. . . . . . . . 9 |- ( -. [ z / x ] ps -> { x e. { z } | ps } = (/) )
41	40	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ -. [ z / x ] ps ) -> { x e. { z } | ps } = (/) )
42	41	uneq2d 3383	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ -. [ z / x ] ps ) -> ( { x e. y | ps } u. { x e. { z } | ps } ) = ( { x e. y | ps } u. (/) ) )
43		un0 3556	. . . . . . 7 |- ( { x e. y | ps } u. (/) ) = { x e. y | ps }
44	42, 43	eqtrdi 2287	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ -. [ z / x ] ps ) -> ( { x e. y | ps } u. { x e. { z } | ps } ) = { x e. y | ps } )
45	13, 44	eqtrid 2283	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ -. [ z / x ] ps ) -> { x e. ( y u. { z } ) | ps } = { x e. y | ps } )
46		simplr 533	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ -. [ z / x ] ps ) -> { x e. y | ps } e. Fin )
47	45, 46	eqeltrd 2315	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ -. [ z / x ] ps ) -> { x e. ( y u. { z } ) | ps } e. Fin )
48		simplrr 542	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) -> z e. ( A \ y ) )
49	48	eldifad 3231	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) -> z e. A )
50		ssfirab.dc	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. A DECID ps )
51	50	ad3antrrr 496	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) -> A. x e. A DECID ps )
52		nfs1v 1999	. . . . . . . 8 |- F/ x [ z / x ] ps
53	52	nfdc 1711	. . . . . . 7 |- F/ xDECID [ z / x ] ps
54		sbequ12 1824	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ps <-> [ z / x ] ps ) )
55	54	dcbid 850	. . . . . . 7 |- ( x = z -> (DECID ps <-> DECID [ z / x ] ps ) )
56	53, 55	rspc 2923	. . . . . 6 |- ( z e. A -> ( A. x e. A DECID ps -> DECID [ z / x ] ps ) )
57	49, 51, 56	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) -> DECID [ z / x ] ps )
58		exmiddc 848	. . . . 5 |- (DECID [ z / x ] ps -> ( [ z / x ] ps \/ -. [ z / x ] ps ) )
59	57, 58	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) -> ( [ z / x ] ps \/ -. [ z / x ] ps ) )
60	33, 47, 59	mpjaodan 810	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) -> { x e. ( y u. { z } ) | ps } e. Fin )
61	60	ex 115	. 2 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( { x e. y | ps } e. Fin -> { x e. ( y u. { z } ) | ps } e. Fin ) )
62		ssfirab.a	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
63	2, 4, 6, 8, 12, 61, 62	findcard2sd 7202	1 |- ( ph -> { x e. A | ps } e. Fin )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   [wsb 1815   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   _Vcvv 2821   [.wsbc 3051   \ cdif 3217   u. cun 3218   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3709   Fincfn 7028

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-1o 6692  df-er 6812  df-en 7029  df-fin 7031

This theorem is used by:  ssfidc  7251  hashfibclem  11303  phivalfi  13018  hashdvds  13027  phiprmpw  13028  phimullem  13031  hashgcdeq  13046  ballotfilemofi  13276  ballotfilem2  13285  ballotfilemfc0  13289  ballotfilemfcc  13290  ballotfilemefi  13294  ballotfilemafi  13295  ballotfilembfi  13296  psrbaglefifi  15175  lgsquadlemofi  16417  lgsquadlem1  16418  lgsquadlem2  16419  vtxedgfi  16752  vtxlpfi  16753  konigsberglem5  16955