Theorem ssfirab 7094

Description: A subset of a finite set is finite if it is defined by a decidable property. (Contributed by Jim Kingdon, 27-May-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssfirab.a	|- ( ph -> A e. Fin )
ssfirab.dc	|- ( ph -> A. x e. A DECID ps )

Assertion

Ref	Expression
ssfirab	|- ( ph -> { x e. A | ps } e. Fin )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x)

Proof of Theorem ssfirab

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabeq 2791	. . 3 |- ( w = (/) -> { x e. w | ps } = { x e. (/) | ps } )
2	1	eleq1d 2298	. 2 |- ( w = (/) -> ( { x e. w | ps } e. Fin <-> { x e. (/) | ps } e. Fin ) )
3		rabeq 2791	. . 3 |- ( w = y -> { x e. w | ps } = { x e. y | ps } )
4	3	eleq1d 2298	. 2 |- ( w = y -> ( { x e. w | ps } e. Fin <-> { x e. y | ps } e. Fin ) )
5		rabeq 2791	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> { x e. w | ps } = { x e. ( y u. { z } ) | ps } )
6	5	eleq1d 2298	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( { x e. w | ps } e. Fin <-> { x e. ( y u. { z } ) | ps } e. Fin ) )
7		rabeq 2791	. . 3 |- ( w = A -> { x e. w | ps } = { x e. A | ps } )
8	7	eleq1d 2298	. 2 |- ( w = A -> ( { x e. w | ps } e. Fin <-> { x e. A | ps } e. Fin ) )
9		rab0 3520	. . . 4 |- { x e. (/) | ps } = (/)
10		0fin 7042	. . . 4 |- (/) e. Fin
11	9, 10	eqeltri 2302	. . 3 |- { x e. (/) | ps } e. Fin
12	11	a1i 9	. 2 |- ( ph -> { x e. (/) | ps } e. Fin )
13		rabun2 3483	. . . . 5 |- { x e. ( y u. { z } ) | ps } = ( { x e. y | ps } u. { x e. { z } | ps } )
14		sbsbc 3032	. . . . . . . . . 10 |- ( [ z / x ] ps <-> [. z / x ]. ps )
15		vex 2802	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
16		ralsns 3704	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. _V -> ( A. x e. { z } ps <-> [. z / x ]. ps ) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. { z } ps <-> [. z / x ]. ps )
18	14, 17	bitr4i 187	. . . . . . . . 9 |- ( [ z / x ] ps <-> A. x e. { z } ps )
19		rabid2 2708	. . . . . . . . 9 |- ( { z } = { x e. { z } | ps } <-> A. x e. { z } ps )
20	18, 19	sylbb2 138	. . . . . . . 8 |- ( [ z / x ] ps -> { z } = { x e. { z } | ps } )
21	20	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> { z } = { x e. { z } | ps } )
22	21	uneq2d 3358	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> ( { x e. y | ps } u. { z } ) = ( { x e. y | ps } u. { x e. { z } | ps } ) )
23		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> { x e. y | ps } e. Fin )
24	15	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> z e. _V )
25		simprr 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
26	25	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> z e. ( A \ y ) )
27	26	eldifbd 3209	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> -. z e. y )
28		elrabi 2956	. . . . . . . 8 |- ( z e. { x e. y | ps } -> z e. y )
29	27, 28	nsyl 631	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> -. z e. { x e. y | ps } )
30		unsnfi 7077	. . . . . . 7 |- ( ( { x e. y | ps } e. Fin /\ z e. _V /\ -. z e. { x e. y | ps } ) -> ( { x e. y | ps } u. { z } ) e. Fin )
31	23, 24, 29, 30	syl3anc 1271	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> ( { x e. y | ps } u. { z } ) e. Fin )
32	22, 31	eqeltrrd 2307	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> ( { x e. y | ps } u. { x e. { z } | ps } ) e. Fin )
33	13, 32	eqeltrid 2316	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> { x e. ( y u. { z } ) | ps } e. Fin )
34		ralsns 3704	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. _V -> ( A. x e. { z } -. ps <-> [. z / x ]. -. ps ) )
35	15, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. { z } -. ps <-> [. z / x ]. -. ps )
36		sbsbc 3032	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ z / x ] -. ps <-> [. z / x ]. -. ps )
37		sbn 2003	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ z / x ] -. ps <-> -. [ z / x ] ps )
38	35, 36, 37	3bitr2ri 209	. . . . . . . . . 10 |- ( -. [ z / x ] ps <-> A. x e. { z } -. ps )
39		rabeq0 3521	. . . . . . . . . 10 |- ( { x e. { z } | ps } = (/) <-> A. x e. { z } -. ps )
40	38, 39	sylbb2 138	. . . . . . . . 9 |- ( -. [ z / x ] ps -> { x e. { z } | ps } = (/) )
41	40	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ -. [ z / x ] ps ) -> { x e. { z } | ps } = (/) )
42	41	uneq2d 3358	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ -. [ z / x ] ps ) -> ( { x e. y | ps } u. { x e. { z } | ps } ) = ( { x e. y | ps } u. (/) ) )
43		un0 3525	. . . . . . 7 |- ( { x e. y | ps } u. (/) ) = { x e. y | ps }
44	42, 43	eqtrdi 2278	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ -. [ z / x ] ps ) -> ( { x e. y | ps } u. { x e. { z } | ps } ) = { x e. y | ps } )
45	13, 44	eqtrid 2274	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ -. [ z / x ] ps ) -> { x e. ( y u. { z } ) | ps } = { x e. y | ps } )
46		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ -. [ z / x ] ps ) -> { x e. y | ps } e. Fin )
47	45, 46	eqeltrd 2306	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ -. [ z / x ] ps ) -> { x e. ( y u. { z } ) | ps } e. Fin )
48		simplrr 536	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) -> z e. ( A \ y ) )
49	48	eldifad 3208	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) -> z e. A )
50		ssfirab.dc	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. A DECID ps )
51	50	ad3antrrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) -> A. x e. A DECID ps )
52		nfs1v 1990	. . . . . . . 8 |- F/ x [ z / x ] ps
53	52	nfdc 1705	. . . . . . 7 |- F/ xDECID [ z / x ] ps
54		sbequ12 1817	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ps <-> [ z / x ] ps ) )
55	54	dcbid 843	. . . . . . 7 |- ( x = z -> (DECID ps <-> DECID [ z / x ] ps ) )
56	53, 55	rspc 2901	. . . . . 6 |- ( z e. A -> ( A. x e. A DECID ps -> DECID [ z / x ] ps ) )
57	49, 51, 56	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) -> DECID [ z / x ] ps )
58		exmiddc 841	. . . . 5 |- (DECID [ z / x ] ps -> ( [ z / x ] ps \/ -. [ z / x ] ps ) )
59	57, 58	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) -> ( [ z / x ] ps \/ -. [ z / x ] ps ) )
60	33, 47, 59	mpjaodan 803	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) -> { x e. ( y u. { z } ) | ps } e. Fin )
61	60	ex 115	. 2 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( { x e. y | ps } e. Fin -> { x e. ( y u. { z } ) | ps } e. Fin ) )
62		ssfirab.a	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
63	2, 4, 6, 8, 12, 61, 62	findcard2sd 7050	1 |- ( ph -> { x e. A | ps } e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   [wsb 1808   e. wcel 2200   A.wral 2508   {crab 2512   _Vcvv 2799   [.wsbc 3028   \ cdif 3194   u. cun 3195   C_ wss 3197   (/)c0 3491   {csn 3666   Fincfn 6885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-1o 6560  df-er 6678  df-en 6886  df-fin 6888

This theorem is referenced by:  ssfidc  7095  phivalfi  12729  hashdvds  12738  phiprmpw  12739  phimullem  12742  hashgcdeq  12757  lgsquadlemofi  15749  lgsquadlem1  15750  lgsquadlem2  15751