Theorem ssfirab 7197

Description: A subset of a finite set is finite if it is defined by a decidable property. (Contributed by Jim Kingdon, 27-May-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssfirab.a	|- ( ph -> A e. Fin )
ssfirab.dc	|- ( ph -> A. x e. A DECID ps )

Assertion

Ref	Expression
ssfirab	|- ( ph -> { x e. A | ps } e. Fin )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x)

Proof of Theorem ssfirab

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabeq 2805	. . 3 |- ( w = (/) -> { x e. w | ps } = { x e. (/) | ps } )
2	1	eleq1d 2301	. 2 |- ( w = (/) -> ( { x e. w | ps } e. Fin <-> { x e. (/) | ps } e. Fin ) )
3		rabeq 2805	. . 3 |- ( w = y -> { x e. w | ps } = { x e. y | ps } )
4	3	eleq1d 2301	. 2 |- ( w = y -> ( { x e. w | ps } e. Fin <-> { x e. y | ps } e. Fin ) )
5		rabeq 2805	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> { x e. w | ps } = { x e. ( y u. { z } ) | ps } )
6	5	eleq1d 2301	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( { x e. w | ps } e. Fin <-> { x e. ( y u. { z } ) | ps } e. Fin ) )
7		rabeq 2805	. . 3 |- ( w = A -> { x e. w | ps } = { x e. A | ps } )
8	7	eleq1d 2301	. 2 |- ( w = A -> ( { x e. w | ps } e. Fin <-> { x e. A | ps } e. Fin ) )
9		rab0 3537	. . . 4 |- { x e. (/) | ps } = (/)
10		0fi 7141	. . . 4 |- (/) e. Fin
11	9, 10	eqeltri 2305	. . 3 |- { x e. (/) | ps } e. Fin
12	11	a1i 9	. 2 |- ( ph -> { x e. (/) | ps } e. Fin )
13		rabun2 3500	. . . . 5 |- { x e. ( y u. { z } ) | ps } = ( { x e. y | ps } u. { x e. { z } | ps } )
14		sbsbc 3046	. . . . . . . . . 10 |- ( [ z / x ] ps <-> [. z / x ]. ps )
15		vex 2816	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
16		ralsns 3727	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. _V -> ( A. x e. { z } ps <-> [. z / x ]. ps ) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. { z } ps <-> [. z / x ]. ps )
18	14, 17	bitr4i 187	. . . . . . . . 9 |- ( [ z / x ] ps <-> A. x e. { z } ps )
19		rabid2 2721	. . . . . . . . 9 |- ( { z } = { x e. { z } | ps } <-> A. x e. { z } ps )
20	18, 19	sylbb2 138	. . . . . . . 8 |- ( [ z / x ] ps -> { z } = { x e. { z } | ps } )
21	20	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> { z } = { x e. { z } | ps } )
22	21	uneq2d 3373	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> ( { x e. y | ps } u. { z } ) = ( { x e. y | ps } u. { x e. { z } | ps } ) )
23		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> { x e. y | ps } e. Fin )
24	15	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> z e. _V )
25		simprr 533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
26	25	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> z e. ( A \ y ) )
27	26	eldifbd 3223	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> -. z e. y )
28		elrabi 2970	. . . . . . . 8 |- ( z e. { x e. y | ps } -> z e. y )
29	27, 28	nsyl 633	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> -. z e. { x e. y | ps } )
30		unsnfi 7179	. . . . . . 7 |- ( ( { x e. y | ps } e. Fin /\ z e. _V /\ -. z e. { x e. y | ps } ) -> ( { x e. y | ps } u. { z } ) e. Fin )
31	23, 24, 29, 30	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> ( { x e. y | ps } u. { z } ) e. Fin )
32	22, 31	eqeltrrd 2310	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> ( { x e. y | ps } u. { x e. { z } | ps } ) e. Fin )
33	13, 32	eqeltrid 2319	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ [ z / x ] ps ) -> { x e. ( y u. { z } ) | ps } e. Fin )
34		ralsns 3727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. _V -> ( A. x e. { z } -. ps <-> [. z / x ]. -. ps ) )
35	15, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. { z } -. ps <-> [. z / x ]. -. ps )
36		sbsbc 3046	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ z / x ] -. ps <-> [. z / x ]. -. ps )
37		sbn 2006	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ z / x ] -. ps <-> -. [ z / x ] ps )
38	35, 36, 37	3bitr2ri 209	. . . . . . . . . 10 |- ( -. [ z / x ] ps <-> A. x e. { z } -. ps )
39		rabeq0 3538	. . . . . . . . . 10 |- ( { x e. { z } | ps } = (/) <-> A. x e. { z } -. ps )
40	38, 39	sylbb2 138	. . . . . . . . 9 |- ( -. [ z / x ] ps -> { x e. { z } | ps } = (/) )
41	40	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ -. [ z / x ] ps ) -> { x e. { z } | ps } = (/) )
42	41	uneq2d 3373	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ -. [ z / x ] ps ) -> ( { x e. y | ps } u. { x e. { z } | ps } ) = ( { x e. y | ps } u. (/) ) )
43		un0 3542	. . . . . . 7 |- ( { x e. y | ps } u. (/) ) = { x e. y | ps }
44	42, 43	eqtrdi 2281	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ -. [ z / x ] ps ) -> ( { x e. y | ps } u. { x e. { z } | ps } ) = { x e. y | ps } )
45	13, 44	eqtrid 2277	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ -. [ z / x ] ps ) -> { x e. ( y u. { z } ) | ps } = { x e. y | ps } )
46		simplr 529	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ -. [ z / x ] ps ) -> { x e. y | ps } e. Fin )
47	45, 46	eqeltrd 2309	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) /\ -. [ z / x ] ps ) -> { x e. ( y u. { z } ) | ps } e. Fin )
48		simplrr 538	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) -> z e. ( A \ y ) )
49	48	eldifad 3222	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) -> z e. A )
50		ssfirab.dc	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. A DECID ps )
51	50	ad3antrrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) -> A. x e. A DECID ps )
52		nfs1v 1993	. . . . . . . 8 |- F/ x [ z / x ] ps
53	52	nfdc 1707	. . . . . . 7 |- F/ xDECID [ z / x ] ps
54		sbequ12 1820	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ps <-> [ z / x ] ps ) )
55	54	dcbid 846	. . . . . . 7 |- ( x = z -> (DECID ps <-> DECID [ z / x ] ps ) )
56	53, 55	rspc 2915	. . . . . 6 |- ( z e. A -> ( A. x e. A DECID ps -> DECID [ z / x ] ps ) )
57	49, 51, 56	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) -> DECID [ z / x ] ps )
58		exmiddc 844	. . . . 5 |- (DECID [ z / x ] ps -> ( [ z / x ] ps \/ -. [ z / x ] ps ) )
59	57, 58	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) -> ( [ z / x ] ps \/ -. [ z / x ] ps ) )
60	33, 47, 59	mpjaodan 806	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ { x e. y | ps } e. Fin ) -> { x e. ( y u. { z } ) | ps } e. Fin )
61	60	ex 115	. 2 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( { x e. y | ps } e. Fin -> { x e. ( y u. { z } ) | ps } e. Fin ) )
62		ssfirab.a	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
63	2, 4, 6, 8, 12, 61, 62	findcard2sd 7149	1 |- ( ph -> { x e. A | ps } e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   [wsb 1811   e. wcel 2203   A.wral 2520   {crab 2524   _Vcvv 2813   [.wsbc 3042   \ cdif 3208   u. cun 3209   C_ wss 3211   (/)c0 3508   {csn 3689   Fincfn 6975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-1o 6647  df-er 6767  df-en 6976  df-fin 6978

This theorem is referenced by:  ssfidc  7198  hashfibclem  11206  phivalfi  12909  hashdvds  12918  phiprmpw  12919  phimullem  12922  hashgcdeq  12937  ballotfilemofi  13138  ballotfilem2  13142  lgsquadlemofi  15949  lgsquadlem1  15950  lgsquadlem2  15951  vtxedgfi  16284  vtxlpfi  16285  konigsberglem5  16487