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Theorem ssfirab 6788
Description: A subset of a finite set is finite if it is defined by a decidable property. (Contributed by Jim Kingdon, 27-May-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
ssfirab.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
ssfirab.dc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A DECID  ps )
Assertion
Ref Expression
ssfirab  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  ps }  e.  Fin )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( x)

Proof of Theorem ssfirab
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rabeq 2650 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  { x  e.  w  |  ps }  =  { x  e.  (/)  |  ps }
)
21eleq1d 2184 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  ( { x  e.  w  |  ps }  e.  Fin  <->  {
x  e.  (/)  |  ps }  e.  Fin )
)
3 rabeq 2650 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  { x  e.  w  |  ps }  =  { x  e.  y  |  ps } )
43eleq1d 2184 . 2  |-  ( w  =  y  ->  ( { x  e.  w  |  ps }  e.  Fin  <->  {
x  e.  y  |  ps }  e.  Fin ) )
5 rabeq 2650 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  { x  e.  w  |  ps }  =  { x  e.  ( y  u.  { z } )  |  ps } )
65eleq1d 2184 . 2  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( { x  e.  w  |  ps }  e.  Fin  <->  { x  e.  ( y  u.  {
z } )  |  ps }  e.  Fin ) )
7 rabeq 2650 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  { x  e.  w  |  ps }  =  { x  e.  A  |  ps } )
87eleq1d 2184 . 2  |-  ( w  =  A  ->  ( { x  e.  w  |  ps }  e.  Fin  <->  {
x  e.  A  |  ps }  e.  Fin )
)
9 rab0 3359 . . . 4  |-  { x  e.  (/)  |  ps }  =  (/)
10 0fin 6744 . . . 4  |-  (/)  e.  Fin
119, 10eqeltri 2188 . . 3  |-  { x  e.  (/)  |  ps }  e.  Fin
1211a1i 9 . 2  |-  ( ph  ->  { x  e.  (/)  |  ps }  e.  Fin )
13 rabun2 3323 . . . . 5  |-  { x  e.  ( y  u.  {
z } )  |  ps }  =  ( { x  e.  y  |  ps }  u.  { x  e.  { z }  |  ps }
)
14 sbsbc 2884 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ z  /  x ] ps 
<-> 
[. z  /  x ]. ps )
15 vex 2661 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
16 ralsns 3530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  _V  ->  ( A. x  e.  { z } ps  <->  [. z  /  x ]. ps ) )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  { z } ps  <->  [. z  /  x ]. ps )
1814, 17bitr4i 186 . . . . . . . . 9  |-  ( [ z  /  x ] ps 
<-> 
A. x  e.  {
z } ps )
19 rabid2 2582 . . . . . . . . 9  |-  ( { z }  =  {
x  e.  { z }  |  ps }  <->  A. x  e.  { z } ps )
2018, 19sylbb2 137 . . . . . . . 8  |-  ( [ z  /  x ] ps  ->  { z }  =  { x  e. 
{ z }  |  ps } )
2120adantl 273 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  { x  e.  y  |  ps }  e.  Fin )  /\  [ z  /  x ] ps )  ->  { z }  =  { x  e.  { z }  |  ps } )
2221uneq2d 3198 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  { x  e.  y  |  ps }  e.  Fin )  /\  [ z  /  x ] ps )  ->  ( { x  e.  y  |  ps }  u.  {
z } )  =  ( { x  e.  y  |  ps }  u.  { x  e.  {
z }  |  ps } ) )
23 simplr 502 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  { x  e.  y  |  ps }  e.  Fin )  /\  [ z  /  x ] ps )  ->  { x  e.  y  |  ps }  e.  Fin )
2415a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  { x  e.  y  |  ps }  e.  Fin )  /\  [ z  /  x ] ps )  ->  z  e.  _V )
25 simprr 504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  z  e.  ( A  \  y ) )
2625ad2antrr 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  { x  e.  y  |  ps }  e.  Fin )  /\  [ z  /  x ] ps )  ->  z  e.  ( A  \  y
) )
2726eldifbd 3051 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  { x  e.  y  |  ps }  e.  Fin )  /\  [ z  /  x ] ps )  ->  -.  z  e.  y )
28 elrabi 2808 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { x  e.  y  |  ps }  ->  z  e.  y )
2927, 28nsyl 600 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  { x  e.  y  |  ps }  e.  Fin )  /\  [ z  /  x ] ps )  ->  -.  z  e.  { x  e.  y  |  ps } )
30 unsnfi 6773 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  y  |  ps }  e.  Fin  /\  z  e.  _V  /\ 
-.  z  e.  {
x  e.  y  |  ps } )  -> 
( { x  e.  y  |  ps }  u.  { z } )  e.  Fin )
3123, 24, 29, 30syl3anc 1199 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  { x  e.  y  |  ps }  e.  Fin )  /\  [ z  /  x ] ps )  ->  ( { x  e.  y  |  ps }  u.  {
z } )  e. 
Fin )
3222, 31eqeltrrd 2193 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  { x  e.  y  |  ps }  e.  Fin )  /\  [ z  /  x ] ps )  ->  ( { x  e.  y  |  ps }  u.  {
x  e.  { z }  |  ps }
)  e.  Fin )
3313, 32eqeltrid 2202 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  { x  e.  y  |  ps }  e.  Fin )  /\  [ z  /  x ] ps )  ->  { x  e.  ( y  u.  {
z } )  |  ps }  e.  Fin )
34 ralsns 3530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  _V  ->  ( A. x  e.  { z }  -.  ps  <->  [. z  /  x ].  -.  ps )
)
3515, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  { z }  -.  ps  <->  [. z  /  x ].  -.  ps )
36 sbsbc 2884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ z  /  x ]  -.  ps  <->  [. z  /  x ].  -.  ps )
37 sbn 1901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ z  /  x ]  -.  ps  <->  -.  [ z  /  x ] ps )
3835, 36, 373bitr2ri 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
[ z  /  x ] ps  <->  A. x  e.  {
z }  -.  ps )
39 rabeq0 3360 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x  e.  { z }  |  ps }  =  (/)  <->  A. x  e.  {
z }  -.  ps )
4038, 39sylbb2 137 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
[ z  /  x ] ps  ->  { x  e.  { z }  |  ps }  =  (/) )
4140adantl 273 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  { x  e.  y  |  ps }  e.  Fin )  /\  -.  [ z  /  x ] ps )  ->  { x  e.  { z }  |  ps }  =  (/) )
4241uneq2d 3198 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  { x  e.  y  |  ps }  e.  Fin )  /\  -.  [ z  /  x ] ps )  -> 
( { x  e.  y  |  ps }  u.  { x  e.  {
z }  |  ps } )  =  ( { x  e.  y  |  ps }  u.  (/) ) )
43 un0 3364 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  y  |  ps }  u.  (/) )  =  { x  e.  y  |  ps }
4442, 43syl6eq 2164 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  { x  e.  y  |  ps }  e.  Fin )  /\  -.  [ z  /  x ] ps )  -> 
( { x  e.  y  |  ps }  u.  { x  e.  {
z }  |  ps } )  =  {
x  e.  y  |  ps } )
4513, 44syl5eq 2160 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  { x  e.  y  |  ps }  e.  Fin )  /\  -.  [ z  /  x ] ps )  ->  { x  e.  (
y  u.  { z } )  |  ps }  =  { x  e.  y  |  ps } )
46 simplr 502 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  { x  e.  y  |  ps }  e.  Fin )  /\  -.  [ z  /  x ] ps )  ->  { x  e.  y  |  ps }  e.  Fin )
4745, 46eqeltrd 2192 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  { x  e.  y  |  ps }  e.  Fin )  /\  -.  [ z  /  x ] ps )  ->  { x  e.  (
y  u.  { z } )  |  ps }  e.  Fin )
48 simplrr 508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  { x  e.  y  |  ps }  e.  Fin )  ->  z  e.  ( A 
\  y ) )
4948eldifad 3050 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  { x  e.  y  |  ps }  e.  Fin )  ->  z  e.  A )
50 ssfirab.dc . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A DECID  ps )
5150ad3antrrr 481 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  { x  e.  y  |  ps }  e.  Fin )  ->  A. x  e.  A DECID  ps )
52 nfs1v 1890 . . . . . . . 8  |-  F/ x [ z  /  x ] ps
5352nfdc 1620 . . . . . . 7  |-  F/ xDECID  [ z  /  x ] ps
54 sbequ12 1727 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( ps 
<->  [ z  /  x ] ps ) )
5554dcbid 806 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (DECID  ps  <-> DECID  [ z  /  x ] ps ) )
5653, 55rspc 2755 . . . . . 6  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. x  e.  A DECID  ps  -> DECID  [ z  /  x ] ps ) )
5749, 51, 56sylc 62 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  { x  e.  y  |  ps }  e.  Fin )  -> DECID  [ z  /  x ] ps )
58 exmiddc 804 . . . . 5  |-  (DECID  [ z  /  x ] ps  ->  ( [ z  /  x ] ps  \/  -.  [ z  /  x ] ps ) )
5957, 58syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  { x  e.  y  |  ps }  e.  Fin )  ->  ( [ z  /  x ] ps  \/  -.  [ z  /  x ] ps ) )
6033, 47, 59mpjaodan 770 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  { x  e.  y  |  ps }  e.  Fin )  ->  { x  e.  ( y  u.  { z } )  |  ps }  e.  Fin )
6160ex 114 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( { x  e.  y  |  ps }  e.  Fin  ->  { x  e.  ( y  u.  {
z } )  |  ps }  e.  Fin ) )
62 ssfirab.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
632, 4, 6, 8, 12, 61, 62findcard2sd 6752 1  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  ps }  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680  DECID wdc 802    = wceq 1314    e. wcel 1463   [wsb 1718   A.wral 2391   {crab 2395   _Vcvv 2658   [.wsbc 2880    \ cdif 3036    u. cun 3037    C_ wss 3039   (/)c0 3331   {csn 3495   Fincfn 6600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-1o 6279  df-er 6395  df-en 6601  df-fin 6603
This theorem is referenced by:  ssfidc  6789  phivalfi  11783  hashdvds  11792  phiprmpw  11793  phimullem  11796  hashgcdeq  11799
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