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Theorem fprodap0f 11537
Description: A finite product of terms apart from zero is apart from zero. A version of fprodap0 11522 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodn0f.kph  |-  F/ k
ph
fprodn0f.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fprodn0f.b  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fprodap0f.bap0  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B #  0 )
Assertion
Ref Expression
fprodap0f  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B #  0 )
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hints:    ph( k)    B( k)

Proof of Theorem fprodap0f
Dummy variables  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 11454 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  prod_ k  e.  w  B  =  prod_ k  e.  (/)  B )
21breq1d 3976 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  ( prod_
k  e.  w  B #  0  <->  prod_ k  e.  (/)  B #  0 ) )
3 prodeq1 11454 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  prod_ k  e.  w  B  = 
prod_ k  e.  y  B )
43breq1d 3976 . 2  |-  ( w  =  y  ->  ( prod_ k  e.  w  B #  0  <->  prod_ k  e.  y  B #  0 ) )
5 prodeq1 11454 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  prod_ k  e.  w  B  =  prod_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
65breq1d 3976 . 2  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( prod_ k  e.  w  B #  0  <->  prod_
k  e.  ( y  u.  { z } ) B #  0 ) )
7 prodeq1 11454 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  prod_ k  e.  w  B  = 
prod_ k  e.  A  B )
87breq1d 3976 . 2  |-  ( w  =  A  ->  ( prod_ k  e.  w  B #  0  <->  prod_ k  e.  A  B #  0 ) )
9 prod0 11486 . . . 4  |-  prod_ k  e.  (/)  B  =  1
10 1ap0 8466 . . . 4  |-  1 #  0
119, 10eqbrtri 3986 . . 3  |-  prod_ k  e.  (/)  B #  0
1211a1i 9 . 2  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  (/)  B #  0 )
13 fprodn0f.kph . . . . . . . . 9  |-  F/ k
ph
14 nfv 1508 . . . . . . . . 9  |-  F/ k  y  e.  Fin
1513, 14nfan 1545 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( ph  /\  y  e.  Fin )
16 nfv 1508 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) )
1715, 16nfan 1545 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )
18 simplr 520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  y  e.  Fin )
19 simplll 523 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  k  e.  y )  ->  ph )
20 simplrl 525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  k  e.  y )  ->  y  C_  A )
21 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  k  e.  y )  ->  k  e.  y )
2220, 21sseldd 3129 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  k  e.  y )  ->  k  e.  A )
23 fprodn0f.b . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
2419, 22, 23syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  k  e.  y )  ->  B  e.  CC )
2517, 18, 24fprodclf 11536 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  prod_ k  e.  y  B  e.  CC )
2625adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  B #  0
)  ->  prod_ k  e.  y  B  e.  CC )
27 simprr 522 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  z  e.  ( A  \  y ) )
2827eldifad 3113 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  z  e.  A
)
2923ex 114 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  B  e.  CC ) )
3013, 29ralrimi 2528 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
3130ad2antrr 480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
32 rspcsbela 3090 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  CC )  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  CC )
3328, 31, 32syl2anc 409 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  CC )
3433adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  B #  0
)  ->  [_ z  / 
k ]_ B  e.  CC )
35 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  B #  0
)  ->  prod_ k  e.  y  B #  0 )
36 fprodap0f.bap0 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B #  0 )
3736ex 114 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  B #  0 ) )
3813, 37ralrimi 2528 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B #  0 )
3938ad2antrr 480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  A. k  e.  A  B #  0 )
40 nfcsb1v 3064 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ B
41 nfcv 2299 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k #
42 nfcv 2299 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
0
4340, 41, 42nfbr 4011 . . . . . . . 8  |-  F/ k
[_ z  /  k ]_ B #  0
44 csbeq1a 3040 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  z  ->  B  =  [_ z  /  k ]_ B )
4544breq1d 3976 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  z  ->  ( B #  0  <->  [_ z  /  k ]_ B #  0 )
)
4643, 45rspc 2810 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B #  0  ->  [_ z  /  k ]_ B #  0 ) )
4728, 39, 46sylc 62 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  [_ z  /  k ]_ B #  0 )
4847adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  B #  0
)  ->  [_ z  / 
k ]_ B #  0 )
4926, 34, 35, 48mulap0d 8533 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  B #  0
)  ->  ( prod_ k  e.  y  B  x.  [_ z  /  k ]_ B ) #  0 )
5027eldifbd 3114 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  -.  z  e.  y )
5117, 40, 18, 27, 50, 24, 44, 33fprodsplitsn 11534 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  prod_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  =  ( prod_ k  e.  y  B  x.  [_ z  /  k ]_ B
) )
5251breq1d 3976 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( prod_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B #  0  <->  ( prod_ k  e.  y  B  x.  [_ z  /  k ]_ B ) #  0 ) )
5352adantr 274 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  B #  0
)  ->  ( prod_ k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B #  0  <->  ( prod_ k  e.  y  B  x.  [_ z  /  k ]_ B ) #  0 ) )
5449, 53mpbird 166 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  prod_ k  e.  y  B #  0
)  ->  prod_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B #  0 )
5554ex 114 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( prod_ k  e.  y  B #  0  ->  prod_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B #  0 ) )
56 fprodn0f.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
572, 4, 6, 8, 12, 55, 56findcard2sd 6838 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B #  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1335   F/wnf 1440    e. wcel 2128   A.wral 2435   [_csb 3031    \ cdif 3099    u. cun 3100    C_ wss 3102   (/)c0 3394   {csn 3560   class class class wbr 3966  (class class class)co 5825   Fincfn 6686   CCcc 7731   0cc0 7733   1c1 7734    x. cmul 7738   # cap 8457   prod_cprod 11451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-mulrcl 7832  ax-addcom 7833  ax-mulcom 7834  ax-addass 7835  ax-mulass 7836  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-1rid 7840  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-precex 7843  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-apti 7848  ax-pre-ltadd 7849  ax-pre-mulgt0 7850  ax-pre-mulext 7851  ax-arch 7852  ax-caucvg 7853
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-po 4257  df-iso 4258  df-iord 4327  df-on 4329  df-ilim 4330  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-isom 5180  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-recs 6253  df-irdg 6318  df-frec 6339  df-1o 6364  df-oadd 6368  df-er 6481  df-en 6687  df-dom 6688  df-fin 6689  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-reap 8451  df-ap 8458  df-div 8547  df-inn 8835  df-2 8893  df-3 8894  df-4 8895  df-n0 9092  df-z 9169  df-uz 9441  df-q 9530  df-rp 9562  df-fz 9914  df-fzo 10046  df-seqfrec 10349  df-exp 10423  df-ihash 10654  df-cj 10746  df-re 10747  df-im 10748  df-rsqrt 10902  df-abs 10903  df-clim 11180  df-proddc 11452
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