Theorem fprodap0f 11801

Description: A finite product of terms apart from zero is apart from zero. A version of fprodap0 11786 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodn0f.kph	|- F/ k ph
fprodn0f.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodn0f.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
fprodap0f.bap0	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B # 0 )

Assertion

Ref	Expression
fprodap0f	|- ( ph -> prod_ k e. A B # 0 )

Distinct variable group:   A, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( k)

Proof of Theorem fprodap0f

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 11718	. . 3 |- ( w = (/) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. (/) B )
2	1	breq1d 4043	. 2 |- ( w = (/) -> ( prod_ k e. w B # 0 <-> prod_ k e. (/) B # 0 ) )
3		prodeq1 11718	. . 3 |- ( w = y -> prod_ k e. w B = prod_ k e. y B )
4	3	breq1d 4043	. 2 |- ( w = y -> ( prod_ k e. w B # 0 <-> prod_ k e. y B # 0 ) )
5		prodeq1 11718	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. ( y u. { z } ) B )
6	5	breq1d 4043	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( prod_ k e. w B # 0 <-> prod_ k e. ( y u. { z } ) B # 0 ) )
7		prodeq1 11718	. . 3 |- ( w = A -> prod_ k e. w B = prod_ k e. A B )
8	7	breq1d 4043	. 2 |- ( w = A -> ( prod_ k e. w B # 0 <-> prod_ k e. A B # 0 ) )
9		prod0 11750	. . . 4 |- prod_ k e. (/) B = 1
10		1ap0 8617	. . . 4 |- 1 # 0
11	9, 10	eqbrtri 4054	. . 3 |- prod_ k e. (/) B # 0
12	11	a1i 9	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. (/) B # 0 )
13		fprodn0f.kph	. . . . . . . . 9 |- F/ k ph
14		nfv 1542	. . . . . . . . 9 |- F/ k y e. Fin
15	13, 14	nfan 1579	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ph /\ y e. Fin )
16		nfv 1542	. . . . . . . 8 |- F/ k ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) )
17	15, 16	nfan 1579	. . . . . . 7 |- F/ k ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) )
18		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
19		simplll 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> ph )
20		simplrl 535	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> y C_ A )
21		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. y )
22	20, 21	sseldd 3184	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. A )
23		fprodn0f.b	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
24	19, 22, 23	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. CC )
25	17, 18, 24	fprodclf 11800	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. y B e. CC )
26	25	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B # 0 ) -> prod_ k e. y B e. CC )
27		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
28	27	eldifad 3168	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. A )
29	23	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. A -> B e. CC ) )
30	13, 29	ralrimi 2568	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
31	30	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> A. k e. A B e. CC )
32		rspcsbela 3144	. . . . . . 7 |- ( ( z e. A /\ A. k e. A B e. CC ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
33	28, 31, 32	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
34	33	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B # 0 ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
35		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B # 0 ) -> prod_ k e. y B # 0 )
36		fprodap0f.bap0	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B # 0 )
37	36	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. A -> B # 0 ) )
38	13, 37	ralrimi 2568	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. A B # 0 )
39	38	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> A. k e. A B # 0 )
40		nfcsb1v 3117	. . . . . . . . 9 |- F/_ k [_ z / k ]_ B
41		nfcv 2339	. . . . . . . . 9 |- F/_ k #
42		nfcv 2339	. . . . . . . . 9 |- F/_ k 0
43	40, 41, 42	nfbr 4079	. . . . . . . 8 |- F/ k [_ z / k ]_ B # 0
44		csbeq1a 3093	. . . . . . . . 9 |- ( k = z -> B = [_ z / k ]_ B )
45	44	breq1d 4043	. . . . . . . 8 |- ( k = z -> ( B # 0 <-> [_ z / k ]_ B # 0 ) )
46	43, 45	rspc 2862	. . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( A. k e. A B # 0 -> [_ z / k ]_ B # 0 ) )
47	28, 39, 46	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ B # 0 )
48	47	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B # 0 ) -> [_ z / k ]_ B # 0 )
49	26, 34, 35, 48	mulap0d 8685	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B # 0 ) -> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) # 0 )
50	27	eldifbd 3169	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
51	17, 40, 18, 27, 50, 24, 44, 33	fprodsplitsn 11798	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) )
52	51	breq1d 4043	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { z } ) B # 0 <-> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) # 0 ) )
53	52	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B # 0 ) -> ( prod_ k e. ( y u. { z } ) B # 0 <-> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) # 0 ) )
54	49, 53	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B # 0 ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B # 0 )
55	54	ex 115	. 2 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. y B # 0 -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B # 0 ) )
56		fprodn0f.a	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
57	2, 4, 6, 8, 12, 55, 56	findcard2sd 6953	1 |- ( ph -> prod_ k e. A B # 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   F/wnf 1474   e. wcel 2167   A.wral 2475   [_csb 3084   \ cdif 3154   u. cun 3155   C_ wss 3157   (/)c0 3450   {csn 3622   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   Fincfn 6799   CCcc 7877   0cc0 7879   1c1 7880   x. cmul 7884   # cap 8608   prod_cprod 11715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-proddc 11716

This theorem is referenced by: (None)