Theorem fprodap0f 11644

Description: A finite product of terms apart from zero is apart from zero. A version of fprodap0 11629 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodn0f.kph	|- F/ k ph
fprodn0f.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodn0f.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
fprodap0f.bap0	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B # 0 )

Assertion

Ref	Expression
fprodap0f	|- ( ph -> prod_ k e. A B # 0 )

Distinct variable group:   A, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( k)

Proof of Theorem fprodap0f

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 11561	. . 3 |- ( w = (/) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. (/) B )
2	1	breq1d 4014	. 2 |- ( w = (/) -> ( prod_ k e. w B # 0 <-> prod_ k e. (/) B # 0 ) )
3		prodeq1 11561	. . 3 |- ( w = y -> prod_ k e. w B = prod_ k e. y B )
4	3	breq1d 4014	. 2 |- ( w = y -> ( prod_ k e. w B # 0 <-> prod_ k e. y B # 0 ) )
5		prodeq1 11561	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. ( y u. { z } ) B )
6	5	breq1d 4014	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( prod_ k e. w B # 0 <-> prod_ k e. ( y u. { z } ) B # 0 ) )
7		prodeq1 11561	. . 3 |- ( w = A -> prod_ k e. w B = prod_ k e. A B )
8	7	breq1d 4014	. 2 |- ( w = A -> ( prod_ k e. w B # 0 <-> prod_ k e. A B # 0 ) )
9		prod0 11593	. . . 4 |- prod_ k e. (/) B = 1
10		1ap0 8547	. . . 4 |- 1 # 0
11	9, 10	eqbrtri 4025	. . 3 |- prod_ k e. (/) B # 0
12	11	a1i 9	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. (/) B # 0 )
13		fprodn0f.kph	. . . . . . . . 9 |- F/ k ph
14		nfv 1528	. . . . . . . . 9 |- F/ k y e. Fin
15	13, 14	nfan 1565	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ph /\ y e. Fin )
16		nfv 1528	. . . . . . . 8 |- F/ k ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) )
17	15, 16	nfan 1565	. . . . . . 7 |- F/ k ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) )
18		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
19		simplll 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> ph )
20		simplrl 535	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> y C_ A )
21		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. y )
22	20, 21	sseldd 3157	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. A )
23		fprodn0f.b	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
24	19, 22, 23	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. CC )
25	17, 18, 24	fprodclf 11643	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. y B e. CC )
26	25	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B # 0 ) -> prod_ k e. y B e. CC )
27		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
28	27	eldifad 3141	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. A )
29	23	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. A -> B e. CC ) )
30	13, 29	ralrimi 2548	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
31	30	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> A. k e. A B e. CC )
32		rspcsbela 3117	. . . . . . 7 |- ( ( z e. A /\ A. k e. A B e. CC ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
33	28, 31, 32	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
34	33	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B # 0 ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
35		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B # 0 ) -> prod_ k e. y B # 0 )
36		fprodap0f.bap0	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B # 0 )
37	36	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. A -> B # 0 ) )
38	13, 37	ralrimi 2548	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. A B # 0 )
39	38	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> A. k e. A B # 0 )
40		nfcsb1v 3091	. . . . . . . . 9 |- F/_ k [_ z / k ]_ B
41		nfcv 2319	. . . . . . . . 9 |- F/_ k #
42		nfcv 2319	. . . . . . . . 9 |- F/_ k 0
43	40, 41, 42	nfbr 4050	. . . . . . . 8 |- F/ k [_ z / k ]_ B # 0
44		csbeq1a 3067	. . . . . . . . 9 |- ( k = z -> B = [_ z / k ]_ B )
45	44	breq1d 4014	. . . . . . . 8 |- ( k = z -> ( B # 0 <-> [_ z / k ]_ B # 0 ) )
46	43, 45	rspc 2836	. . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( A. k e. A B # 0 -> [_ z / k ]_ B # 0 ) )
47	28, 39, 46	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ B # 0 )
48	47	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B # 0 ) -> [_ z / k ]_ B # 0 )
49	26, 34, 35, 48	mulap0d 8615	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B # 0 ) -> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) # 0 )
50	27	eldifbd 3142	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
51	17, 40, 18, 27, 50, 24, 44, 33	fprodsplitsn 11641	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) )
52	51	breq1d 4014	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { z } ) B # 0 <-> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) # 0 ) )
53	52	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B # 0 ) -> ( prod_ k e. ( y u. { z } ) B # 0 <-> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) # 0 ) )
54	49, 53	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B # 0 ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B # 0 )
55	54	ex 115	. 2 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. y B # 0 -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B # 0 ) )
56		fprodn0f.a	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
57	2, 4, 6, 8, 12, 55, 56	findcard2sd 6892	1 |- ( ph -> prod_ k e. A B # 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   F/wnf 1460   e. wcel 2148   A.wral 2455   [_csb 3058   \ cdif 3127   u. cun 3128   C_ wss 3130   (/)c0 3423   {csn 3593   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875   Fincfn 6740   CCcc 7809   0cc0 7811   1c1 7812   x. cmul 7816   # cap 8538   prod_cprod 11558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-ihash 10756  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-proddc 11559

This theorem is referenced by: (None)