Theorem fprodap0f 11779

Description: A finite product of terms apart from zero is apart from zero. A version of fprodap0 11764 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodn0f.kph	|- F/ k ph
fprodn0f.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodn0f.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
fprodap0f.bap0	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B # 0 )

Assertion

Ref	Expression
fprodap0f	|- ( ph -> prod_ k e. A B # 0 )

Distinct variable group:   A, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( k)

Proof of Theorem fprodap0f

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 11696	. . 3 |- ( w = (/) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. (/) B )
2	1	breq1d 4039	. 2 |- ( w = (/) -> ( prod_ k e. w B # 0 <-> prod_ k e. (/) B # 0 ) )
3		prodeq1 11696	. . 3 |- ( w = y -> prod_ k e. w B = prod_ k e. y B )
4	3	breq1d 4039	. 2 |- ( w = y -> ( prod_ k e. w B # 0 <-> prod_ k e. y B # 0 ) )
5		prodeq1 11696	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. ( y u. { z } ) B )
6	5	breq1d 4039	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( prod_ k e. w B # 0 <-> prod_ k e. ( y u. { z } ) B # 0 ) )
7		prodeq1 11696	. . 3 |- ( w = A -> prod_ k e. w B = prod_ k e. A B )
8	7	breq1d 4039	. 2 |- ( w = A -> ( prod_ k e. w B # 0 <-> prod_ k e. A B # 0 ) )
9		prod0 11728	. . . 4 |- prod_ k e. (/) B = 1
10		1ap0 8609	. . . 4 |- 1 # 0
11	9, 10	eqbrtri 4050	. . 3 |- prod_ k e. (/) B # 0
12	11	a1i 9	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. (/) B # 0 )
13		fprodn0f.kph	. . . . . . . . 9 |- F/ k ph
14		nfv 1539	. . . . . . . . 9 |- F/ k y e. Fin
15	13, 14	nfan 1576	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ph /\ y e. Fin )
16		nfv 1539	. . . . . . . 8 |- F/ k ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) )
17	15, 16	nfan 1576	. . . . . . 7 |- F/ k ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) )
18		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
19		simplll 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> ph )
20		simplrl 535	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> y C_ A )
21		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. y )
22	20, 21	sseldd 3180	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. A )
23		fprodn0f.b	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
24	19, 22, 23	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. CC )
25	17, 18, 24	fprodclf 11778	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. y B e. CC )
26	25	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B # 0 ) -> prod_ k e. y B e. CC )
27		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
28	27	eldifad 3164	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. A )
29	23	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. A -> B e. CC ) )
30	13, 29	ralrimi 2565	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
31	30	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> A. k e. A B e. CC )
32		rspcsbela 3140	. . . . . . 7 |- ( ( z e. A /\ A. k e. A B e. CC ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
33	28, 31, 32	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
34	33	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B # 0 ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
35		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B # 0 ) -> prod_ k e. y B # 0 )
36		fprodap0f.bap0	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B # 0 )
37	36	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. A -> B # 0 ) )
38	13, 37	ralrimi 2565	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. A B # 0 )
39	38	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> A. k e. A B # 0 )
40		nfcsb1v 3113	. . . . . . . . 9 |- F/_ k [_ z / k ]_ B
41		nfcv 2336	. . . . . . . . 9 |- F/_ k #
42		nfcv 2336	. . . . . . . . 9 |- F/_ k 0
43	40, 41, 42	nfbr 4075	. . . . . . . 8 |- F/ k [_ z / k ]_ B # 0
44		csbeq1a 3089	. . . . . . . . 9 |- ( k = z -> B = [_ z / k ]_ B )
45	44	breq1d 4039	. . . . . . . 8 |- ( k = z -> ( B # 0 <-> [_ z / k ]_ B # 0 ) )
46	43, 45	rspc 2858	. . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( A. k e. A B # 0 -> [_ z / k ]_ B # 0 ) )
47	28, 39, 46	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ B # 0 )
48	47	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B # 0 ) -> [_ z / k ]_ B # 0 )
49	26, 34, 35, 48	mulap0d 8677	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B # 0 ) -> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) # 0 )
50	27	eldifbd 3165	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
51	17, 40, 18, 27, 50, 24, 44, 33	fprodsplitsn 11776	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) )
52	51	breq1d 4039	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { z } ) B # 0 <-> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) # 0 ) )
53	52	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B # 0 ) -> ( prod_ k e. ( y u. { z } ) B # 0 <-> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) # 0 ) )
54	49, 53	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B # 0 ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B # 0 )
55	54	ex 115	. 2 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. y B # 0 -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B # 0 ) )
56		fprodn0f.a	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
57	2, 4, 6, 8, 12, 55, 56	findcard2sd 6948	1 |- ( ph -> prod_ k e. A B # 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   F/wnf 1471   e. wcel 2164   A.wral 2472   [_csb 3080   \ cdif 3150   u. cun 3151   C_ wss 3153   (/)c0 3446   {csn 3618   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918   Fincfn 6794   CCcc 7870   0cc0 7872   1c1 7873   x. cmul 7877   # cap 8600   prod_cprod 11693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-ihash 10847  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-proddc 11694

This theorem is referenced by: (None)