Theorem lgseisenlem1 14453

Description: Lemma for Eisenstein's lemma. If R ( u ) = ( Q x. u ) mod P and M ( u ) = ( -u 1 ^ R ( u ) ) x. R ( u ), then for any even 1 <_ u <_ P - 1, M ( u ) is also an even integer 1 <_ M ( u ) <_ P - 1. To simplify these statements, we divide all the even numbers by 2, so that it becomes the statement that M ( x / 2 ) = ( -u 1 ^ R ( x / 2 ) ) x. R ( x / 2 ) / 2 is an integer between 1 and ( P - 1 ) / 2. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgseisen.1	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.2	|- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.3	|- ( ph -> P =/= Q )
lgseisen.4	|- R = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P )
lgseisen.5	|- M = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
lgseisenlem1	|- ( ph -> M : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )

Distinct variable groups:   x, P   ph, x   x, Q

Allowed substitution hints:   R( x)   M( x)

Proof of Theorem lgseisenlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9280	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 1 e. ZZ )
2		lgseisen.1	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
3	2	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
4		oddprm 12259	. . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
5	3, 4	syl 14	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
6	5	nnzd 9374	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
7		neg1cn 9024	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u 1 e. CC
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( R / 2 ) e. ZZ ) -> -u 1 e. CC )
9		neg1ap0 9028	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u 1 # 0
10	9	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( R / 2 ) e. ZZ ) -> -u 1 # 0 )
11		2z 9281	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. ZZ
12	11	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( R / 2 ) e. ZZ ) -> 2 e. ZZ )
13		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( R / 2 ) e. ZZ ) -> ( R / 2 ) e. ZZ )
14		expmulzap 10566	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -u 1 e. CC /\ -u 1 # 0 ) /\ ( 2 e. ZZ /\ ( R / 2 ) e. ZZ ) ) -> ( -u 1 ^ ( 2 x. ( R / 2 ) ) ) = ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( R / 2 ) ) )
15	8, 10, 12, 13, 14	syl22anc 1239	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( R / 2 ) e. ZZ ) -> ( -u 1 ^ ( 2 x. ( R / 2 ) ) ) = ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( R / 2 ) ) )
16		lgseisen.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- R = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P )
17		lgseisen.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
18	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
19	18	eldifad 3141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> Q e. Prime )
20		prmz 12111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( Q e. Prime -> Q e. ZZ )
21	19, 20	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> Q e. ZZ )
22		elfzelz 10025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> x e. ZZ )
23	22	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> x e. ZZ )
24		zmulcl 9306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 2 e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( 2 x. x ) e. ZZ )
25	11, 23, 24	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. ZZ )
26	21, 25	zmulcld 9381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. ZZ )
27	3	eldifad 3141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. Prime )
28		prmnn 12110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
29	27, 28	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. NN )
30		zmodfz 10346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) e. ( 0 ... ( P - 1 ) ) )
31	26, 29, 30	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) e. ( 0 ... ( P - 1 ) ) )
32	16, 31	eqeltrid 2264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> R e. ( 0 ... ( P - 1 ) ) )
33		elfznn0 10114	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( R e. ( 0 ... ( P - 1 ) ) -> R e. NN0 )
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> R e. NN0 )
35	34	nn0zd 9373	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> R e. ZZ )
36	35	zcnd 9376	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> R e. CC )
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( R / 2 ) e. ZZ ) -> R e. CC )
38		2cnd 8992	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( R / 2 ) e. ZZ ) -> 2 e. CC )
39		2ap0 9012	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 # 0
40	39	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( R / 2 ) e. ZZ ) -> 2 # 0 )
41	37, 38, 40	divcanap2d 8749	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( R / 2 ) e. ZZ ) -> ( 2 x. ( R / 2 ) ) = R )
42	41	oveq2d 5891	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( R / 2 ) e. ZZ ) -> ( -u 1 ^ ( 2 x. ( R / 2 ) ) ) = ( -u 1 ^ R ) )
43		neg1sqe1 10615	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -u 1 ^ 2 ) = 1
44	43	oveq1i 5885	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( R / 2 ) ) = ( 1 ^ ( R / 2 ) )
45		1exp 10549	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R / 2 ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( R / 2 ) ) = 1 )
46	45	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( R / 2 ) e. ZZ ) -> ( 1 ^ ( R / 2 ) ) = 1 )
47	44, 46	eqtrid 2222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( R / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( R / 2 ) ) = 1 )
48	15, 42, 47	3eqtr3d 2218	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( R / 2 ) e. ZZ ) -> ( -u 1 ^ R ) = 1 )
49	48	oveq1d 5890	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( R / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) = ( 1 x. R ) )
50	37	mullidd 7975	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( R / 2 ) e. ZZ ) -> ( 1 x. R ) = R )
51	49, 50	eqtrd 2210	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( R / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) = R )
52	51	oveq1d 5890	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( R / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) = ( R mod P ) )
53		zq 9626	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. ZZ -> R e. QQ )
54	35, 53	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> R e. QQ )
55		nnq 9633	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. NN -> P e. QQ )
56	29, 55	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. QQ )
57	34	nn0ge0d 9232	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 0 <_ R )
58		zq 9626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. ZZ -> ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. QQ )
59	26, 58	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. QQ )
60	29	nngt0d 8963	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 0 < P )
61		modqlt 10333	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. QQ /\ P e. QQ /\ 0 < P ) -> ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) < P )
62	59, 56, 60, 61	syl3anc 1238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) < P )
63	16, 62	eqbrtrid 4039	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> R < P )
64		modqid 10349	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. QQ /\ P e. QQ ) /\ ( 0 <_ R /\ R < P ) ) -> ( R mod P ) = R )
65	54, 56, 57, 63, 64	syl22anc 1239	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( R mod P ) = R )
66	65	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( R / 2 ) e. ZZ ) -> ( R mod P ) = R )
67	52, 66	eqtrd 2210	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( R / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) = R )
68	67	oveq1d 5890	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( R / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) = ( R / 2 ) )
69	68, 13	eqeltrd 2254	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( R / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) e. ZZ )
70	29	nncnd 8933	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. CC )
71	70	mullidd 7975	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 1 x. P ) = P )
72	71	oveq2d 5891	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u R + ( 1 x. P ) ) = ( -u R + P ) )
73	34	nn0red 9230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> R e. RR )
74	73	renegcld 8337	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> -u R e. RR )
75	74	recnd 7986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> -u R e. CC )
76	70, 75	addcomd 8108	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( P + -u R ) = ( -u R + P ) )
77	70, 36	negsubd 8274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( P + -u R ) = ( P - R ) )
78	72, 76, 77	3eqtr2d 2216	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u R + ( 1 x. P ) ) = ( P - R ) )
79	78	oveq1d 5890	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( -u R + ( 1 x. P ) ) mod P ) = ( ( P - R ) mod P ) )
80		qnegcl 9636	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. QQ -> -u R e. QQ )
81	54, 80	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> -u R e. QQ )
82		modqcyc 10359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -u R e. QQ /\ 1 e. ZZ ) /\ ( P e. QQ /\ 0 < P ) ) -> ( ( -u R + ( 1 x. P ) ) mod P ) = ( -u R mod P ) )
83	81, 1, 56, 60, 82	syl22anc 1239	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( -u R + ( 1 x. P ) ) mod P ) = ( -u R mod P ) )
84		qsubcl 9638	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. QQ /\ R e. QQ ) -> ( P - R ) e. QQ )
85	56, 54, 84	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( P - R ) e. QQ )
86	29	nnred 8932	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. RR )
87	73, 86, 63	ltled 8076	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> R <_ P )
88	86, 73	subge0d 8492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 0 <_ ( P - R ) <-> R <_ P ) )
89	87, 88	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 0 <_ ( P - R ) )
90		2nn 9080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 2 e. NN
91		elfznn 10054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> x e. NN )
92	91	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> x e. NN )
93		nnmulcl 8940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 2 e. NN /\ x e. NN ) -> ( 2 x. x ) e. NN )
94	90, 92, 93	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. NN )
95		elfzle2 10028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> x <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
96	95	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> x <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
97	92	nnred 8932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> x e. RR )
98		prmuz2 12131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
99		uz2m1nn 9605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( P - 1 ) e. NN )
100	27, 98, 99	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( P - 1 ) e. NN )
101	100	nnred 8932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( P - 1 ) e. RR )
102		2re 8989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 2 e. RR
103	102	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 2 e. RR )
104		2pos 9010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 0 < 2
105	104	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 0 < 2 )
106		lemuldiv2 8839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( x e. RR /\ ( P - 1 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 2 x. x ) <_ ( P - 1 ) <-> x <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
107	97, 101, 103, 105, 106	syl112anc 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) <_ ( P - 1 ) <-> x <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
108	96, 107	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) <_ ( P - 1 ) )
109		prmz 12111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
110	27, 109	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P e. ZZ )
111		peano2zm 9291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. ZZ -> ( P - 1 ) e. ZZ )
112		fznn 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( P - 1 ) e. ZZ -> ( ( 2 x. x ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) <-> ( ( 2 x. x ) e. NN /\ ( 2 x. x ) <_ ( P - 1 ) ) ) )
113	110, 111, 112	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) <-> ( ( 2 x. x ) e. NN /\ ( 2 x. x ) <_ ( P - 1 ) ) ) )
114	94, 108, 113	mpbir2and 944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) )
115		fzm1ndvds 11862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( P e. NN /\ ( 2 x. x ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> -. P || ( 2 x. x ) )
116	29, 114, 115	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> -. P || ( 2 x. x ) )
117		lgseisen.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> P =/= Q )
118	117	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> P =/= Q )
119		prmrp 12145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( P e. Prime /\ Q e. Prime ) -> ( ( P gcd Q ) = 1 <-> P =/= Q ) )
120	27, 19, 119	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( P gcd Q ) = 1 <-> P =/= Q ) )
121	118, 120	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( P gcd Q ) = 1 )
122		coprmdvds 12092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( P e. ZZ /\ Q e. ZZ /\ ( 2 x. x ) e. ZZ ) -> ( ( P || ( Q x. ( 2 x. x ) ) /\ ( P gcd Q ) = 1 ) -> P || ( 2 x. x ) ) )
123	110, 21, 25, 122	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( P || ( Q x. ( 2 x. x ) ) /\ ( P gcd Q ) = 1 ) -> P || ( 2 x. x ) ) )
124	121, 123	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( P || ( Q x. ( 2 x. x ) ) -> P || ( 2 x. x ) ) )
125	116, 124	mtod 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> -. P || ( Q x. ( 2 x. x ) ) )
126		dvdsval3 11798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P e. NN /\ ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. ZZ ) -> ( P || ( Q x. ( 2 x. x ) ) <-> ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) = 0 ) )
127	29, 26, 126	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( P || ( Q x. ( 2 x. x ) ) <-> ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) = 0 ) )
128	125, 127	mtbid 672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> -. ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) = 0 )
129	16	eqeq1i 2185	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( R = 0 <-> ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) = 0 )
130	128, 129	sylnibr 677	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> -. R = 0 )
131	100	nnnn0d 9229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( P - 1 ) e. NN0 )
132		nn0uz 9562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
133	131, 132	eleqtrdi 2270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( P - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
134		elfzp12 10099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( R e. ( 0 ... ( P - 1 ) ) <-> ( R = 0 \/ R e. ( ( 0 + 1 ) ... ( P - 1 ) ) ) ) )
135	133, 134	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( R e. ( 0 ... ( P - 1 ) ) <-> ( R = 0 \/ R e. ( ( 0 + 1 ) ... ( P - 1 ) ) ) ) )
136	32, 135	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( R = 0 \/ R e. ( ( 0 + 1 ) ... ( P - 1 ) ) ) )
137	136	ord 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -. R = 0 -> R e. ( ( 0 + 1 ) ... ( P - 1 ) ) ) )
138	130, 137	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> R e. ( ( 0 + 1 ) ... ( P - 1 ) ) )
139		1e0p1 9425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 = ( 0 + 1 )
140	139	oveq1i 5885	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 ... ( P - 1 ) ) = ( ( 0 + 1 ) ... ( P - 1 ) )
141	138, 140	eleqtrrdi 2271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> R e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) )
142		elfznn 10054	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) -> R e. NN )
143	141, 142	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> R e. NN )
144	143	nnrpd 9694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> R e. RR+ )
145	86, 144	ltsubrpd 9729	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( P - R ) < P )
146		modqid 10349	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P - R ) e. QQ /\ P e. QQ ) /\ ( 0 <_ ( P - R ) /\ ( P - R ) < P ) ) -> ( ( P - R ) mod P ) = ( P - R ) )
147	85, 56, 89, 145, 146	syl22anc 1239	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( P - R ) mod P ) = ( P - R ) )
148	79, 83, 147	3eqtr3d 2218	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u R mod P ) = ( P - R ) )
149	148	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( -u R mod P ) = ( P - R ) )
150		ax-1cn 7904	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
151	150	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> 1 e. CC )
152	143	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> R e. NN )
153		2ne0 9011	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 =/= 0
154	35	peano2zd 9378	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( R + 1 ) e. ZZ )
155		dvdsval2 11797	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 2 =/= 0 /\ ( R + 1 ) e. ZZ ) -> ( 2 || ( R + 1 ) <-> ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
156	11, 153, 154, 155	mp3an12i 1341	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 || ( R + 1 ) <-> ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
157	156	biimpar 297	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> 2 || ( R + 1 ) )
158	35	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> R e. ZZ )
159	90	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> 2 e. NN )
160		1lt2 9088	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 < 2
161	160	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> 1 < 2 )
162		ndvdsp1 11937	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. ZZ /\ 2 e. NN /\ 1 < 2 ) -> ( 2 || R -> -. 2 || ( R + 1 ) ) )
163	158, 159, 161, 162	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( 2 || R -> -. 2 || ( R + 1 ) ) )
164	157, 163	mt2d 625	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> -. 2 || R )
165		oexpneg 11882	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. CC /\ R e. NN /\ -. 2 || R ) -> ( -u 1 ^ R ) = -u ( 1 ^ R ) )
166	151, 152, 164, 165	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( -u 1 ^ R ) = -u ( 1 ^ R ) )
167		1exp 10549	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. ZZ -> ( 1 ^ R ) = 1 )
168	158, 167	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( 1 ^ R ) = 1 )
169	168	negeqd 8152	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> -u ( 1 ^ R ) = -u 1 )
170	166, 169	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( -u 1 ^ R ) = -u 1 )
171	170	oveq1d 5890	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) = ( -u 1 x. R ) )
172	36	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> R e. CC )
173	172	mulm1d 8367	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( -u 1 x. R ) = -u R )
174	171, 173	eqtrd 2210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) = -u R )
175	174	oveq1d 5890	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) = ( -u R mod P ) )
176	70	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> P e. CC )
177	176, 172, 151	pnpcan2d 8306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( P + 1 ) - ( R + 1 ) ) = ( P - R ) )
178	149, 175, 177	3eqtr4d 2220	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) = ( ( P + 1 ) - ( R + 1 ) ) )
179	178	oveq1d 5890	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) = ( ( ( P + 1 ) - ( R + 1 ) ) / 2 ) )
180		peano2cn 8092	. . . . . . . 8 |- ( P e. CC -> ( P + 1 ) e. CC )
181	176, 180	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( P + 1 ) e. CC )
182		peano2cn 8092	. . . . . . . 8 |- ( R e. CC -> ( R + 1 ) e. CC )
183	172, 182	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( R + 1 ) e. CC )
184		2cnd 8992	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> 2 e. CC )
185	39	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> 2 # 0 )
186	181, 183, 184, 185	divsubdirapd 8787	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( P + 1 ) - ( R + 1 ) ) / 2 ) = ( ( ( P + 1 ) / 2 ) - ( ( R + 1 ) / 2 ) ) )
187	179, 186	eqtrd 2210	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) = ( ( ( P + 1 ) / 2 ) - ( ( R + 1 ) / 2 ) ) )
188	176, 151, 184	subadd23d 8290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( P - 1 ) + 2 ) = ( P + ( 2 - 1 ) ) )
189		2m1e1 9037	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 - 1 ) = 1
190	189	oveq2i 5886	. . . . . . . . . 10 |- ( P + ( 2 - 1 ) ) = ( P + 1 )
191	188, 190	eqtr2di 2227	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( P + 1 ) = ( ( P - 1 ) + 2 ) )
192	191	oveq1d 5890	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( P + 1 ) / 2 ) = ( ( ( P - 1 ) + 2 ) / 2 ) )
193	100	nncnd 8933	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( P - 1 ) e. CC )
194	193	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( P - 1 ) e. CC )
195	194, 184, 184, 185	divdirapd 8786	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( P - 1 ) + 2 ) / 2 ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) + ( 2 / 2 ) ) )
196		2div2e1 9051	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 / 2 ) = 1
197	196	oveq2i 5886	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( P - 1 ) / 2 ) + ( 2 / 2 ) ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) + 1 )
198	195, 197	eqtrdi 2226	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( P - 1 ) + 2 ) / 2 ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) + 1 ) )
199	192, 198	eqtrd 2210	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( P + 1 ) / 2 ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) + 1 ) )
200	6	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
201	200	peano2zd 9378	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) + 1 ) e. ZZ )
202	199, 201	eqeltrd 2254	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( P + 1 ) / 2 ) e. ZZ )
203		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ )
204	202, 203	zsubcld 9380	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( P + 1 ) / 2 ) - ( ( R + 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
205	187, 204	eqeltrd 2254	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) e. ZZ )
206		zeo 9358	. . . . 5 |- ( R e. ZZ -> ( ( R / 2 ) e. ZZ \/ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
207	35, 206	syl 14	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( R / 2 ) e. ZZ \/ ( ( R + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
208	69, 205, 207	mpjaodan 798	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) e. ZZ )
209		m1expcl 10543	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. ZZ -> ( -u 1 ^ R ) e. ZZ )
210	35, 209	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u 1 ^ R ) e. ZZ )
211	210, 35	zmulcld 9381	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) e. ZZ )
212	211, 29	zmodcld 10345	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) e. NN0 )
213	212	nn0red 9230	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) e. RR )
214		fzm1ndvds 11862	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. NN /\ R e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> -. P || R )
215	29, 141, 214	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> -. P || R )
216		1ap0 8547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 # 0
217		divneg2ap 8693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 e. CC /\ 1 e. CC /\ 1 # 0 ) -> -u ( 1 / 1 ) = ( 1 / -u 1 ) )
218	150, 150, 216, 217	mp3an 1337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -u ( 1 / 1 ) = ( 1 / -u 1 )
219		1div1e1 8661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 / 1 ) = 1
220	219	negeqi 8151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -u ( 1 / 1 ) = -u 1
221	218, 220	eqtr3i 2200	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 / -u 1 ) = -u 1
222	221	oveq1i 5885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 / -u 1 ) ^ R ) = ( -u 1 ^ R )
223	7	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> -u 1 e. CC )
224	9	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> -u 1 # 0 )
225	223, 224, 35	exprecapd 10662	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( 1 / -u 1 ) ^ R ) = ( 1 / ( -u 1 ^ R ) ) )
226	222, 225	eqtr3id 2224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u 1 ^ R ) = ( 1 / ( -u 1 ^ R ) ) )
227	226	oveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. ( -u 1 ^ R ) ) = ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 1 / ( -u 1 ^ R ) ) ) )
228	210	zcnd 9376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u 1 ^ R ) e. CC )
229	223, 224, 35	expap0d 10660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( -u 1 ^ R ) # 0 )
230	228, 229	recidapd 8740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 1 / ( -u 1 ^ R ) ) ) = 1 )
231	227, 230	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. ( -u 1 ^ R ) ) = 1 )
232	231	oveq1d 5890	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. ( -u 1 ^ R ) ) x. R ) = ( 1 x. R ) )
233	228, 228, 36	mulassd 7981	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. ( -u 1 ^ R ) ) x. R ) = ( ( -u 1 ^ R ) x. ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) ) )
234	36	mullidd 7975	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 1 x. R ) = R )
235	232, 233, 234	3eqtr3d 2218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) ) = R )
236	235	breq2d 4016	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( P || ( ( -u 1 ^ R ) x. ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) ) <-> P || R ) )
237	215, 236	mtbird 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> -. P || ( ( -u 1 ^ R ) x. ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) ) )
238		dvdsmultr2 11840	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ZZ /\ ( -u 1 ^ R ) e. ZZ /\ ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) e. ZZ ) -> ( P || ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) -> P || ( ( -u 1 ^ R ) x. ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) ) ) )
239	110, 210, 211, 238	syl3anc 1238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( P || ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) -> P || ( ( -u 1 ^ R ) x. ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) ) ) )
240	237, 239	mtod 663	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> -. P || ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) )
241		dvdsval3 11798	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. NN /\ ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) e. ZZ ) -> ( P || ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) <-> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) = 0 ) )
242	29, 211, 241	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( P || ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) <-> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) = 0 ) )
243	240, 242	mtbid 672	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> -. ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) = 0 )
244		elnn0 9178	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) e. NN0 <-> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) e. NN \/ ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) = 0 ) )
245	212, 244	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) e. NN \/ ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) = 0 ) )
246	243, 245	ecased 1349	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) e. NN )
247	246	nngt0d 8963	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 0 < ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) )
248	213, 103, 247, 105	divgt0d 8892	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 0 < ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) )
249		elnnz 9263	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) e. NN <-> ( ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) e. ZZ /\ 0 < ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) )
250	208, 248, 249	sylanbrc 417	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) e. NN )
251	250	nnge1d 8962	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 1 <_ ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) )
252		zmodfz 10346	. . . . . 6 |- ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) e. ( 0 ... ( P - 1 ) ) )
253	211, 29, 252	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) e. ( 0 ... ( P - 1 ) ) )
254		elfzle2 10028	. . . . 5 |- ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) e. ( 0 ... ( P - 1 ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) <_ ( P - 1 ) )
255	253, 254	syl 14	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) <_ ( P - 1 ) )
256		lediv1 8826	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) e. RR /\ ( P - 1 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) <_ ( P - 1 ) <-> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
257	213, 101, 103, 105, 256	syl112anc 1242	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) <_ ( P - 1 ) <-> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
258	255, 257	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
259	1, 6, 208, 251, 258	elfzd 10016	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
260		lgseisen.5	. 2 |- M = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) )
261	259, 260	fmptd 5671	1 |- ( ph -> M : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   \ cdif 3127   {csn 3593   class class class wbr 4004   |-> cmpt 4065   -->wf 5213   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   CCcc 7809   RRcr 7810   0cc0 7811   1c1 7812   + caddc 7814   x. cmul 7816   < clt 7992   <_ cle 7993   - cmin 8128   -ucneg 8129   # cap 8538   / cdiv 8629   NNcn 8919   2c2 8970   NN0cn0 9176   ZZcz 9253   ZZ>=cuz 9528   QQcq 9619   ...cfz 10008   mod cmo 10322   ^cexp 10519   || cdvds 11794   gcd cgcd 11943   Primecprime 12107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-1o 6417  df-2o 6418  df-er 6535  df-en 6741  df-sup 6983  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-fl 10270  df-mod 10323  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-dvds 11795  df-gcd 11944  df-prm 12108

This theorem is referenced by:  lgseisenlem2  14454