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Theorem hashunlem 10045
Description: Lemma for hashun 10046. Ordinal size of the union. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
hashunlem.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
hashunlem.b  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
hashunlem.disj  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
hashunlem.n  |-  ( ph  ->  N  e.  om )
hashunlem.m  |-  ( ph  ->  M  e.  om )
hashunlem.an  |-  ( ph  ->  A  ~~  N )
hashunlem.bm  |-  ( ph  ->  B  ~~  M )
Assertion
Ref Expression
hashunlem  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  ~~  ( N  +o  M ) )

Proof of Theorem hashunlem
Dummy variables  j  w  k  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 3814 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
~~  j  <->  (/)  ~~  j
) )
2 uneq2 3132 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A  u.  w )  =  ( A  u.  (/) ) )
32breq1d 3821 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( A  u.  w ) 
~~  ( N  +o  j )  <->  ( A  u.  (/) )  ~~  ( N  +o  j ) ) )
41, 3anbi12d 457 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w  ~~  j  /\  ( A  u.  w
)  ~~  ( N  +o  j ) )  <->  ( (/)  ~~  j  /\  ( A  u.  (/) )  ~~  ( N  +o  j
) ) ) )
54rexbidv 2375 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( E. j  e.  om  (
w  ~~  j  /\  ( A  u.  w
)  ~~  ( N  +o  j ) )  <->  E. j  e.  om  ( (/)  ~~  j  /\  ( A  u.  (/) )  ~~  ( N  +o  j
) ) ) )
6 breq1 3814 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
w  ~~  j  <->  y  ~~  j ) )
7 uneq2 3132 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  ( A  u.  w )  =  ( A  u.  y ) )
87breq1d 3821 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
( A  u.  w
)  ~~  ( N  +o  j )  <->  ( A  u.  y )  ~~  ( N  +o  j ) ) )
96, 8anbi12d 457 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  (
( w  ~~  j  /\  ( A  u.  w
)  ~~  ( N  +o  j ) )  <->  ( y  ~~  j  /\  ( A  u.  y )  ~~  ( N  +o  j
) ) ) )
109rexbidv 2375 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  ( E. j  e.  om  ( w  ~~  j  /\  ( A  u.  w
)  ~~  ( N  +o  j ) )  <->  E. j  e.  om  ( y  ~~  j  /\  ( A  u.  y )  ~~  ( N  +o  j ) ) ) )
11 breq1 3814 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( w  ~~  j 
<->  ( y  u.  {
z } )  ~~  j ) )
12 uneq2 3132 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A  u.  w )  =  ( A  u.  ( y  u.  { z } ) ) )
1312breq1d 3821 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( A  u.  w )  ~~  ( N  +o  j
)  <->  ( A  u.  ( y  u.  {
z } ) ) 
~~  ( N  +o  j ) ) )
1411, 13anbi12d 457 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( w 
~~  j  /\  ( A  u.  w )  ~~  ( N  +o  j
) )  <->  ( (
y  u.  { z } )  ~~  j  /\  ( A  u.  (
y  u.  { z } ) )  ~~  ( N  +o  j
) ) ) )
1514rexbidv 2375 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( E. j  e.  om  ( w  ~~  j  /\  ( A  u.  w )  ~~  ( N  +o  j ) )  <->  E. j  e.  om  ( ( y  u. 
{ z } ) 
~~  j  /\  ( A  u.  ( y  u.  { z } ) )  ~~  ( N  +o  j ) ) ) )
16 breq1 3814 . . . . 5  |-  ( w  =  B  ->  (
w  ~~  j  <->  B  ~~  j ) )
17 uneq2 3132 . . . . . 6  |-  ( w  =  B  ->  ( A  u.  w )  =  ( A  u.  B ) )
1817breq1d 3821 . . . . 5  |-  ( w  =  B  ->  (
( A  u.  w
)  ~~  ( N  +o  j )  <->  ( A  u.  B )  ~~  ( N  +o  j ) ) )
1916, 18anbi12d 457 . . . 4  |-  ( w  =  B  ->  (
( w  ~~  j  /\  ( A  u.  w
)  ~~  ( N  +o  j ) )  <->  ( B  ~~  j  /\  ( A  u.  B )  ~~  ( N  +o  j
) ) ) )
2019rexbidv 2375 . . 3  |-  ( w  =  B  ->  ( E. j  e.  om  ( w  ~~  j  /\  ( A  u.  w
)  ~~  ( N  +o  j ) )  <->  E. j  e.  om  ( B  ~~  j  /\  ( A  u.  B )  ~~  ( N  +o  j ) ) ) )
21 peano1 4371 . . . . 5  |-  (/)  e.  om
2221a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  om )
23 0ex 3931 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
2423enref 6410 . . . . 5  |-  (/)  ~~  (/)
2524a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  -> 
(/)  ~~  (/) )
26 hashunlem.an . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  ~~  N )
27 un0 3299 . . . . . 6  |-  ( A  u.  (/) )  =  A
2827a1i 9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  u.  (/) )  =  A )
29 hashunlem.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  om )
30 nna0 6165 . . . . . 6  |-  ( N  e.  om  ->  ( N  +o  (/) )  =  N )
3129, 30syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  +o  (/) )  =  N )
3226, 28, 313brtr4d 3841 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  u.  (/) )  ~~  ( N  +o  (/) ) )
33 breq2 3815 . . . . . 6  |-  ( j  =  (/)  ->  ( (/)  ~~  j  <->  (/)  ~~  (/) ) )
34 oveq2 5597 . . . . . . 7  |-  ( j  =  (/)  ->  ( N  +o  j )  =  ( N  +o  (/) ) )
3534breq2d 3823 . . . . . 6  |-  ( j  =  (/)  ->  ( ( A  u.  (/) )  ~~  ( N  +o  j
)  <->  ( A  u.  (/) )  ~~  ( N  +o  (/) ) ) )
3633, 35anbi12d 457 . . . . 5  |-  ( j  =  (/)  ->  ( (
(/)  ~~  j  /\  ( A  u.  (/) )  ~~  ( N  +o  j
) )  <->  ( (/)  ~~  (/)  /\  ( A  u.  (/) )  ~~  ( N  +o  (/) ) ) ) )
3736rspcev 2712 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  om  /\  ( (/)  ~~  (/)  /\  ( A  u.  (/) )  ~~  ( N  +o  (/) ) ) )  ->  E. j  e.  om  ( (/)  ~~  j  /\  ( A  u.  (/) )  ~~  ( N  +o  j
) ) )
3822, 25, 32, 37syl12anc 1168 . . 3  |-  ( ph  ->  E. j  e.  om  ( (/)  ~~  j  /\  ( A  u.  (/) )  ~~  ( N  +o  j
) ) )
39 peano2 4372 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  om  ->  suc  j  e.  om )
4039ad2antlr 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  j  e. 
om )  /\  (
y  ~~  j  /\  ( A  u.  y
)  ~~  ( N  +o  j ) ) )  ->  suc  j  e.  om )
41 simp-4r 509 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  j  e. 
om )  /\  (
y  ~~  j  /\  ( A  u.  y
)  ~~  ( N  +o  j ) ) )  ->  y  e.  Fin )
42 vex 2615 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
4342a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  j  e. 
om )  /\  (
y  ~~  j  /\  ( A  u.  y
)  ~~  ( N  +o  j ) ) )  ->  z  e.  _V )
44 simprr 499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  ->  z  e.  ( B  \  y ) )
4544ad2antrr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  j  e. 
om )  /\  (
y  ~~  j  /\  ( A  u.  y
)  ~~  ( N  +o  j ) ) )  ->  z  e.  ( B  \  y ) )
4645eldifbd 2996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  j  e. 
om )  /\  (
y  ~~  j  /\  ( A  u.  y
)  ~~  ( N  +o  j ) ) )  ->  -.  z  e.  y )
4743, 46eldifd 2994 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  j  e. 
om )  /\  (
y  ~~  j  /\  ( A  u.  y
)  ~~  ( N  +o  j ) ) )  ->  z  e.  ( _V  \  y ) )
48 simplr 497 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  j  e. 
om )  /\  (
y  ~~  j  /\  ( A  u.  y
)  ~~  ( N  +o  j ) ) )  ->  j  e.  om )
49 simprl 498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  j  e. 
om )  /\  (
y  ~~  j  /\  ( A  u.  y
)  ~~  ( N  +o  j ) ) )  ->  y  ~~  j
)
50 fiunsnnn 6525 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  z  e.  ( _V 
\  y ) )  /\  ( j  e. 
om  /\  y  ~~  j ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  ~~  suc  j )
5141, 47, 48, 49, 50syl22anc 1171 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  j  e. 
om )  /\  (
y  ~~  j  /\  ( A  u.  y
)  ~~  ( N  +o  j ) ) )  ->  ( y  u. 
{ z } ) 
~~  suc  j )
52 hashunlem.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
5352ad4antr 478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  j  e. 
om )  /\  (
y  ~~  j  /\  ( A  u.  y
)  ~~  ( N  +o  j ) ) )  ->  A  e.  Fin )
54 simprl 498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  ->  y  C_  B
)
5554ad2antrr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  j  e. 
om )  /\  (
y  ~~  j  /\  ( A  u.  y
)  ~~  ( N  +o  j ) ) )  ->  y  C_  B
)
56 hashunlem.disj . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
5756ad4antr 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  j  e. 
om )  /\  (
y  ~~  j  /\  ( A  u.  y
)  ~~  ( N  +o  j ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
58 incom 3176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  i^i  A )  =  ( A  i^i  y
)
59 incom 3176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  i^i  B )  =  ( B  i^i  A
)
6059eqeq1i 2090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  <->  ( B  i^i  A )  =  (/) )
61 ssdisj 3321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  C_  B  /\  ( B  i^i  A )  =  (/) )  ->  (
y  i^i  A )  =  (/) )
6260, 61sylan2b 281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  C_  B  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  (
y  i^i  A )  =  (/) )
6358, 62syl5eqr 2129 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  C_  B  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  i^i  y )  =  (/) )
6455, 57, 63syl2anc 403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  j  e. 
om )  /\  (
y  ~~  j  /\  ( A  u.  y
)  ~~  ( N  +o  j ) ) )  ->  ( A  i^i  y )  =  (/) )
65 unfidisj 6557 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  y  e.  Fin  /\  ( A  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( A  u.  y )  e. 
Fin )
6653, 41, 64, 65syl3anc 1170 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  j  e. 
om )  /\  (
y  ~~  j  /\  ( A  u.  y
)  ~~  ( N  +o  j ) ) )  ->  ( A  u.  y )  e.  Fin )
6745eldifad 2995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  j  e. 
om )  /\  (
y  ~~  j  /\  ( A  u.  y
)  ~~  ( N  +o  j ) ) )  ->  z  e.  B
)
68 minel 3326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  B  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  -.  z  e.  A )
6967, 57, 68syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  j  e. 
om )  /\  (
y  ~~  j  /\  ( A  u.  y
)  ~~  ( N  +o  j ) ) )  ->  -.  z  e.  A )
70 ioran 702 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( z  e.  A  \/  z  e.  y
)  <->  ( -.  z  e.  A  /\  -.  z  e.  y ) )
71 elun 3125 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( A  u.  y )  <->  ( z  e.  A  \/  z  e.  y ) )
7270, 71xchnxbir 639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  z  e.  ( A  u.  y )  <->  ( -.  z  e.  A  /\  -.  z  e.  y
) )
7369, 46, 72sylanbrc 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  j  e. 
om )  /\  (
y  ~~  j  /\  ( A  u.  y
)  ~~  ( N  +o  j ) ) )  ->  -.  z  e.  ( A  u.  y
) )
7443, 73eldifd 2994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  j  e. 
om )  /\  (
y  ~~  j  /\  ( A  u.  y
)  ~~  ( N  +o  j ) ) )  ->  z  e.  ( _V  \  ( A  u.  y ) ) )
7529ad4antr 478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  j  e. 
om )  /\  (
y  ~~  j  /\  ( A  u.  y
)  ~~  ( N  +o  j ) ) )  ->  N  e.  om )
76 nnacl 6171 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  ( N  +o  j
)  e.  om )
7775, 48, 76syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  j  e. 
om )  /\  (
y  ~~  j  /\  ( A  u.  y
)  ~~  ( N  +o  j ) ) )  ->  ( N  +o  j )  e.  om )
78 simprr 499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  j  e. 
om )  /\  (
y  ~~  j  /\  ( A  u.  y
)  ~~  ( N  +o  j ) ) )  ->  ( A  u.  y )  ~~  ( N  +o  j ) )
79 fiunsnnn 6525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  u.  y )  e.  Fin  /\  z  e.  ( _V 
\  ( A  u.  y ) ) )  /\  ( ( N  +o  j )  e. 
om  /\  ( A  u.  y )  ~~  ( N  +o  j ) ) )  ->  ( ( A  u.  y )  u.  { z } ) 
~~  suc  ( N  +o  j ) )
8066, 74, 77, 78, 79syl22anc 1171 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  j  e. 
om )  /\  (
y  ~~  j  /\  ( A  u.  y
)  ~~  ( N  +o  j ) ) )  ->  ( ( A  u.  y )  u. 
{ z } ) 
~~  suc  ( N  +o  j ) )
81 unass 3141 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  u.  y )  u.  { z } )  =  ( A  u.  ( y  u. 
{ z } ) )
8281a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  j  e. 
om )  /\  (
y  ~~  j  /\  ( A  u.  y
)  ~~  ( N  +o  j ) ) )  ->  ( ( A  u.  y )  u. 
{ z } )  =  ( A  u.  ( y  u.  {
z } ) ) )
8382eqcomd 2088 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  j  e. 
om )  /\  (
y  ~~  j  /\  ( A  u.  y
)  ~~  ( N  +o  j ) ) )  ->  ( A  u.  ( y  u.  {
z } ) )  =  ( ( A  u.  y )  u. 
{ z } ) )
84 nnasuc 6167 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  ( N  +o  suc  j )  =  suc  ( N  +o  j
) )
8575, 48, 84syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  j  e. 
om )  /\  (
y  ~~  j  /\  ( A  u.  y
)  ~~  ( N  +o  j ) ) )  ->  ( N  +o  suc  j )  =  suc  ( N  +o  j
) )
8680, 83, 853brtr4d 3841 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  j  e. 
om )  /\  (
y  ~~  j  /\  ( A  u.  y
)  ~~  ( N  +o  j ) ) )  ->  ( A  u.  ( y  u.  {
z } ) ) 
~~  ( N  +o  suc  j ) )
87 breq2 3815 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  suc  j  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
~~  k  <->  ( y  u.  { z } ) 
~~  suc  j )
)
88 oveq2 5597 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  suc  j  -> 
( N  +o  k
)  =  ( N  +o  suc  j ) )
8988breq2d 3823 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  suc  j  -> 
( ( A  u.  ( y  u.  {
z } ) ) 
~~  ( N  +o  k )  <->  ( A  u.  ( y  u.  {
z } ) ) 
~~  ( N  +o  suc  j ) ) )
9087, 89anbi12d 457 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  suc  j  -> 
( ( ( y  u.  { z } )  ~~  k  /\  ( A  u.  (
y  u.  { z } ) )  ~~  ( N  +o  k
) )  <->  ( (
y  u.  { z } )  ~~  suc  j  /\  ( A  u.  ( y  u.  {
z } ) ) 
~~  ( N  +o  suc  j ) ) ) )
9190rspcev 2712 . . . . . . 7  |-  ( ( suc  j  e.  om  /\  ( ( y  u. 
{ z } ) 
~~  suc  j  /\  ( A  u.  (
y  u.  { z } ) )  ~~  ( N  +o  suc  j
) ) )  ->  E. k  e.  om  ( ( y  u. 
{ z } ) 
~~  k  /\  ( A  u.  ( y  u.  { z } ) )  ~~  ( N  +o  k ) ) )
9240, 51, 86, 91syl12anc 1168 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  j  e. 
om )  /\  (
y  ~~  j  /\  ( A  u.  y
)  ~~  ( N  +o  j ) ) )  ->  E. k  e.  om  ( ( y  u. 
{ z } ) 
~~  k  /\  ( A  u.  ( y  u.  { z } ) )  ~~  ( N  +o  k ) ) )
9392ex 113 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  j  e. 
om )  ->  (
( y  ~~  j  /\  ( A  u.  y
)  ~~  ( N  +o  j ) )  ->  E. k  e.  om  ( ( y  u. 
{ z } ) 
~~  k  /\  ( A  u.  ( y  u.  { z } ) )  ~~  ( N  +o  k ) ) ) )
9493rexlimdva 2483 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  ->  ( E. j  e.  om  ( y  ~~  j  /\  ( A  u.  y )  ~~  ( N  +o  j ) )  ->  E. k  e.  om  ( ( y  u. 
{ z } ) 
~~  k  /\  ( A  u.  ( y  u.  { z } ) )  ~~  ( N  +o  k ) ) ) )
95 breq2 3815 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
( y  u.  {
z } )  ~~  j 
<->  ( y  u.  {
z } )  ~~  k ) )
96 oveq2 5597 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  ( N  +o  j )  =  ( N  +o  k
) )
9796breq2d 3823 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
( A  u.  (
y  u.  { z } ) )  ~~  ( N  +o  j
)  <->  ( A  u.  ( y  u.  {
z } ) ) 
~~  ( N  +o  k ) ) )
9895, 97anbi12d 457 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( y  u. 
{ z } ) 
~~  j  /\  ( A  u.  ( y  u.  { z } ) )  ~~  ( N  +o  j ) )  <-> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
~~  k  /\  ( A  u.  ( y  u.  { z } ) )  ~~  ( N  +o  k ) ) ) )
9998cbvrexv 2584 . . . 4  |-  ( E. j  e.  om  (
( y  u.  {
z } )  ~~  j  /\  ( A  u.  ( y  u.  {
z } ) ) 
~~  ( N  +o  j ) )  <->  E. k  e.  om  ( ( y  u.  { z } )  ~~  k  /\  ( A  u.  (
y  u.  { z } ) )  ~~  ( N  +o  k
) ) )
10094, 99syl6ibr 160 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  ->  ( E. j  e.  om  ( y  ~~  j  /\  ( A  u.  y )  ~~  ( N  +o  j ) )  ->  E. j  e.  om  ( ( y  u. 
{ z } ) 
~~  j  /\  ( A  u.  ( y  u.  { z } ) )  ~~  ( N  +o  j ) ) ) )
101 hashunlem.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
1025, 10, 15, 20, 38, 100, 101findcard2sd 6536 . 2  |-  ( ph  ->  E. j  e.  om  ( B  ~~  j  /\  ( A  u.  B
)  ~~  ( N  +o  j ) ) )
103 simprrr 507 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  om  /\  ( B 
~~  j  /\  ( A  u.  B )  ~~  ( N  +o  j
) ) ) )  ->  ( A  u.  B )  ~~  ( N  +o  j ) )
104 hashunlem.bm . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  ~~  M )
105104ensymd 6428 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  ~~  B )
106 simprrl 506 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  om  /\  ( B 
~~  j  /\  ( A  u.  B )  ~~  ( N  +o  j
) ) ) )  ->  B  ~~  j
)
107 entr 6429 . . . . . 6  |-  ( ( M  ~~  B  /\  B  ~~  j )  ->  M  ~~  j )
108105, 106, 107syl2an2r 560 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  om  /\  ( B 
~~  j  /\  ( A  u.  B )  ~~  ( N  +o  j
) ) ) )  ->  M  ~~  j
)
109 hashunlem.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  om )
110 simprl 498 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  om  /\  ( B 
~~  j  /\  ( A  u.  B )  ~~  ( N  +o  j
) ) ) )  ->  j  e.  om )
111 nneneq 6501 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  om  /\  j  e.  om )  ->  ( M  ~~  j  <->  M  =  j ) )
112109, 110, 111syl2an2r 560 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  om  /\  ( B 
~~  j  /\  ( A  u.  B )  ~~  ( N  +o  j
) ) ) )  ->  ( M  ~~  j 
<->  M  =  j ) )
113108, 112mpbid 145 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  om  /\  ( B 
~~  j  /\  ( A  u.  B )  ~~  ( N  +o  j
) ) ) )  ->  M  =  j )
114113oveq2d 5605 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  om  /\  ( B 
~~  j  /\  ( A  u.  B )  ~~  ( N  +o  j
) ) ) )  ->  ( N  +o  M )  =  ( N  +o  j ) )
115103, 114breqtrrd 3837 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  om  /\  ( B 
~~  j  /\  ( A  u.  B )  ~~  ( N  +o  j
) ) ) )  ->  ( A  u.  B )  ~~  ( N  +o  M ) )
116102, 115rexlimddv 2487 1  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  ~~  ( N  +o  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662    = wceq 1285    e. wcel 1434   E.wrex 2354   _Vcvv 2612    \ cdif 2981    u. cun 2982    i^i cin 2983    C_ wss 2984   (/)c0 3269   {csn 3422   class class class wbr 3811   suc csuc 4155   omcom 4367  (class class class)co 5589    +o coa 6108    ~~ cen 6383   Fincfn 6385
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-iinf 4365
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4083  df-iord 4156  df-on 4158  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-f1 4972  df-fo 4973  df-f1o 4974  df-fv 4975  df-ov 5592  df-oprab 5593  df-mpt2 5594  df-1st 5844  df-2nd 5845  df-recs 6000  df-irdg 6065  df-1o 6111  df-oadd 6115  df-er 6220  df-en 6386  df-fin 6388
This theorem is referenced by:  hashun  10046
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