Theorem hashunlem 10768

Description: Lemma for hashun 10769. Ordinal size of the union. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashunlem.a	|- ( ph -> A e. Fin )
hashunlem.b	|- ( ph -> B e. Fin )
hashunlem.disj	|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
hashunlem.n	|- ( ph -> N e. om )
hashunlem.m	|- ( ph -> M e. om )
hashunlem.an	|- ( ph -> A ~~ N )
hashunlem.bm	|- ( ph -> B ~~ M )

Assertion

Ref	Expression
hashunlem	|- ( ph -> ( A u. B ) ~~ ( N +o M ) )

Proof of Theorem hashunlem

Dummy variables j w k y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4003	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( w ~~ j <-> (/) ~~ j ) )
2		uneq2 3283	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( A u. w ) = ( A u. (/) ) )
3	2	breq1d 4010	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( A u. w ) ~~ ( N +o j ) <-> ( A u. (/) ) ~~ ( N +o j ) ) )
4	1, 3	anbi12d 473	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( ( w ~~ j /\ ( A u. w ) ~~ ( N +o j ) ) <-> ( (/) ~~ j /\ ( A u. (/) ) ~~ ( N +o j ) ) ) )
5	4	rexbidv 2478	. . 3 |- ( w = (/) -> ( E. j e. om ( w ~~ j /\ ( A u. w ) ~~ ( N +o j ) ) <-> E. j e. om ( (/) ~~ j /\ ( A u. (/) ) ~~ ( N +o j ) ) ) )
6		breq1 4003	. . . . 5 |- ( w = y -> ( w ~~ j <-> y ~~ j ) )
7		uneq2 3283	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( A u. w ) = ( A u. y ) )
8	7	breq1d 4010	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( A u. w ) ~~ ( N +o j ) <-> ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) )
9	6, 8	anbi12d 473	. . . 4 |- ( w = y -> ( ( w ~~ j /\ ( A u. w ) ~~ ( N +o j ) ) <-> ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) )
10	9	rexbidv 2478	. . 3 |- ( w = y -> ( E. j e. om ( w ~~ j /\ ( A u. w ) ~~ ( N +o j ) ) <-> E. j e. om ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) )
11		breq1 4003	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( w ~~ j <-> ( y u. { z } ) ~~ j ) )
12		uneq2 3283	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( A u. w ) = ( A u. ( y u. { z } ) ) )
13	12	breq1d 4010	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( A u. w ) ~~ ( N +o j ) <-> ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o j ) ) )
14	11, 13	anbi12d 473	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( w ~~ j /\ ( A u. w ) ~~ ( N +o j ) ) <-> ( ( y u. { z } ) ~~ j /\ ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o j ) ) ) )
15	14	rexbidv 2478	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( E. j e. om ( w ~~ j /\ ( A u. w ) ~~ ( N +o j ) ) <-> E. j e. om ( ( y u. { z } ) ~~ j /\ ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o j ) ) ) )
16		breq1 4003	. . . . 5 |- ( w = B -> ( w ~~ j <-> B ~~ j ) )
17		uneq2 3283	. . . . . 6 |- ( w = B -> ( A u. w ) = ( A u. B ) )
18	17	breq1d 4010	. . . . 5 |- ( w = B -> ( ( A u. w ) ~~ ( N +o j ) <-> ( A u. B ) ~~ ( N +o j ) ) )
19	16, 18	anbi12d 473	. . . 4 |- ( w = B -> ( ( w ~~ j /\ ( A u. w ) ~~ ( N +o j ) ) <-> ( B ~~ j /\ ( A u. B ) ~~ ( N +o j ) ) ) )
20	19	rexbidv 2478	. . 3 |- ( w = B -> ( E. j e. om ( w ~~ j /\ ( A u. w ) ~~ ( N +o j ) ) <-> E. j e. om ( B ~~ j /\ ( A u. B ) ~~ ( N +o j ) ) ) )
21		peano1 4590	. . . . 5 |- (/) e. om
22	21	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> (/) e. om )
23		0ex 4127	. . . . . 6 |- (/) e. _V
24	23	enref 6759	. . . . 5 |- (/) ~~ (/)
25	24	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> (/) ~~ (/) )
26		hashunlem.an	. . . . 5 |- ( ph -> A ~~ N )
27		un0 3456	. . . . . 6 |- ( A u. (/) ) = A
28	27	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> ( A u. (/) ) = A )
29		hashunlem.n	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. om )
30		nna0 6469	. . . . . 6 |- ( N e. om -> ( N +o (/) ) = N )
31	29, 30	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( N +o (/) ) = N )
32	26, 28, 31	3brtr4d 4032	. . . 4 |- ( ph -> ( A u. (/) ) ~~ ( N +o (/) ) )
33		breq2 4004	. . . . . 6 |- ( j = (/) -> ( (/) ~~ j <-> (/) ~~ (/) ) )
34		oveq2 5877	. . . . . . 7 |- ( j = (/) -> ( N +o j ) = ( N +o (/) ) )
35	34	breq2d 4012	. . . . . 6 |- ( j = (/) -> ( ( A u. (/) ) ~~ ( N +o j ) <-> ( A u. (/) ) ~~ ( N +o (/) ) ) )
36	33, 35	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( j = (/) -> ( ( (/) ~~ j /\ ( A u. (/) ) ~~ ( N +o j ) ) <-> ( (/) ~~ (/) /\ ( A u. (/) ) ~~ ( N +o (/) ) ) ) )
37	36	rspcev 2841	. . . 4 |- ( ( (/) e. om /\ ( (/) ~~ (/) /\ ( A u. (/) ) ~~ ( N +o (/) ) ) ) -> E. j e. om ( (/) ~~ j /\ ( A u. (/) ) ~~ ( N +o j ) ) )
38	22, 25, 32, 37	syl12anc 1236	. . 3 |- ( ph -> E. j e. om ( (/) ~~ j /\ ( A u. (/) ) ~~ ( N +o j ) ) )
39		peano2 4591	. . . . . . . 8 |- ( j e. om -> suc j e. om )
40	39	ad2antlr 489	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> suc j e. om )
41		simp-4r 542	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> y e. Fin )
42		vex 2740	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
43	42	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> z e. _V )
44		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) -> z e. ( B \ y ) )
45	44	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> z e. ( B \ y ) )
46	45	eldifbd 3141	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> -. z e. y )
47	43, 46	eldifd 3139	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> z e. ( _V \ y ) )
48		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> j e. om )
49		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> y ~~ j )
50		fiunsnnn 6875	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ z e. ( _V \ y ) ) /\ ( j e. om /\ y ~~ j ) ) -> ( y u. { z } ) ~~ suc j )
51	41, 47, 48, 49, 50	syl22anc 1239	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> ( y u. { z } ) ~~ suc j )
52		hashunlem.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. Fin )
53	52	ad4antr 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> A e. Fin )
54		simprl 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) -> y C_ B )
55	54	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> y C_ B )
56		hashunlem.disj	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
57	56	ad4antr 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> ( A i^i B ) = (/) )
58		incom 3327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y i^i A ) = ( A i^i y )
59		incom 3327	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A i^i B ) = ( B i^i A )
60	59	eqeq1i 2185	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A i^i B ) = (/) <-> ( B i^i A ) = (/) )
61		ssdisj 3479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y C_ B /\ ( B i^i A ) = (/) ) -> ( y i^i A ) = (/) )
62	60, 61	sylan2b 287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y C_ B /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( y i^i A ) = (/) )
63	58, 62	eqtr3id 2224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y C_ B /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A i^i y ) = (/) )
64	55, 57, 63	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> ( A i^i y ) = (/) )
65		unfidisj 6915	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ y e. Fin /\ ( A i^i y ) = (/) ) -> ( A u. y ) e. Fin )
66	53, 41, 64, 65	syl3anc 1238	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> ( A u. y ) e. Fin )
67	45	eldifad 3140	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> z e. B )
68		minel 3484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. B /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> -. z e. A )
69	67, 57, 68	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> -. z e. A )
70		ioran 752	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( z e. A \/ z e. y ) <-> ( -. z e. A /\ -. z e. y ) )
71		elun 3276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( A u. y ) <-> ( z e. A \/ z e. y ) )
72	70, 71	xchnxbir 681	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. z e. ( A u. y ) <-> ( -. z e. A /\ -. z e. y ) )
73	69, 46, 72	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> -. z e. ( A u. y ) )
74	43, 73	eldifd 3139	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> z e. ( _V \ ( A u. y ) ) )
75	29	ad4antr 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> N e. om )
76		nnacl 6475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( N +o j ) e. om )
77	75, 48, 76	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> ( N +o j ) e. om )
78		simprr 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) )
79		fiunsnnn 6875	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A u. y ) e. Fin /\ z e. ( _V \ ( A u. y ) ) ) /\ ( ( N +o j ) e. om /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> ( ( A u. y ) u. { z } ) ~~ suc ( N +o j ) )
80	66, 74, 77, 78, 79	syl22anc 1239	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> ( ( A u. y ) u. { z } ) ~~ suc ( N +o j ) )
81		unass 3292	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A u. y ) u. { z } ) = ( A u. ( y u. { z } ) )
82	81	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> ( ( A u. y ) u. { z } ) = ( A u. ( y u. { z } ) ) )
83	82	eqcomd 2183	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> ( A u. ( y u. { z } ) ) = ( ( A u. y ) u. { z } ) )
84		nnasuc 6471	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. om /\ j e. om ) -> ( N +o suc j ) = suc ( N +o j ) )
85	75, 48, 84	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> ( N +o suc j ) = suc ( N +o j ) )
86	80, 83, 85	3brtr4d 4032	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o suc j ) )
87		breq2 4004	. . . . . . . . 9 |- ( k = suc j -> ( ( y u. { z } ) ~~ k <-> ( y u. { z } ) ~~ suc j ) )
88		oveq2 5877	. . . . . . . . . 10 |- ( k = suc j -> ( N +o k ) = ( N +o suc j ) )
89	88	breq2d 4012	. . . . . . . . 9 |- ( k = suc j -> ( ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o k ) <-> ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o suc j ) ) )
90	87, 89	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( k = suc j -> ( ( ( y u. { z } ) ~~ k /\ ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o k ) ) <-> ( ( y u. { z } ) ~~ suc j /\ ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o suc j ) ) ) )
91	90	rspcev 2841	. . . . . . 7 |- ( ( suc j e. om /\ ( ( y u. { z } ) ~~ suc j /\ ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o suc j ) ) ) -> E. k e. om ( ( y u. { z } ) ~~ k /\ ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o k ) ) )
92	40, 51, 86, 91	syl12anc 1236	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) ) -> E. k e. om ( ( y u. { z } ) ~~ k /\ ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o k ) ) )
93	92	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ j e. om ) -> ( ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) -> E. k e. om ( ( y u. { z } ) ~~ k /\ ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o k ) ) ) )
94	93	rexlimdva 2594	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) -> ( E. j e. om ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) -> E. k e. om ( ( y u. { z } ) ~~ k /\ ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o k ) ) ) )
95		breq2 4004	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( ( y u. { z } ) ~~ j <-> ( y u. { z } ) ~~ k ) )
96		oveq2 5877	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( N +o j ) = ( N +o k ) )
97	96	breq2d 4012	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o j ) <-> ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o k ) ) )
98	95, 97	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( j = k -> ( ( ( y u. { z } ) ~~ j /\ ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o j ) ) <-> ( ( y u. { z } ) ~~ k /\ ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o k ) ) ) )
99	98	cbvrexv 2704	. . . 4 |- ( E. j e. om ( ( y u. { z } ) ~~ j /\ ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o j ) ) <-> E. k e. om ( ( y u. { z } ) ~~ k /\ ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o k ) ) )
100	94, 99	syl6ibr 162	. . 3 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) -> ( E. j e. om ( y ~~ j /\ ( A u. y ) ~~ ( N +o j ) ) -> E. j e. om ( ( y u. { z } ) ~~ j /\ ( A u. ( y u. { z } ) ) ~~ ( N +o j ) ) ) )
101		hashunlem.b	. . 3 |- ( ph -> B e. Fin )
102	5, 10, 15, 20, 38, 100, 101	findcard2sd 6886	. 2 |- ( ph -> E. j e. om ( B ~~ j /\ ( A u. B ) ~~ ( N +o j ) ) )
103		simprrr 540	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. om /\ ( B ~~ j /\ ( A u. B ) ~~ ( N +o j ) ) ) ) -> ( A u. B ) ~~ ( N +o j ) )
104		hashunlem.bm	. . . . . . 7 |- ( ph -> B ~~ M )
105	104	ensymd 6777	. . . . . 6 |- ( ph -> M ~~ B )
106		simprrl 539	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. om /\ ( B ~~ j /\ ( A u. B ) ~~ ( N +o j ) ) ) ) -> B ~~ j )
107		entr 6778	. . . . . 6 |- ( ( M ~~ B /\ B ~~ j ) -> M ~~ j )
108	105, 106, 107	syl2an2r 595	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. om /\ ( B ~~ j /\ ( A u. B ) ~~ ( N +o j ) ) ) ) -> M ~~ j )
109		hashunlem.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. om )
110		simprl 529	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. om /\ ( B ~~ j /\ ( A u. B ) ~~ ( N +o j ) ) ) ) -> j e. om )
111		nneneq 6851	. . . . . 6 |- ( ( M e. om /\ j e. om ) -> ( M ~~ j <-> M = j ) )
112	109, 110, 111	syl2an2r 595	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. om /\ ( B ~~ j /\ ( A u. B ) ~~ ( N +o j ) ) ) ) -> ( M ~~ j <-> M = j ) )
113	108, 112	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( j e. om /\ ( B ~~ j /\ ( A u. B ) ~~ ( N +o j ) ) ) ) -> M = j )
114	113	oveq2d 5885	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. om /\ ( B ~~ j /\ ( A u. B ) ~~ ( N +o j ) ) ) ) -> ( N +o M ) = ( N +o j ) )
115	103, 114	breqtrrd 4028	. 2 |- ( ( ph /\ ( j e. om /\ ( B ~~ j /\ ( A u. B ) ~~ ( N +o j ) ) ) ) -> ( A u. B ) ~~ ( N +o M ) )
116	102, 115	rexlimddv 2599	1 |- ( ph -> ( A u. B ) ~~ ( N +o M ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456   _Vcvv 2737   \ cdif 3126   u. cun 3127   i^i cin 3128   C_ wss 3129   (/)c0 3422   {csn 3591   class class class wbr 4000   suc csuc 4362   omcom 4586  (class class class)co 5869   +o coa 6408   ~~ cen 6732   Fincfn 6734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-en 6735  df-fin 6737

This theorem is referenced by:  hashun  10769