Theorem fprodap0 11511

Description: A finite product of nonzero terms is nonzero. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodn0.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodn0.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
fprodap0.3	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B # 0 )

Assertion

Ref	Expression
fprodap0	|- ( ph -> prod_ k e. A B # 0 )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fprodap0

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 11443	. . 3 |- ( w = (/) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. (/) B )
2	1	breq1d 3975	. 2 |- ( w = (/) -> ( prod_ k e. w B # 0 <-> prod_ k e. (/) B # 0 ) )
3		prodeq1 11443	. . 3 |- ( w = y -> prod_ k e. w B = prod_ k e. y B )
4	3	breq1d 3975	. 2 |- ( w = y -> ( prod_ k e. w B # 0 <-> prod_ k e. y B # 0 ) )
5		prodeq1 11443	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. ( y u. { z } ) B )
6	5	breq1d 3975	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( prod_ k e. w B # 0 <-> prod_ k e. ( y u. { z } ) B # 0 ) )
7		prodeq1 11443	. . 3 |- ( w = A -> prod_ k e. w B = prod_ k e. A B )
8	7	breq1d 3975	. 2 |- ( w = A -> ( prod_ k e. w B # 0 <-> prod_ k e. A B # 0 ) )
9		prod0 11475	. . . 4 |- prod_ k e. (/) B = 1
10		1ap0 8459	. . . 4 |- 1 # 0
11	9, 10	eqbrtri 3985	. . 3 |- prod_ k e. (/) B # 0
12	11	a1i 9	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. (/) B # 0 )
13		simplr 520	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
14		simplll 523	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> ph )
15		simplrl 525	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> y C_ A )
16		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. y )
17	15, 16	sseldd 3129	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. A )
18		fprodn0.2	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
19	14, 17, 18	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. CC )
20	13, 19	fprodcl 11497	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. y B e. CC )
21	20	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B # 0 ) -> prod_ k e. y B e. CC )
22		simprr 522	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
23	22	eldifad 3113	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. A )
24	18	ralrimiva 2530	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
25	24	ad2antrr 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> A. k e. A B e. CC )
26		rspcsbela 3090	. . . . . . 7 |- ( ( z e. A /\ A. k e. A B e. CC ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
27	23, 25, 26	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
28	27	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B # 0 ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
29		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B # 0 ) -> prod_ k e. y B # 0 )
30		fprodap0.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B # 0 )
31	30	ralrimiva 2530	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. A B # 0 )
32	31	ad2antrr 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> A. k e. A B # 0 )
33		nfcsb1v 3064	. . . . . . . . 9 |- F/_ k [_ z / k ]_ B
34		nfcv 2299	. . . . . . . . 9 |- F/_ k #
35		nfcv 2299	. . . . . . . . 9 |- F/_ k 0
36	33, 34, 35	nfbr 4010	. . . . . . . 8 |- F/ k [_ z / k ]_ B # 0
37		csbeq1a 3040	. . . . . . . . 9 |- ( k = z -> B = [_ z / k ]_ B )
38	37	breq1d 3975	. . . . . . . 8 |- ( k = z -> ( B # 0 <-> [_ z / k ]_ B # 0 ) )
39	36, 38	rspc 2810	. . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( A. k e. A B # 0 -> [_ z / k ]_ B # 0 ) )
40	23, 32, 39	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ B # 0 )
41	40	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B # 0 ) -> [_ z / k ]_ B # 0 )
42	21, 28, 29, 41	mulap0d 8526	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B # 0 ) -> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) # 0 )
43	22	eldifbd 3114	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
44	33, 13, 22, 43, 19, 27, 37	fprodunsn 11494	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) )
45	44	breq1d 3975	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { z } ) B # 0 <-> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) # 0 ) )
46	45	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B # 0 ) -> ( prod_ k e. ( y u. { z } ) B # 0 <-> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) # 0 ) )
47	42, 46	mpbird 166	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B # 0 ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B # 0 )
48	47	ex 114	. 2 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. y B # 0 -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B # 0 ) )
49		fprodn0.1	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
50	2, 4, 6, 8, 12, 48, 49	findcard2sd 6834	1 |- ( ph -> prod_ k e. A B # 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   [_csb 3031   \ cdif 3099   u. cun 3100   C_ wss 3102   (/)c0 3394   {csn 3560   class class class wbr 3965  (class class class)co 5821   Fincfn 6682   CCcc 7724   0cc0 7726   1c1 7727   x. cmul 7731   # cap 8450   prod_cprod 11440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843  ax-pre-mulext 7844  ax-arch 7845  ax-caucvg 7846

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-isom 5178  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-irdg 6314  df-frec 6335  df-1o 6360  df-oadd 6364  df-er 6477  df-en 6683  df-dom 6684  df-fin 6685  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-reap 8444  df-ap 8451  df-div 8540  df-inn 8828  df-2 8886  df-3 8887  df-4 8888  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-q 9522  df-rp 9554  df-fz 9906  df-fzo 10035  df-seqfrec 10338  df-exp 10412  df-ihash 10643  df-cj 10735  df-re 10736  df-im 10737  df-rsqrt 10891  df-abs 10892  df-clim 11169  df-proddc 11441

This theorem is referenced by:  fprodrec  11519  fproddivap  11520