Theorem eldifbd 3232

Description: If a class is in the difference of two classes, it is not in the subtrahend. One-way deduction form of eldif 3229. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldifbd.1	|- ( ph -> A e. ( B \ C ) )

Assertion

Ref	Expression
eldifbd	|- ( ph -> -. A e. C )

Proof of Theorem eldifbd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifbd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. ( B \ C ) )
2		eldif 3229	. . 3 |- ( A e. ( B \ C ) <-> ( A e. B /\ -. A e. C ) )
3	1, 2	sylib 122	. 2 |- ( ph -> ( A e. B /\ -. A e. C ) )
4	3	simprd 114	1 |- ( ph -> -. A e. C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   \ cdif 3217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222

This theorem is referenced by:  fvdifsuppst  6477  fidifsnen  7165  fiunsnnn  7178  fimax2gtri  7199  unfidisj  7222  ssfirab  7237  fnfi  7243  iunfidisj  7253  mapfi  7254  hashunlem  11225  hashxp  11248  hashf1lem2  11267  zfz1isolemiso  11272  fsumconst  12202  fsumrelem  12219  fprodcl2lem  12353  fprodconst  12368  fprodap0  12369  fprodrec  12377  fprodap0f  12384  fprodle  12388  fprodmodd  12389  gsumzfi  14138  gsumclfi  14139  gsummptfidmadd  14141  gsumsubmclfi  14143  gsumconstcmn  14146  gsumfsum  14898  fsumcncntop  15594  1loopgrvd0fi  16464  bj-charfun  16750  bj-charfundc  16751