Theorem eldifbd 3232

Description: If a class is in the difference of two classes, it is not in the subtrahend. One-way deduction form of eldif 3229. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldifbd.1	|- ( ph -> A e. ( B \ C ) )

Assertion

Ref	Expression
eldifbd	|- ( ph -> -. A e. C )

Proof of Theorem eldifbd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifbd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. ( B \ C ) )
2		eldif 3229	. . 3 |- ( A e. ( B \ C ) <-> ( A e. B /\ -. A e. C ) )
3	1, 2	sylib 122	. 2 |- ( ph -> ( A e. B /\ -. A e. C ) )
4	3	simprd 114	1 |- ( ph -> -. A e. C )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   \ cdif 3217

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222

This theorem is used by:  fvdifsuppst  6488  fidifsnen  7176  fiunsnnn  7189  fimax2gtri  7210  unfidisj  7233  ssfirab  7248  fnfi  7254  iunfidisj  7264  mapfi  7265  hashunlem  11266  hashxp  11289  hashf1lem2  11308  zfz1isolemiso  11313  fsumconst  12246  fsumrelem  12263  fprodcl2lem  12397  fprodconst  12412  fprodap0  12413  fprodrec  12421  fprodap0f  12428  fprodle  12432  fprodmodd  12433  gsumzfi  14248  gsumclfi  14249  gsummptfidmadd  14251  gsumsubmclfi  14253  gsummptfidmsplit  14254  gsumresfi  14263  gsumconstcmn  14266  gsum2dfilem2  14272  gsumfsum  15032  fsumcncntop  15793  1loopgrvd0fi  16752  bj-charfun  17038  bj-charfundc  17039