Theorem eldifbd 3232

Description: If a class is in the difference of two classes, it is not in the subtrahend. One-way deduction form of eldif 3229. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldifbd.1	|- ( ph -> A e. ( B \ C ) )

Assertion

Ref	Expression
eldifbd	|- ( ph -> -. A e. C )

Proof of Theorem eldifbd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifbd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. ( B \ C ) )
2		eldif 3229	. . 3 |- ( A e. ( B \ C ) <-> ( A e. B /\ -. A e. C ) )
3	1, 2	sylib 122	. 2 |- ( ph -> ( A e. B /\ -. A e. C ) )
4	3	simprd 114	1 |- ( ph -> -. A e. C )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   \ cdif 3217

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222

This theorem is used by:  fvdifsuppst  6484  fidifsnen  7172  fiunsnnn  7185  fimax2gtri  7206  unfidisj  7229  ssfirab  7244  fnfi  7250  iunfidisj  7260  mapfi  7261  hashunlem  11260  hashxp  11283  hashf1lem2  11302  zfz1isolemiso  11307  fsumconst  12240  fsumrelem  12257  fprodcl2lem  12391  fprodconst  12406  fprodap0  12407  fprodrec  12415  fprodap0f  12422  fprodle  12426  fprodmodd  12427  gsumzfi  14242  gsumclfi  14243  gsummptfidmadd  14245  gsumsubmclfi  14247  gsumconstcmn  14250  gsumfsum  15007  fsumcncntop  15759  1loopgrvd0fi  16713  bj-charfun  16999  bj-charfundc  17000