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Theorem zfz1isolemiso 10533
Description: Lemma for zfz1iso 10535. Adding one element to the order isomorphism. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
zfz1isolemiso.xf  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
zfz1isolemiso.xz  |-  ( ph  ->  X  C_  ZZ )
zfz1isolemiso.mx  |-  ( ph  ->  M  e.  X )
zfz1isolemiso.m  |-  ( ph  ->  A. z  e.  X  z  <_  M )
zfz1isolemiso.g  |-  ( ph  ->  G  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )
zfz1isolemiso.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( 1 ... ( `  X
) ) )
zfz1isolemiso.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( 1 ... ( `  X
) ) )
Assertion
Ref Expression
zfz1isolemiso  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A )  <  (
( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B ) ) )
Distinct variable groups:    z, A    z, B    z, G    z, M    z, X
Allowed substitution hint:    ph( z)

Proof of Theorem zfz1isolemiso
StepHypRef Expression
1 zfz1isolemiso.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )
21ad2antrr 477 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  G  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )
3 simplr 502 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )
4 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )
5 isorel 5675 . . . . 5  |-  ( ( G  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) )  /\  ( A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ) )  ->  ( A  <  B  <->  ( G `  A )  <  ( G `  B )
) )
62, 3, 4, 5syl12anc 1197 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( A  <  B  <->  ( G `  A )  <  ( G `  B )
) )
7 zfz1isolemiso.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  ( 1 ... ( `  X
) ) )
87adantr 272 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  A  e.  ( 1 ... ( `  X ) ) )
9 elfzelz 9757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 1 ... ( `  X )
)  ->  A  e.  ZZ )
107, 9syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
1110zred 9127 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1211adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  A  e.  RR )
13 zfz1isolemiso.xf . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
14 hashcl 10478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  Fin  ->  ( `  X )  e.  NN0 )
1513, 14syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `  X )  e.  NN0 )
1615nn0red 8985 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `  X )  e.  RR )
17 peano2rem 7993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `  X )  e.  RR  ->  ( ( `  X
)  -  1 )  e.  RR )
1816, 17syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( `  X
)  -  1 )  e.  RR )
1918adantr 272 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( ( `  X )  -  1 )  e.  RR )
2016adantr 272 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( `  X
)  e.  RR )
21 elfzle2 9759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) )  ->  A  <_  ( `  ( X  \  { M } ) ) )
2221adantl 273 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  A  <_  ( `  ( X  \  { M } ) ) )
23 zfz1isolemiso.mx . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  X )
24 hashdifsn 10516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  M  e.  X )  ->  ( `  ( X  \  { M } ) )  =  ( ( `  X )  -  1 ) )
2513, 23, 24syl2anc 406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `  ( X  \  { M } ) )  =  ( ( `  X )  -  1 ) )
2625adantr 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( `  ( X  \  { M }
) )  =  ( ( `  X )  -  1 ) )
2722, 26breqtrd 3922 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  A  <_  ( ( `  X )  -  1 ) )
2820ltm1d 8650 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( ( `  X )  -  1 )  <  ( `  X
) )
2912, 19, 20, 27, 28lelttrd 7851 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  A  <  ( `  X ) )
3012, 29gtned 7840 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( `  X
)  =/=  A )
31 fvunsng 5580 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( 1 ... ( `  X
) )  /\  ( `  X )  =/=  A
)  ->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A
)  =  ( G `
 A ) )
328, 30, 31syl2anc 406 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A
)  =  ( G `
 A ) )
3332adantr 272 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A
)  =  ( G `
 A ) )
34 zfz1isolemiso.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ( 1 ... ( `  X
) ) )
3534ad2antrr 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  B  e.  ( 1 ... ( `  X ) ) )
36 elfzelz 9757 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( 1 ... ( `  X )
)  ->  B  e.  ZZ )
3734, 36syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
3837zred 9127 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3938ad2antrr 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  B  e.  RR )
4018ad2antrr 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( ( `  X )  -  1 )  e.  RR )
4116ad2antrr 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( `  X
)  e.  RR )
42 elfzle2 9759 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) )  ->  B  <_  ( `  ( X  \  { M } ) ) )
4342adantl 273 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  B  <_  ( `  ( X  \  { M } ) ) )
4425ad2antrr 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( `  ( X  \  { M }
) )  =  ( ( `  X )  -  1 ) )
4543, 44breqtrd 3922 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  B  <_  ( ( `  X )  -  1 ) )
4616ltm1d 8650 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( `  X
)  -  1 )  <  ( `  X )
)
4746ad2antrr 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( ( `  X )  -  1 )  <  ( `  X
) )
4839, 40, 41, 45, 47lelttrd 7851 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  B  <  ( `  X ) )
4939, 48gtned 7840 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( `  X
)  =/=  B )
50 fvunsng 5580 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( 1 ... ( `  X
) )  /\  ( `  X )  =/=  B
)  ->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B
)  =  ( G `
 B ) )
5135, 49, 50syl2anc 406 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B
)  =  ( G `
 B ) )
5233, 51breq12d 3910 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( (
( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A )  <  (
( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B )  <->  ( G `  A )  <  ( G `  B )
) )
536, 52bitr4d 190 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( A  <  B  <->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A
)  <  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B
) ) )
5429adantr 272 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e. 
{ ( `  X
) } )  ->  A  <  ( `  X )
)
55 elsni 3513 . . . . . 6  |-  ( B  e.  { ( `  X
) }  ->  B  =  ( `  X )
)
5655adantl 273 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e. 
{ ( `  X
) } )  ->  B  =  ( `  X
) )
5754, 56breqtrrd 3924 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e. 
{ ( `  X
) } )  ->  A  <  B )
58 isof1o 5674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G 
Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) )  ->  G : ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) -1-1-onto-> ( X 
\  { M }
) )
591, 58syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) -1-1-onto-> ( X 
\  { M }
) )
60 f1of 5333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) -1-1-onto-> ( X  \  { M } )  ->  G : ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) --> ( X 
\  { M }
) )
6159, 60syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) --> ( X  \  { M } ) )
6261ffvelrnda 5521 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( G `  A )  e.  ( X  \  { M } ) )
6362eldifbd 3051 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  -.  ( G `  A )  e.  { M } )
64 elsn2g 3526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  X  ->  (
( G `  A
)  e.  { M } 
<->  ( G `  A
)  =  M ) )
6523, 64syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( G `  A )  e.  { M }  <->  ( G `  A )  =  M ) )
6665adantr 272 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( ( G `  A )  e.  { M }  <->  ( G `  A )  =  M ) )
6763, 66mtbid 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  -.  ( G `  A )  =  M )
68 breq1 3900 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( G `  A )  ->  (
z  <_  M  <->  ( G `  A )  <_  M
) )
69 zfz1isolemiso.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. z  e.  X  z  <_  M )
7069adantr 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  A. z  e.  X  z  <_  M )
7162eldifad 3050 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( G `  A )  e.  X
)
7268, 70, 71rspcdva 2766 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( G `  A )  <_  M
)
73 zfz1isolemiso.xz . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  C_  ZZ )
7473adantr 272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  X  C_  ZZ )
7574, 71sseldd 3066 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( G `  A )  e.  ZZ )
7673, 23sseldd 3066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
7776adantr 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
78 zleloe 9055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G `  A
)  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( G `  A )  <_  M  <->  ( ( G `  A
)  <  M  \/  ( G `  A )  =  M ) ) )
7975, 77, 78syl2anc 406 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( ( G `  A )  <_  M  <->  ( ( G `
 A )  < 
M  \/  ( G `
 A )  =  M ) ) )
8072, 79mpbid 146 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( ( G `  A )  <  M  \/  ( G `
 A )  =  M ) )
8167, 80ecased 1310 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( G `  A )  <  M
)
8215nn0zd 9125 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( `  X )  e.  ZZ )
83 peano2zm 9046 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `  X )  e.  ZZ  ->  ( ( `  X
)  -  1 )  e.  ZZ )
8482, 83syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( `  X
)  -  1 )  e.  ZZ )
85 zltnle 9054 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( `  X
)  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( `  X )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( `  X )  -  1 )  <  ( `  X
)  <->  -.  ( `  X
)  <_  ( ( `  X )  -  1 ) ) )
8684, 82, 85syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( `  X
)  -  1 )  <  ( `  X )  <->  -.  ( `  X )  <_  ( ( `  X
)  -  1 ) ) )
8746, 86mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  ( `  X
)  <_  ( ( `  X )  -  1 ) )
8825breq2d 3909 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( `  X
)  <_  ( `  ( X  \  { M }
) )  <->  ( `  X
)  <_  ( ( `  X )  -  1 ) ) )
8987, 88mtbird 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  ( `  X
)  <_  ( `  ( X  \  { M }
) ) )
90 elfzle2 9759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `  X )  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) )  -> 
( `  X )  <_ 
( `  ( X  \  { M } ) ) )
9189, 90nsyl 600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  ( `  X
)  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )
92 fdm 5246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G : ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) --> ( X 
\  { M }
)  ->  dom  G  =  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )
9361, 92syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  G  =  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )
9491, 93neleqtrrd 2214 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  ( `  X
)  e.  dom  G
)
95 fsnunfv 5587 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `  X )  e.  NN0  /\  M  e.  X  /\  -.  ( `  X )  e.  dom  G )  ->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  ( `  X ) )  =  M )
9615, 23, 94, 95syl3anc 1199 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( G  u.  {
<. ( `  X ) ,  M >. } ) `  ( `  X ) )  =  M )
9796adantr 272 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  ( `  X ) )  =  M )
9881, 32, 973brtr4d 3928 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A
)  <  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  ( `  X ) ) )
9998adantr 272 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e. 
{ ( `  X
) } )  -> 
( ( G  u.  {
<. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A )  <  (
( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  ( `  X ) ) )
10056fveq2d 5391 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e. 
{ ( `  X
) } )  -> 
( ( G  u.  {
<. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B )  =  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  ( `  X ) ) )
10199, 100breqtrrd 3924 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e. 
{ ( `  X
) } )  -> 
( ( G  u.  {
<. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A )  <  (
( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B ) )
10257, 1012thd 174 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e. 
{ ( `  X
) } )  -> 
( A  <  B  <->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A )  <  (
( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B ) ) )
10313, 23zfz1isolemsplit 10532 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( `  X ) )  =  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) )  u.  {
( `  X ) } ) )
10434, 103eleqtrd 2194 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) )  u. 
{ ( `  X
) } ) )
105 elun 3185 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) )  u. 
{ ( `  X
) } )  <->  ( B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) )  \/  B  e.  {
( `  X ) } ) )
106104, 105sylib 121 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) )  \/  B  e.  { ( `  X ) } ) )
107106adantr 272 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) )  \/  B  e.  {
( `  X ) } ) )
10853, 102, 107mpjaodan 770 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( A  <  B  <->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A
)  <  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B
) ) )
10938ad2antrr 477 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  B  e.  RR )
11011ad2antrr 477 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  A  e.  RR )
111 elfzle2 9759 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( 1 ... ( `  X )
)  ->  B  <_  ( `  X ) )
11234, 111syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  <_  ( `  X
) )
113112ad2antrr 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  B  <_  ( `  X ) )
114 elsni 3513 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  { ( `  X
) }  ->  A  =  ( `  X )
)
115114ad2antlr 478 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  A  =  ( `  X ) )
116113, 115breqtrrd 3924 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  B  <_  A
)
117109, 110, 116lensymd 7848 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  -.  A  <  B )
11873ad2antrr 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  X  C_  ZZ )
11961ad2antrr 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  G : ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) --> ( X  \  { M } ) )
120 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )
121119, 120ffvelrnd 5522 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  ( G `  B )  e.  ( X  \  { M } ) )
122121eldifad 3050 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  ( G `  B )  e.  X
)
123118, 122sseldd 3066 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  ( G `  B )  e.  ZZ )
124123zred 9127 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  ( G `  B )  e.  RR )
12576zred 9127 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
126125ad2antrr 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  M  e.  RR )
127 breq1 3900 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( G `  B )  ->  (
z  <_  M  <->  ( G `  B )  <_  M
) )
12869ad2antrr 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  A. z  e.  X  z  <_  M )
129127, 128, 122rspcdva 2766 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  ( G `  B )  <_  M
)
130124, 126, 129lensymd 7848 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  -.  M  <  ( G `  B ) )
131115fveq2d 5391 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A
)  =  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  ( `  X ) ) )
13296ad2antrr 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  ( `  X ) )  =  M )
133131, 132eqtrd 2148 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A
)  =  M )
13434ad2antrr 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  B  e.  ( 1 ... ( `  X
) ) )
13518ad2antrr 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  ( ( `  X
)  -  1 )  e.  RR )
13616ad2antrr 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  ( `  X )  e.  RR )
13742adantl 273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  B  <_  ( `  ( X  \  { M } ) ) )
13825ad2antrr 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  ( `  ( X  \  { M } ) )  =  ( ( `  X )  -  1 ) )
139137, 138breqtrd 3922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  B  <_  (
( `  X )  - 
1 ) )
14046ad2antrr 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  ( ( `  X
)  -  1 )  <  ( `  X )
)
141109, 135, 136, 139, 140lelttrd 7851 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  B  <  ( `  X ) )
142109, 141gtned 7840 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  ( `  X )  =/=  B )
143134, 142, 50syl2anc 406 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B
)  =  ( G `
 B ) )
144133, 143breq12d 3910 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  ( ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A
)  <  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B
)  <->  M  <  ( G `
 B ) ) )
145130, 144mtbird 645 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  -.  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A
)  <  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B
) )
146117, 1452falsed 674 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  ( A  < 
B  <->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A
)  <  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B
) ) )
14738ad2antrr 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  { ( `  X ) } )  ->  B  e.  RR )
148147ltnrd 7839 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  { ( `  X ) } )  ->  -.  B  <  B )
149114ad2antlr 478 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  { ( `  X ) } )  ->  A  =  ( `  X ) )
15055adantl 273 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  { ( `  X ) } )  ->  B  =  ( `  X ) )
151149, 150eqtr4d 2151 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  { ( `  X ) } )  ->  A  =  B )
152151breq1d 3907 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  { ( `  X ) } )  ->  ( A  < 
B  <->  B  <  B ) )
153148, 152mtbird 645 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  { ( `  X ) } )  ->  -.  A  <  B )
154125ad2antrr 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  { ( `  X ) } )  ->  M  e.  RR )
155154ltnrd 7839 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  { ( `  X ) } )  ->  -.  M  <  M )
156149fveq2d 5391 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  { ( `  X ) } )  ->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A
)  =  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  ( `  X ) ) )
15796ad2antrr 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  { ( `  X ) } )  ->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  ( `  X ) )  =  M )
158156, 157eqtrd 2148 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  { ( `  X ) } )  ->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A
)  =  M )
159150fveq2d 5391 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  { ( `  X ) } )  ->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B
)  =  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  ( `  X ) ) )
160159, 157eqtrd 2148 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  { ( `  X ) } )  ->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B
)  =  M )
161158, 160breq12d 3910 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  { ( `  X ) } )  ->  ( ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A
)  <  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B
)  <->  M  <  M ) )
162155, 161mtbird 645 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  { ( `  X ) } )  ->  -.  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A
)  <  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B
) )
163153, 1622falsed 674 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  { ( `  X ) } )  ->  ( A  < 
B  <->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A
)  <  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B
) ) )
164106adantr 272 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  { ( `  X ) } )  ->  ( B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) )  \/  B  e.  { ( `  X ) } ) )
165146, 163, 164mpjaodan 770 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  { ( `  X ) } )  ->  ( A  <  B  <->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A
)  <  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B
) ) )
1667, 103eleqtrd 2194 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) )  u. 
{ ( `  X
) } ) )
167 elun 3185 . . 3  |-  ( A  e.  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) )  u. 
{ ( `  X
) } )  <->  ( A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) )  \/  A  e.  {
( `  X ) } ) )
168166, 167sylib 121 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) )  \/  A  e.  { ( `  X ) } ) )
169108, 165, 168mpjaodan 770 1  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A )  <  (
( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680    = wceq 1314    e. wcel 1463    =/= wne 2283   A.wral 2391    \ cdif 3036    u. cun 3037    C_ wss 3039   {csn 3495   <.cop 3498   class class class wbr 3897   dom cdm 4507   -->wf 5087   -1-1-onto->wf1o 5090   ` cfv 5091    Isom wiso 5092  (class class class)co 5740   Fincfn 6600   RRcr 7583   1c1 7585    < clt 7764    <_ cle 7765    - cmin 7897   NN0cn0 8931   ZZcz 9008   ...cfz 9741  ♯chash 10472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-frec 6254  df-1o 6279  df-oadd 6283  df-er 6395  df-en 6601  df-dom 6602  df-fin 6603  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8681  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-fz 9742  df-ihash 10473
This theorem is referenced by:  zfz1isolem1  10534
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