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Theorem zfz1isolemiso 10785
Description: Lemma for zfz1iso 10787. Adding one element to the order isomorphism. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
zfz1isolemiso.xf  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
zfz1isolemiso.xz  |-  ( ph  ->  X  C_  ZZ )
zfz1isolemiso.mx  |-  ( ph  ->  M  e.  X )
zfz1isolemiso.m  |-  ( ph  ->  A. z  e.  X  z  <_  M )
zfz1isolemiso.g  |-  ( ph  ->  G  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )
zfz1isolemiso.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( 1 ... ( `  X
) ) )
zfz1isolemiso.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( 1 ... ( `  X
) ) )
Assertion
Ref Expression
zfz1isolemiso  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A )  <  (
( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B ) ) )
Distinct variable groups:    z, A    z, B    z, G    z, M    z, X
Allowed substitution hint:    ph( z)

Proof of Theorem zfz1isolemiso
StepHypRef Expression
1 zfz1isolemiso.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )
21ad2antrr 488 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  G  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ,  ( X  \  { M } ) ) )
3 simplr 528 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )
4 simpr 110 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )
5 isorel 5799 . . . . 5  |-  ( ( G  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) )  /\  ( A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) ) )  ->  ( A  <  B  <->  ( G `  A )  <  ( G `  B )
) )
62, 3, 4, 5syl12anc 1236 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( A  <  B  <->  ( G `  A )  <  ( G `  B )
) )
7 zfz1isolemiso.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  ( 1 ... ( `  X
) ) )
87adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  A  e.  ( 1 ... ( `  X ) ) )
9 elfzelz 9993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 1 ... ( `  X )
)  ->  A  e.  ZZ )
107, 9syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
1110zred 9346 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1211adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  A  e.  RR )
13 zfz1isolemiso.xf . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
14 hashcl 10727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  Fin  ->  ( `  X )  e.  NN0 )
1513, 14syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `  X )  e.  NN0 )
1615nn0red 9201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `  X )  e.  RR )
17 peano2rem 8198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `  X )  e.  RR  ->  ( ( `  X
)  -  1 )  e.  RR )
1816, 17syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( `  X
)  -  1 )  e.  RR )
1918adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( ( `  X )  -  1 )  e.  RR )
2016adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( `  X
)  e.  RR )
21 elfzle2 9996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) )  ->  A  <_  ( `  ( X  \  { M } ) ) )
2221adantl 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  A  <_  ( `  ( X  \  { M } ) ) )
23 zfz1isolemiso.mx . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  X )
24 hashdifsn 10765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  M  e.  X )  ->  ( `  ( X  \  { M } ) )  =  ( ( `  X )  -  1 ) )
2513, 23, 24syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `  ( X  \  { M } ) )  =  ( ( `  X )  -  1 ) )
2625adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( `  ( X  \  { M }
) )  =  ( ( `  X )  -  1 ) )
2722, 26breqtrd 4024 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  A  <_  ( ( `  X )  -  1 ) )
2820ltm1d 8860 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( ( `  X )  -  1 )  <  ( `  X
) )
2912, 19, 20, 27, 28lelttrd 8056 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  A  <  ( `  X ) )
3012, 29gtned 8044 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( `  X
)  =/=  A )
31 fvunsng 5702 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( 1 ... ( `  X
) )  /\  ( `  X )  =/=  A
)  ->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A
)  =  ( G `
 A ) )
328, 30, 31syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A
)  =  ( G `
 A ) )
3332adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A
)  =  ( G `
 A ) )
34 zfz1isolemiso.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ( 1 ... ( `  X
) ) )
3534ad2antrr 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  B  e.  ( 1 ... ( `  X ) ) )
36 elfzelz 9993 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( 1 ... ( `  X )
)  ->  B  e.  ZZ )
3734, 36syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
3837zred 9346 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3938ad2antrr 488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  B  e.  RR )
4018ad2antrr 488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( ( `  X )  -  1 )  e.  RR )
4116ad2antrr 488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( `  X
)  e.  RR )
42 elfzle2 9996 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) )  ->  B  <_  ( `  ( X  \  { M } ) ) )
4342adantl 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  B  <_  ( `  ( X  \  { M } ) ) )
4425ad2antrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( `  ( X  \  { M }
) )  =  ( ( `  X )  -  1 ) )
4543, 44breqtrd 4024 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  B  <_  ( ( `  X )  -  1 ) )
4616ltm1d 8860 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( `  X
)  -  1 )  <  ( `  X )
)
4746ad2antrr 488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( ( `  X )  -  1 )  <  ( `  X
) )
4839, 40, 41, 45, 47lelttrd 8056 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  B  <  ( `  X ) )
4939, 48gtned 8044 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( `  X
)  =/=  B )
50 fvunsng 5702 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( 1 ... ( `  X
) )  /\  ( `  X )  =/=  B
)  ->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B
)  =  ( G `
 B ) )
5135, 49, 50syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B
)  =  ( G `
 B ) )
5233, 51breq12d 4011 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( (
( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A )  <  (
( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B )  <->  ( G `  A )  <  ( G `  B )
) )
536, 52bitr4d 191 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( A  <  B  <->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A
)  <  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B
) ) )
5429adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e. 
{ ( `  X
) } )  ->  A  <  ( `  X )
)
55 elsni 3607 . . . . . 6  |-  ( B  e.  { ( `  X
) }  ->  B  =  ( `  X )
)
5655adantl 277 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e. 
{ ( `  X
) } )  ->  B  =  ( `  X
) )
5754, 56breqtrrd 4026 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e. 
{ ( `  X
) } )  ->  A  <  B )
58 isof1o 5798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G 
Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) ,  ( X  \  { M } ) )  ->  G : ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) -1-1-onto-> ( X 
\  { M }
) )
591, 58syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) -1-1-onto-> ( X 
\  { M }
) )
60 f1of 5453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) -1-1-onto-> ( X  \  { M } )  ->  G : ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) --> ( X 
\  { M }
) )
6159, 60syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) --> ( X  \  { M } ) )
6261ffvelcdmda 5643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( G `  A )  e.  ( X  \  { M } ) )
6362eldifbd 3139 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  -.  ( G `  A )  e.  { M } )
64 elsn2g 3622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  X  ->  (
( G `  A
)  e.  { M } 
<->  ( G `  A
)  =  M ) )
6523, 64syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( G `  A )  e.  { M }  <->  ( G `  A )  =  M ) )
6665adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( ( G `  A )  e.  { M }  <->  ( G `  A )  =  M ) )
6763, 66mtbid 672 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  -.  ( G `  A )  =  M )
68 breq1 4001 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( G `  A )  ->  (
z  <_  M  <->  ( G `  A )  <_  M
) )
69 zfz1isolemiso.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. z  e.  X  z  <_  M )
7069adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  A. z  e.  X  z  <_  M )
7162eldifad 3138 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( G `  A )  e.  X
)
7268, 70, 71rspcdva 2844 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( G `  A )  <_  M
)
73 zfz1isolemiso.xz . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  C_  ZZ )
7473adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  X  C_  ZZ )
7574, 71sseldd 3154 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( G `  A )  e.  ZZ )
7673, 23sseldd 3154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
7776adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
78 zleloe 9271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G `  A
)  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( G `  A )  <_  M  <->  ( ( G `  A
)  <  M  \/  ( G `  A )  =  M ) ) )
7975, 77, 78syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( ( G `  A )  <_  M  <->  ( ( G `
 A )  < 
M  \/  ( G `
 A )  =  M ) ) )
8072, 79mpbid 147 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( ( G `  A )  <  M  \/  ( G `
 A )  =  M ) )
8167, 80ecased 1349 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( G `  A )  <  M
)
8215nn0zd 9344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( `  X )  e.  ZZ )
83 peano2zm 9262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `  X )  e.  ZZ  ->  ( ( `  X
)  -  1 )  e.  ZZ )
8482, 83syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( `  X
)  -  1 )  e.  ZZ )
85 zltnle 9270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( `  X
)  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( `  X )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( `  X )  -  1 )  <  ( `  X
)  <->  -.  ( `  X
)  <_  ( ( `  X )  -  1 ) ) )
8684, 82, 85syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( `  X
)  -  1 )  <  ( `  X )  <->  -.  ( `  X )  <_  ( ( `  X
)  -  1 ) ) )
8746, 86mpbid 147 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  ( `  X
)  <_  ( ( `  X )  -  1 ) )
8825breq2d 4010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( `  X
)  <_  ( `  ( X  \  { M }
) )  <->  ( `  X
)  <_  ( ( `  X )  -  1 ) ) )
8987, 88mtbird 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  ( `  X
)  <_  ( `  ( X  \  { M }
) ) )
90 elfzle2 9996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `  X )  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) )  -> 
( `  X )  <_ 
( `  ( X  \  { M } ) ) )
9189, 90nsyl 628 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  ( `  X
)  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )
92 fdm 5363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G : ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) --> ( X 
\  { M }
)  ->  dom  G  =  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )
9361, 92syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  G  =  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )
9491, 93neleqtrrd 2274 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  ( `  X
)  e.  dom  G
)
95 fsnunfv 5709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `  X )  e.  NN0  /\  M  e.  X  /\  -.  ( `  X )  e.  dom  G )  ->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  ( `  X ) )  =  M )
9615, 23, 94, 95syl3anc 1238 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( G  u.  {
<. ( `  X ) ,  M >. } ) `  ( `  X ) )  =  M )
9796adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  ( `  X ) )  =  M )
9881, 32, 973brtr4d 4030 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A
)  <  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  ( `  X ) ) )
9998adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e. 
{ ( `  X
) } )  -> 
( ( G  u.  {
<. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A )  <  (
( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  ( `  X ) ) )
10056fveq2d 5511 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e. 
{ ( `  X
) } )  -> 
( ( G  u.  {
<. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B )  =  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  ( `  X ) ) )
10199, 100breqtrrd 4026 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e. 
{ ( `  X
) } )  -> 
( ( G  u.  {
<. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A )  <  (
( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B ) )
10257, 1012thd 175 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  /\  B  e. 
{ ( `  X
) } )  -> 
( A  <  B  <->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A )  <  (
( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B ) ) )
10313, 23zfz1isolemsplit 10784 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( `  X ) )  =  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) )  u.  {
( `  X ) } ) )
10434, 103eleqtrd 2254 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) )  u. 
{ ( `  X
) } ) )
105 elun 3274 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) )  u. 
{ ( `  X
) } )  <->  ( B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) )  \/  B  e.  {
( `  X ) } ) )
106104, 105sylib 122 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) )  \/  B  e.  { ( `  X ) } ) )
107106adantr 276 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) )  \/  B  e.  {
( `  X ) } ) )
10853, 102, 107mpjaodan 798 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) ) )  ->  ( A  <  B  <->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A
)  <  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B
) ) )
10938ad2antrr 488 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  B  e.  RR )
11011ad2antrr 488 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  A  e.  RR )
111 elfzle2 9996 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( 1 ... ( `  X )
)  ->  B  <_  ( `  X ) )
11234, 111syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  <_  ( `  X
) )
113112ad2antrr 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  B  <_  ( `  X ) )
114 elsni 3607 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  { ( `  X
) }  ->  A  =  ( `  X )
)
115114ad2antlr 489 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  A  =  ( `  X ) )
116113, 115breqtrrd 4026 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  B  <_  A
)
117109, 110, 116lensymd 8053 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  -.  A  <  B )
11873ad2antrr 488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  X  C_  ZZ )
11961ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  G : ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) --> ( X  \  { M } ) )
120 simpr 110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )
121119, 120ffvelcdmd 5644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  ( G `  B )  e.  ( X  \  { M } ) )
122121eldifad 3138 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  ( G `  B )  e.  X
)
123118, 122sseldd 3154 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  ( G `  B )  e.  ZZ )
124123zred 9346 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  ( G `  B )  e.  RR )
12576zred 9346 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
126125ad2antrr 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  M  e.  RR )
127 breq1 4001 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( G `  B )  ->  (
z  <_  M  <->  ( G `  B )  <_  M
) )
12869ad2antrr 488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  A. z  e.  X  z  <_  M )
129127, 128, 122rspcdva 2844 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  ( G `  B )  <_  M
)
130124, 126, 129lensymd 8053 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  -.  M  <  ( G `  B ) )
131115fveq2d 5511 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A
)  =  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  ( `  X ) ) )
13296ad2antrr 488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  ( `  X ) )  =  M )
133131, 132eqtrd 2208 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A
)  =  M )
13434ad2antrr 488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  B  e.  ( 1 ... ( `  X
) ) )
13518ad2antrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  ( ( `  X
)  -  1 )  e.  RR )
13616ad2antrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  ( `  X )  e.  RR )
13742adantl 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  B  <_  ( `  ( X  \  { M } ) ) )
13825ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  ( `  ( X  \  { M } ) )  =  ( ( `  X )  -  1 ) )
139137, 138breqtrd 4024 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  B  <_  (
( `  X )  - 
1 ) )
14046ad2antrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  ( ( `  X
)  -  1 )  <  ( `  X )
)
141109, 135, 136, 139, 140lelttrd 8056 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  B  <  ( `  X ) )
142109, 141gtned 8044 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  ( `  X )  =/=  B )
143134, 142, 50syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B
)  =  ( G `
 B ) )
144133, 143breq12d 4011 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  ( ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A
)  <  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B
)  <->  M  <  ( G `
 B ) ) )
145130, 144mtbird 673 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  -.  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A
)  <  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B
) )
146117, 1452falsed 702 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) ) )  ->  ( A  < 
B  <->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A
)  <  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B
) ) )
14738ad2antrr 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  { ( `  X ) } )  ->  B  e.  RR )
148147ltnrd 8043 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  { ( `  X ) } )  ->  -.  B  <  B )
149114ad2antlr 489 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  { ( `  X ) } )  ->  A  =  ( `  X ) )
15055adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  { ( `  X ) } )  ->  B  =  ( `  X ) )
151149, 150eqtr4d 2211 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  { ( `  X ) } )  ->  A  =  B )
152151breq1d 4008 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  { ( `  X ) } )  ->  ( A  < 
B  <->  B  <  B ) )
153148, 152mtbird 673 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  { ( `  X ) } )  ->  -.  A  <  B )
154125ad2antrr 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  { ( `  X ) } )  ->  M  e.  RR )
155154ltnrd 8043 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  { ( `  X ) } )  ->  -.  M  <  M )
156149fveq2d 5511 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  { ( `  X ) } )  ->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A
)  =  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  ( `  X ) ) )
15796ad2antrr 488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  { ( `  X ) } )  ->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  ( `  X ) )  =  M )
158156, 157eqtrd 2208 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  { ( `  X ) } )  ->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A
)  =  M )
159150fveq2d 5511 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  { ( `  X ) } )  ->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B
)  =  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  ( `  X ) ) )
160159, 157eqtrd 2208 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  { ( `  X ) } )  ->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B
)  =  M )
161158, 160breq12d 4011 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  { ( `  X ) } )  ->  ( ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A
)  <  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B
)  <->  M  <  M ) )
162155, 161mtbird 673 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  { ( `  X ) } )  ->  -.  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A
)  <  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B
) )
163153, 1622falsed 702 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  { ( `  X
) } )  /\  B  e.  { ( `  X ) } )  ->  ( A  < 
B  <->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A
)  <  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B
) ) )
164106adantr 276 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  { ( `  X ) } )  ->  ( B  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) )  \/  B  e.  { ( `  X ) } ) )
165146, 163, 164mpjaodan 798 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  { ( `  X ) } )  ->  ( A  <  B  <->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A
)  <  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B
) ) )
1667, 103eleqtrd 2254 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) )  u. 
{ ( `  X
) } ) )
167 elun 3274 . . 3  |-  ( A  e.  ( ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) )  u. 
{ ( `  X
) } )  <->  ( A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M } ) ) )  \/  A  e.  {
( `  X ) } ) )
168166, 167sylib 122 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( 1 ... ( `  ( X  \  { M }
) ) )  \/  A  e.  { ( `  X ) } ) )
169108, 165, 168mpjaodan 798 1  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( ( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  A )  <  (
( G  u.  { <. ( `  X ) ,  M >. } ) `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708    = wceq 1353    e. wcel 2146    =/= wne 2345   A.wral 2453    \ cdif 3124    u. cun 3125    C_ wss 3127   {csn 3589   <.cop 3592   class class class wbr 3998   dom cdm 4620   -->wf 5204   -1-1-onto->wf1o 5207   ` cfv 5208    Isom wiso 5209  (class class class)co 5865   Fincfn 6730   RRcr 7785   1c1 7787    < clt 7966    <_ cle 7967    - cmin 8102   NN0cn0 9147   ZZcz 9224   ...cfz 9977  ♯chash 10721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-frec 6382  df-1o 6407  df-oadd 6411  df-er 6525  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8891  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-fz 9978  df-ihash 10722
This theorem is referenced by:  zfz1isolem1  10786
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