Theorem eldifad 3231

Description: If a class is in the difference of two classes, it is also in the minuend. One-way deduction form of eldif 3229. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldifad.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
eldifad	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem eldifad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifad.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶))
2		eldif 3229	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))
3	1, 2	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))
4	3	simpld 112	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   ∖ cdif 3217

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222

This theorem is used by:  fvdifsuppst  6484  fimax2gtri  7206  finexdc  7207  elssdc  7209  unfidisj  7229  undifdc  7231  ssfirab  7244  fnfi  7250  iunfidisj  7260  fissfi  7263  dcfi  7315  hashunlem  11244  hashf1lem2  11286  zfz1isolemiso  11291  fsumrelem  12238  fprodcl2lem  12372  fprodap0  12388  fprodrec  12396  fprodap0f  12403  fprodle  12407  ballotfilemcdc  13223  gsumclfi  14159  gsummptfidmadd  14161  gsumsubmclfi  14163  gsumfsum  14923  iuncld  15216  fsumcncntop  15668  gausslemma2dlem0i  16176  gausslemma2dlem4  16183  gausslemma2dlem5a  16184  gausslemma2dlem7  16187  lgseisenlem1  16189  lgseisenlem2  16190  lgseisenlem3  16191  lgseisenlem4  16192  lgseisen  16193  lgsquadlem1  16196  lgsquadlem2  16197  lgsquadlem3  16198  1loopgrvd0fi  16547  bj-charfun  16833