Theorem eldifad 3212

Description: If a class is in the difference of two classes, it is also in the minuend. One-way deduction form of eldif 3210. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldifad.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
eldifad	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem eldifad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifad.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶))
2		eldif 3210	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))
3	1, 2	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))
4	3	simpld 112	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202   ∖ cdif 3198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-dif 3203

This theorem is referenced by:  fvdifsuppst  6422  fimax2gtri  7134  finexdc  7135  elssdc  7137  unfidisj  7157  undifdc  7159  ssfirab  7172  fnfi  7178  iunfidisj  7188  dcfi  7240  hashunlem  11130  zfz1isolemiso  11166  fsumrelem  12112  fprodcl2lem  12246  fprodap0  12262  fprodrec  12270  fprodap0f  12277  fprodle  12281  iuncld  14926  fsumcncntop  15378  gausslemma2dlem0i  15876  gausslemma2dlem4  15883  gausslemma2dlem5a  15884  gausslemma2dlem7  15887  lgseisenlem1  15889  lgseisenlem2  15890  lgseisenlem3  15891  lgseisenlem4  15892  lgseisen  15893  lgsquadlem1  15896  lgsquadlem2  15897  lgsquadlem3  15898  1loopgrvd0fi  16247  bj-charfun  16523  gfsumcl  16816