Theorem eldifad 3231

Description: If a class is in the difference of two classes, it is also in the minuend. One-way deduction form of eldif 3229. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldifad.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
eldifad	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem eldifad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifad.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶))
2		eldif 3229	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))
3	1, 2	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))
4	3	simpld 112	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   ∖ cdif 3217

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222

This theorem is used by:  fvdifsuppst  6488  fimax2gtri  7212  finexdc  7213  elssdc  7215  unfidisj  7235  undifdc  7237  ssfirab  7250  fnfi  7256  iunfidisj  7266  fissfi  7269  funisfsuppdc  7298  dcfi  7320  hashunlem  11265  hashf1lem2  11307  zfz1isolemiso  11312  fiidxsupcl  12017  fsumrelem  12262  fprodcl2lem  12396  fprodap0  12412  fprodrec  12420  fprodap0f  12427  fprodle  12431  ballotfilemcdc  13280  gsumclfi  14248  gsummptfidmadd  14250  gsumsubmclfi  14252  gsummptfidmsplit  14253  gsumresfi  14262  gsum2dfilem2  14271  gsumfsum  15031  psrbagmaxlem1  15178  psrlidmfi  15208  psrridmfi  15209  mplsubgfilemcl  15232  mplsubgfileminv  15233  iuncld  15358  fsumcncntop  15810  gausslemma2dlem0i  16398  gausslemma2dlem4  16405  gausslemma2dlem5a  16406  gausslemma2dlem7  16409  lgseisenlem1  16411  lgseisenlem2  16412  lgseisenlem3  16413  lgseisenlem4  16414  lgseisen  16415  lgsquadlem1  16418  lgsquadlem2  16419  lgsquadlem3  16420  1loopgrvd0fi  16769  bj-charfun  17055