Theorem eldifad 3225

Description: If a class is in the difference of two classes, it is also in the minuend. One-way deduction form of eldif 3223. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldifad.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
eldifad	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem eldifad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifad.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶))
2		eldif 3223	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))
3	1, 2	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))
4	3	simpld 112	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2205   ∖ cdif 3211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-dif 3216

This theorem is referenced by:  fvdifsuppst  6457  fimax2gtri  7172  finexdc  7173  elssdc  7175  unfidisj  7195  undifdc  7197  ssfirab  7210  fnfi  7216  iunfidisj  7226  fissfi  7229  dcfi  7281  hashunlem  11193  zfz1isolemiso  11236  fsumrelem  12182  fprodcl2lem  12316  fprodap0  12332  fprodrec  12340  fprodap0f  12347  fprodle  12351  ballotfilemcdc  13167  gfsumcl  14110  iuncld  15106  fsumcncntop  15558  gausslemma2dlem0i  16056  gausslemma2dlem4  16063  gausslemma2dlem5a  16064  gausslemma2dlem7  16067  lgseisenlem1  16069  lgseisenlem2  16070  lgseisenlem3  16071  lgseisenlem4  16072  lgseisen  16073  lgsquadlem1  16076  lgsquadlem2  16077  lgsquadlem3  16078  1loopgrvd0fi  16427  bj-charfun  16703