Theorem fiunsnnn 6980

Description: Adding one element to a finite set which is equinumerous to a natural number. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fiunsnnn	|- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( N e. om /\ A ~~ N ) ) -> ( A u. { B } ) ~~ suc N )

Proof of Theorem fiunsnnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 531	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( N e. om /\ A ~~ N ) ) -> A ~~ N )
2		en2sn 6907	. . . 4 |- ( ( B e. ( _V \ A ) /\ N e. om ) -> { B } ~~ { N } )
3	2	ad2ant2lr 510	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( N e. om /\ A ~~ N ) ) -> { B } ~~ { N } )
4		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( N e. om /\ A ~~ N ) ) -> B e. ( _V \ A ) )
5	4	eldifbd 3178	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( N e. om /\ A ~~ N ) ) -> -. B e. A )
6		disjsn 3695	. . . 4 |- ( ( A i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. A )
7	5, 6	sylibr 134	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( N e. om /\ A ~~ N ) ) -> ( A i^i { B } ) = (/) )
8		elirr 4590	. . . . 5 |- -. N e. N
9		disjsn 3695	. . . . 5 |- ( ( N i^i { N } ) = (/) <-> -. N e. N )
10	8, 9	mpbir 146	. . . 4 |- ( N i^i { N } ) = (/)
11	10	a1i 9	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( N e. om /\ A ~~ N ) ) -> ( N i^i { N } ) = (/) )
12		unen 6910	. . 3 |- ( ( ( A ~~ N /\ { B } ~~ { N } ) /\ ( ( A i^i { B } ) = (/) /\ ( N i^i { N } ) = (/) ) ) -> ( A u. { B } ) ~~ ( N u. { N } ) )
13	1, 3, 7, 11, 12	syl22anc 1251	. 2 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( N e. om /\ A ~~ N ) ) -> ( A u. { B } ) ~~ ( N u. { N } ) )
14		df-suc 4419	. 2 |- suc N = ( N u. { N } )
15	13, 14	breqtrrdi 4087	1 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( N e. om /\ A ~~ N ) ) -> ( A u. { B } ) ~~ suc N )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   \ cdif 3163   u. cun 3164   i^i cin 3165   (/)c0 3460   {csn 3633   class class class wbr 4045   suc csuc 4413   omcom 4639   ~~ cen 6827   Fincfn 6829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-suc 4419  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-1o 6504  df-er 6622  df-en 6830

This theorem is referenced by:  php5fin  6981  hashunlem  10951