Theorem fiunsnnn 7151

Description: Adding one element to a finite set which is equinumerous to a natural number. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fiunsnnn	|- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( N e. om /\ A ~~ N ) ) -> ( A u. { B } ) ~~ suc N )

Proof of Theorem fiunsnnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 533	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( N e. om /\ A ~~ N ) ) -> A ~~ N )
2		en2sn 7068	. . . 4 |- ( ( B e. ( _V \ A ) /\ N e. om ) -> { B } ~~ { N } )
3	2	ad2ant2lr 510	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( N e. om /\ A ~~ N ) ) -> { B } ~~ { N } )
4		simplr 529	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( N e. om /\ A ~~ N ) ) -> B e. ( _V \ A ) )
5	4	eldifbd 3226	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( N e. om /\ A ~~ N ) ) -> -. B e. A )
6		disjsn 3756	. . . 4 |- ( ( A i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. A )
7	5, 6	sylibr 134	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( N e. om /\ A ~~ N ) ) -> ( A i^i { B } ) = (/) )
8		elirr 4668	. . . . 5 |- -. N e. N
9		disjsn 3756	. . . . 5 |- ( ( N i^i { N } ) = (/) <-> -. N e. N )
10	8, 9	mpbir 146	. . . 4 |- ( N i^i { N } ) = (/)
11	10	a1i 9	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( N e. om /\ A ~~ N ) ) -> ( N i^i { N } ) = (/) )
12		unen 7071	. . 3 |- ( ( ( A ~~ N /\ { B } ~~ { N } ) /\ ( ( A i^i { B } ) = (/) /\ ( N i^i { N } ) = (/) ) ) -> ( A u. { B } ) ~~ ( N u. { N } ) )
13	1, 3, 7, 11, 12	syl22anc 1275	. 2 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( N e. om /\ A ~~ N ) ) -> ( A u. { B } ) ~~ ( N u. { N } ) )
14		df-suc 4497	. 2 |- suc N = ( N u. { N } )
15	13, 14	breqtrrdi 4156	1 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( N e. om /\ A ~~ N ) ) -> ( A u. { B } ) ~~ suc N )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   \ cdif 3211   u. cun 3212   i^i cin 3213   (/)c0 3512   {csn 3694   class class class wbr 4114   suc csuc 4491   omcom 4717   ~~ cen 6986   Fincfn 6988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-suc 4497  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989

This theorem is referenced by:  php5fin  7152  hashunlem  11193