ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fiunsnnn Unicode version

Theorem fiunsnnn 6875
Description: Adding one element to a finite set which is equinumerous to a natural number. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
fiunsnnn  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V 
\  A ) )  /\  ( N  e. 
om  /\  A  ~~  N ) )  -> 
( A  u.  { B } )  ~~  suc  N )

Proof of Theorem fiunsnnn
StepHypRef Expression
1 simprr 531 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V 
\  A ) )  /\  ( N  e. 
om  /\  A  ~~  N ) )  ->  A  ~~  N )
2 en2sn 6807 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( _V 
\  A )  /\  N  e.  om )  ->  { B }  ~~  { N } )
32ad2ant2lr 510 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V 
\  A ) )  /\  ( N  e. 
om  /\  A  ~~  N ) )  ->  { B }  ~~  { N } )
4 simplr 528 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V 
\  A ) )  /\  ( N  e. 
om  /\  A  ~~  N ) )  ->  B  e.  ( _V  \  A ) )
54eldifbd 3141 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V 
\  A ) )  /\  ( N  e. 
om  /\  A  ~~  N ) )  ->  -.  B  e.  A
)
6 disjsn 3653 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  { B } )  =  (/)  <->  -.  B  e.  A )
75, 6sylibr 134 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V 
\  A ) )  /\  ( N  e. 
om  /\  A  ~~  N ) )  -> 
( A  i^i  { B } )  =  (/) )
8 elirr 4537 . . . . 5  |-  -.  N  e.  N
9 disjsn 3653 . . . . 5  |-  ( ( N  i^i  { N } )  =  (/)  <->  -.  N  e.  N )
108, 9mpbir 146 . . . 4  |-  ( N  i^i  { N }
)  =  (/)
1110a1i 9 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V 
\  A ) )  /\  ( N  e. 
om  /\  A  ~~  N ) )  -> 
( N  i^i  { N } )  =  (/) )
12 unen 6810 . . 3  |-  ( ( ( A  ~~  N  /\  { B }  ~~  { N } )  /\  ( ( A  i^i  { B } )  =  (/)  /\  ( N  i^i  { N } )  =  (/) ) )  ->  ( A  u.  { B } )  ~~  ( N  u.  { N } ) )
131, 3, 7, 11, 12syl22anc 1239 . 2  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V 
\  A ) )  /\  ( N  e. 
om  /\  A  ~~  N ) )  -> 
( A  u.  { B } )  ~~  ( N  u.  { N } ) )
14 df-suc 4368 . 2  |-  suc  N  =  ( N  u.  { N } )
1513, 14breqtrrdi 4042 1  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V 
\  A ) )  /\  ( N  e. 
om  /\  A  ~~  N ) )  -> 
( A  u.  { B } )  ~~  suc  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   _Vcvv 2737    \ cdif 3126    u. cun 3127    i^i cin 3128   (/)c0 3422   {csn 3591   class class class wbr 4000   suc csuc 4362   omcom 4586    ~~ cen 6732   Fincfn 6734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-suc 4368  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-1o 6411  df-er 6529  df-en 6735
This theorem is referenced by:  php5fin  6876  hashunlem  10765
  Copyright terms: Public domain W3C validator