ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fiunsnnn Unicode version

Theorem fiunsnnn 6775
Description: Adding one element to a finite set which is equinumerous to a natural number. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
fiunsnnn  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V 
\  A ) )  /\  ( N  e. 
om  /\  A  ~~  N ) )  -> 
( A  u.  { B } )  ~~  suc  N )

Proof of Theorem fiunsnnn
StepHypRef Expression
1 simprr 521 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V 
\  A ) )  /\  ( N  e. 
om  /\  A  ~~  N ) )  ->  A  ~~  N )
2 en2sn 6707 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( _V 
\  A )  /\  N  e.  om )  ->  { B }  ~~  { N } )
32ad2ant2lr 501 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V 
\  A ) )  /\  ( N  e. 
om  /\  A  ~~  N ) )  ->  { B }  ~~  { N } )
4 simplr 519 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V 
\  A ) )  /\  ( N  e. 
om  /\  A  ~~  N ) )  ->  B  e.  ( _V  \  A ) )
54eldifbd 3083 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V 
\  A ) )  /\  ( N  e. 
om  /\  A  ~~  N ) )  ->  -.  B  e.  A
)
6 disjsn 3585 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  { B } )  =  (/)  <->  -.  B  e.  A )
75, 6sylibr 133 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V 
\  A ) )  /\  ( N  e. 
om  /\  A  ~~  N ) )  -> 
( A  i^i  { B } )  =  (/) )
8 elirr 4456 . . . . 5  |-  -.  N  e.  N
9 disjsn 3585 . . . . 5  |-  ( ( N  i^i  { N } )  =  (/)  <->  -.  N  e.  N )
108, 9mpbir 145 . . . 4  |-  ( N  i^i  { N }
)  =  (/)
1110a1i 9 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V 
\  A ) )  /\  ( N  e. 
om  /\  A  ~~  N ) )  -> 
( N  i^i  { N } )  =  (/) )
12 unen 6710 . . 3  |-  ( ( ( A  ~~  N  /\  { B }  ~~  { N } )  /\  ( ( A  i^i  { B } )  =  (/)  /\  ( N  i^i  { N } )  =  (/) ) )  ->  ( A  u.  { B } )  ~~  ( N  u.  { N } ) )
131, 3, 7, 11, 12syl22anc 1217 . 2  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V 
\  A ) )  /\  ( N  e. 
om  /\  A  ~~  N ) )  -> 
( A  u.  { B } )  ~~  ( N  u.  { N } ) )
14 df-suc 4293 . 2  |-  suc  N  =  ( N  u.  { N } )
1513, 14breqtrrdi 3970 1  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V 
\  A ) )  /\  ( N  e. 
om  /\  A  ~~  N ) )  -> 
( A  u.  { B } )  ~~  suc  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   _Vcvv 2686    \ cdif 3068    u. cun 3069    i^i cin 3070   (/)c0 3363   {csn 3527   class class class wbr 3929   suc csuc 4287   omcom 4504    ~~ cen 6632   Fincfn 6634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-suc 4293  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635
This theorem is referenced by:  php5fin  6776  hashunlem  10562
  Copyright terms: Public domain W3C validator