Theorem eldifbd 3232

Description: If a class is in the difference of two classes, it is not in the subtrahend. One-way deduction form of eldif 3229. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldifbd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
eldifbd	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐶)

Proof of Theorem eldifbd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifbd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶))
2		eldif 3229	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))
3	1, 2	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))
4	3	simprd 114	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   ∖ cdif 3217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222

This theorem is referenced by:  fvdifsuppst  6474  fidifsnen  7162  fiunsnnn  7175  fimax2gtri  7196  unfidisj  7219  ssfirab  7234  fnfi  7240  iunfidisj  7250  mapfi  7251  hashunlem  11222  hashxp  11245  hashf1lem2  11264  zfz1isolemiso  11269  fsumconst  12199  fsumrelem  12216  fprodcl2lem  12350  fprodconst  12365  fprodap0  12366  fprodrec  12374  fprodap0f  12381  fprodle  12385  fprodmodd  12386  gsumzfi  14135  gsumclfi  14136  gsummptfidmadd  14138  gsumsubmclfi  14140  gsumconstcmn  14143  gsumfsum  14895  fsumcncntop  15591  1loopgrvd0fi  16461  bj-charfun  16747  bj-charfundc  16748