Theorem eldifbd 3232

Description: If a class is in the difference of two classes, it is not in the subtrahend. One-way deduction form of eldif 3229. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldifbd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
eldifbd	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐶)

Proof of Theorem eldifbd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifbd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶))
2		eldif 3229	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))
3	1, 2	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))
4	3	simprd 114	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   ∖ cdif 3217

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222

This theorem is used by:  fvdifsuppst  6484  fidifsnen  7172  fiunsnnn  7185  fimax2gtri  7206  unfidisj  7229  ssfirab  7244  fnfi  7250  iunfidisj  7260  mapfi  7261  hashunlem  11258  hashxp  11281  hashf1lem2  11300  zfz1isolemiso  11305  fsumconst  12237  fsumrelem  12254  fprodcl2lem  12388  fprodconst  12403  fprodap0  12404  fprodrec  12412  fprodap0f  12419  fprodle  12423  fprodmodd  12424  gsumzfi  14207  gsumclfi  14208  gsummptfidmadd  14210  gsumsubmclfi  14212  gsumconstcmn  14215  gsumfsum  14972  fsumcncntop  15717  1loopgrvd0fi  16645  bj-charfun  16931  bj-charfundc  16932