Theorem fsumconst 11395

Description: The sum of constant terms ( k is not free in B). (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fsumconst	|- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> sum_ k e. A B = ( (♯ ` A ) x. B ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k

Proof of Theorem fsumconst

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1 11296	. . 3 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. (/) B )
2		fveq2 5486	. . . 4 |- ( w = (/) -> (♯ ` w ) = (♯ ` (/) ) )
3	2	oveq1d 5857	. . 3 |- ( w = (/) -> ( (♯ ` w ) x. B ) = ( (♯ ` (/) ) x. B ) )
4	1, 3	eqeq12d 2180	. 2 |- ( w = (/) -> ( sum_ k e. w B = ( (♯ ` w ) x. B ) <-> sum_ k e. (/) B = ( (♯ ` (/) ) x. B ) ) )
5		sumeq1 11296	. . 3 |- ( w = y -> sum_ k e. w B = sum_ k e. y B )
6		fveq2 5486	. . . 4 |- ( w = y -> (♯ ` w ) = (♯ ` y ) )
7	6	oveq1d 5857	. . 3 |- ( w = y -> ( (♯ ` w ) x. B ) = ( (♯ ` y ) x. B ) )
8	5, 7	eqeq12d 2180	. 2 |- ( w = y -> ( sum_ k e. w B = ( (♯ ` w ) x. B ) <-> sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) )
9		sumeq1 11296	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. ( y u. { z } ) B )
10		fveq2 5486	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> (♯ ` w ) = (♯ ` ( y u. { z } ) ) )
11	10	oveq1d 5857	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( (♯ ` w ) x. B ) = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. B ) )
12	9, 11	eqeq12d 2180	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( sum_ k e. w B = ( (♯ ` w ) x. B ) <-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. B ) ) )
13		sumeq1 11296	. . 3 |- ( w = A -> sum_ k e. w B = sum_ k e. A B )
14		fveq2 5486	. . . 4 |- ( w = A -> (♯ ` w ) = (♯ ` A ) )
15	14	oveq1d 5857	. . 3 |- ( w = A -> ( (♯ ` w ) x. B ) = ( (♯ ` A ) x. B ) )
16	13, 15	eqeq12d 2180	. 2 |- ( w = A -> ( sum_ k e. w B = ( (♯ ` w ) x. B ) <-> sum_ k e. A B = ( (♯ ` A ) x. B ) ) )
17		sum0 11329	. . 3 |- sum_ k e. (/) B = 0
18		hash0 10710	. . . . 5 |- (♯ ` (/) ) = 0
19	18	oveq1i 5852	. . . 4 |- ( (♯ ` (/) ) x. B ) = ( 0 x. B )
20		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> B e. CC )
21	20	mul02d 8290	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> ( 0 x. B ) = 0 )
22	19, 21	syl5eq 2211	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> ( (♯ ` (/) ) x. B ) = 0 )
23	17, 22	eqtr4id 2218	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> sum_ k e. (/) B = ( (♯ ` (/) ) x. B ) )
24		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) )
25		vex 2729	. . . . . . . 8 |- z e. _V
26		eqidd 2166	. . . . . . . . 9 |- ( k = z -> B = B )
27	26	sumsn 11352	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. _V /\ B e. CC ) -> sum_ k e. { z } B = B )
28	25, 27	mpan 421	. . . . . . 7 |- ( B e. CC -> sum_ k e. { z } B = B )
29	28	ad4antlr 487	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> sum_ k e. { z } B = B )
30	24, 29	oveq12d 5860	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> ( sum_ k e. y B + sum_ k e. { z } B ) = ( ( (♯ ` y ) x. B ) + B ) )
31		simprr 522	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
32	31	eldifbd 3128	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
33		disjsn 3638	. . . . . . . 8 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
34	32, 33	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
35		eqidd 2166	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( y u. { z } ) = ( y u. { z } ) )
36		simplr 520	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
37		snfig 6780	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. _V -> { z } e. Fin )
38	37	elv 2730	. . . . . . . . 9 |- { z } e. Fin
39	38	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> { z } e. Fin )
40		unfidisj 6887	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. Fin /\ { z } e. Fin /\ ( y i^i { z } ) = (/) ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
41	36, 39, 34, 40	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
42		simp-4r 532	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> B e. CC )
43	34, 35, 41, 42	fsumsplit 11348	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + sum_ k e. { z } B ) )
44	43	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + sum_ k e. { z } B ) )
45		hashcl 10694	. . . . . . . 8 |- ( y e. Fin -> (♯ ` y ) e. NN0 )
46	45	ad3antlr 485	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> (♯ ` y ) e. NN0 )
47	46	nn0cnd 9169	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> (♯ ` y ) e. CC )
48		simp-4r 532	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> B e. CC )
49	47, 48	adddirp1d 7925	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> ( ( (♯ ` y ) + 1 ) x. B ) = ( ( (♯ ` y ) x. B ) + B ) )
50	30, 44, 49	3eqtr4d 2208	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( ( (♯ ` y ) + 1 ) x. B ) )
51	36	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> y e. Fin )
52	38	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> { z } e. Fin )
53	34	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
54		hashun 10718	. . . . . . 7 |- ( ( y e. Fin /\ { z } e. Fin /\ ( y i^i { z } ) = (/) ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + (♯ ` { z } ) ) )
55	51, 52, 53, 54	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + (♯ ` { z } ) ) )
56		hashsng 10711	. . . . . . . 8 |- ( z e. _V -> (♯ ` { z } ) = 1 )
57	56	elv 2730	. . . . . . 7 |- (♯ ` { z } ) = 1
58	57	oveq2i 5853	. . . . . 6 |- ( (♯ ` y ) + (♯ ` { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 )
59	55, 58	eqtrdi 2215	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 ) )
60	59	oveq1d 5857	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. B ) = ( ( (♯ ` y ) + 1 ) x. B ) )
61	50, 60	eqtr4d 2201	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. B ) )
62	61	ex 114	. 2 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. B ) ) )
63		simpl 108	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> A e. Fin )
64	4, 8, 12, 16, 23, 62, 63	findcard2sd 6858	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> sum_ k e. A B = ( (♯ ` A ) x. B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   \ cdif 3113   u. cun 3114   i^i cin 3115   C_ wss 3116   (/)c0 3409   {csn 3576   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   Fincfn 6706   CCcc 7751   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   x. cmul 7758   NN0cn0 9114  ♯chash 10688   sum_csu 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295

This theorem is referenced by:  fsumdifsnconst  11396  hashiun  11419  hash2iun1dif1  11421  mertenslemi1  11476  sumhashdc  12277