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Theorem fsumconst 10844
Description: The sum of constant terms ( k is not free in  B). (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
fsumconst  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  ( ( `  A )  x.  B
) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k

Proof of Theorem fsumconst
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumeq1 10740 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
2 fveq2 5305 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( `  w
)  =  ( `  (/) ) )
32oveq1d 5667 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( `  w )  x.  B
)  =  ( ( `  (/) )  x.  B
) )
41, 3eqeq12d 2102 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  ( sum_ k  e.  w  B  =  ( ( `  w
)  x.  B )  <->  sum_ k  e.  (/)  B  =  ( ( `  (/) )  x.  B ) ) )
5 sumeq1 10740 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  y  B )
6 fveq2 5305 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  ( `  w )  =  ( `  y ) )
76oveq1d 5667 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  (
( `  w )  x.  B )  =  ( ( `  y )  x.  B ) )
85, 7eqeq12d 2102 . 2  |-  ( w  =  y  ->  ( sum_ k  e.  w  B  =  ( ( `  w
)  x.  B )  <->  sum_ k  e.  y  B  =  ( ( `  y
)  x.  B ) ) )
9 sumeq1 10740 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
10 fveq2 5305 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( `  w )  =  ( `  ( y  u.  { z } ) ) )
1110oveq1d 5667 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( `  w
)  x.  B )  =  ( ( `  (
y  u.  { z } ) )  x.  B ) )
129, 11eqeq12d 2102 . 2  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( sum_ k  e.  w  B  =  ( ( `  w )  x.  B )  <->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  ( ( `  (
y  u.  { z } ) )  x.  B ) ) )
13 sumeq1 10740 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  A  B
)
14 fveq2 5305 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  ( `  w )  =  ( `  A ) )
1514oveq1d 5667 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  (
( `  w )  x.  B )  =  ( ( `  A )  x.  B ) )
1613, 15eqeq12d 2102 . 2  |-  ( w  =  A  ->  ( sum_ k  e.  w  B  =  ( ( `  w
)  x.  B )  <->  sum_ k  e.  A  B  =  ( ( `  A
)  x.  B ) ) )
17 hash0 10201 . . . . 5  |-  ( `  (/) )  =  0
1817oveq1i 5662 . . . 4  |-  ( ( `  (/) )  x.  B
)  =  ( 0  x.  B )
19 simpr 108 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
2019mul02d 7868 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  ->  ( 0  x.  B
)  =  0 )
2118, 20syl5eq 2132 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( `  (/) )  x.  B )  =  0 )
22 sum0 10776 . . 3  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
2321, 22syl6reqr 2139 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  (/)  B  =  ( ( `  (/) )  x.  B ) )
24 simpr 108 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  sum_ k  e.  y  B  =  ( ( `  y )  x.  B
) )  ->  sum_ k  e.  y  B  =  ( ( `  y )  x.  B ) )
25 vex 2622 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
26 eqidd 2089 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  z  ->  B  =  B )
2726sumsn 10801 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  _V  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  {
z } B  =  B )
2825, 27mpan 415 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  sum_ k  e.  { z } B  =  B )
2928ad4antlr 479 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  sum_ k  e.  y  B  =  ( ( `  y )  x.  B
) )  ->  sum_ k  e.  { z } B  =  B )
3024, 29oveq12d 5670 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  sum_ k  e.  y  B  =  ( ( `  y )  x.  B
) )  ->  ( sum_ k  e.  y  B  +  sum_ k  e.  {
z } B )  =  ( ( ( `  y )  x.  B
)  +  B ) )
31 simprr 499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  z  e.  ( A  \  y ) )
3231eldifbd 3011 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  -.  z  e.  y )
33 disjsn 3504 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
3432, 33sylibr 132 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( y  i^i 
{ z } )  =  (/) )
35 eqidd 2089 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( y  u. 
{ z } )  =  ( y  u. 
{ z } ) )
36 simplr 497 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  y  e.  Fin )
37 snfig 6529 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  _V  ->  { z }  e.  Fin )
3837elv 2623 . . . . . . . . 9  |-  { z }  e.  Fin
3938a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  { z }  e.  Fin )
40 unfidisj 6630 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin  /\  ( y  i^i  {
z } )  =  (/) )  ->  ( y  u.  { z } )  e.  Fin )
4136, 39, 34, 40syl3anc 1174 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( y  u. 
{ z } )  e.  Fin )
42 simp-4r 509 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  k  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  B  e.  CC )
4334, 35, 41, 42fsumsplit 10797 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  =  ( sum_ k  e.  y  B  +  sum_ k  e.  { z } B
) )
4443adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  sum_ k  e.  y  B  =  ( ( `  y )  x.  B
) )  ->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  ( sum_ k  e.  y  B  +  sum_ k  e.  { z } B ) )
45 hashcl 10185 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( `  y )  e.  NN0 )
4645ad3antlr 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  sum_ k  e.  y  B  =  ( ( `  y )  x.  B
) )  ->  ( `  y )  e.  NN0 )
4746nn0cnd 8726 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  sum_ k  e.  y  B  =  ( ( `  y )  x.  B
) )  ->  ( `  y )  e.  CC )
48 simp-4r 509 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  sum_ k  e.  y  B  =  ( ( `  y )  x.  B
) )  ->  B  e.  CC )
4947, 48adddirp1d 7512 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  sum_ k  e.  y  B  =  ( ( `  y )  x.  B
) )  ->  (
( ( `  y
)  +  1 )  x.  B )  =  ( ( ( `  y
)  x.  B )  +  B ) )
5030, 44, 493eqtr4d 2130 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  sum_ k  e.  y  B  =  ( ( `  y )  x.  B
) )  ->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  ( ( ( `  y )  +  1 )  x.  B ) )
5136adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  sum_ k  e.  y  B  =  ( ( `  y )  x.  B
) )  ->  y  e.  Fin )
5238a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  sum_ k  e.  y  B  =  ( ( `  y )  x.  B
) )  ->  { z }  e.  Fin )
5334adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  sum_ k  e.  y  B  =  ( ( `  y )  x.  B
) )  ->  (
y  i^i  { z } )  =  (/) )
54 hashun 10209 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin  /\  ( y  i^i  {
z } )  =  (/) )  ->  ( `  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( `  y
)  +  ( `  {
z } ) ) )
5551, 52, 53, 54syl3anc 1174 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  sum_ k  e.  y  B  =  ( ( `  y )  x.  B
) )  ->  ( `  ( y  u.  {
z } ) )  =  ( ( `  y
)  +  ( `  {
z } ) ) )
56 hashsng 10202 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  _V  ->  ( `  { z } )  =  1 )
5756elv 2623 . . . . . . 7  |-  ( `  {
z } )  =  1
5857oveq2i 5663 . . . . . 6  |-  ( ( `  y )  +  ( `  { z } ) )  =  ( ( `  y )  +  1 )
5955, 58syl6eq 2136 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  sum_ k  e.  y  B  =  ( ( `  y )  x.  B
) )  ->  ( `  ( y  u.  {
z } ) )  =  ( ( `  y
)  +  1 ) )
6059oveq1d 5667 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  sum_ k  e.  y  B  =  ( ( `  y )  x.  B
) )  ->  (
( `  ( y  u. 
{ z } ) )  x.  B )  =  ( ( ( `  y )  +  1 )  x.  B ) )
6150, 60eqtr4d 2123 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  sum_ k  e.  y  B  =  ( ( `  y )  x.  B
) )  ->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  ( ( `  (
y  u.  { z } ) )  x.  B ) )
6261ex 113 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  y  B  =  ( ( `  y )  x.  B )  ->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  ( ( `  (
y  u.  { z } ) )  x.  B ) ) )
63 simpl 107 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  Fin )
644, 8, 12, 16, 23, 62, 63findcard2sd 6606 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  ( ( `  A )  x.  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438   _Vcvv 2619    \ cdif 2996    u. cun 2997    i^i cin 2998    C_ wss 2999   (/)c0 3286   {csn 3446   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   Fincfn 6455   CCcc 7346   0cc0 7348   1c1 7349    + caddc 7351    x. cmul 7353   NN0cn0 8671  ♯chash 10179   sum_csu 10738
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461  ax-arch 7462  ax-caucvg 7463
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-isom 5024  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-frec 6156  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-er 6290  df-en 6456  df-dom 6457  df-fin 6458  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-2 8479  df-3 8480  df-4 8481  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-q 9103  df-rp 9133  df-fz 9423  df-fzo 9550  df-iseq 9849  df-seq3 9850  df-exp 9951  df-ihash 10180  df-cj 10272  df-re 10273  df-im 10274  df-rsqrt 10427  df-abs 10428  df-clim 10663  df-isum 10739
This theorem is referenced by:  fsumdifsnconst  10845  hashiun  10868  hash2iun1dif1  10870  mertenslemi1  10925
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