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Theorem fsumconst 11497
Description: The sum of constant terms ( k is not free in  B). (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
fsumconst  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  ( ( `  A )  x.  B
) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k

Proof of Theorem fsumconst
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumeq1 11398 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
2 fveq2 5534 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( `  w
)  =  ( `  (/) ) )
32oveq1d 5912 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( `  w )  x.  B
)  =  ( ( `  (/) )  x.  B
) )
41, 3eqeq12d 2204 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  ( sum_ k  e.  w  B  =  ( ( `  w
)  x.  B )  <->  sum_ k  e.  (/)  B  =  ( ( `  (/) )  x.  B ) ) )
5 sumeq1 11398 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  y  B )
6 fveq2 5534 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  ( `  w )  =  ( `  y ) )
76oveq1d 5912 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  (
( `  w )  x.  B )  =  ( ( `  y )  x.  B ) )
85, 7eqeq12d 2204 . 2  |-  ( w  =  y  ->  ( sum_ k  e.  w  B  =  ( ( `  w
)  x.  B )  <->  sum_ k  e.  y  B  =  ( ( `  y
)  x.  B ) ) )
9 sumeq1 11398 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
10 fveq2 5534 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( `  w )  =  ( `  ( y  u.  { z } ) ) )
1110oveq1d 5912 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( `  w
)  x.  B )  =  ( ( `  (
y  u.  { z } ) )  x.  B ) )
129, 11eqeq12d 2204 . 2  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( sum_ k  e.  w  B  =  ( ( `  w )  x.  B )  <->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  ( ( `  (
y  u.  { z } ) )  x.  B ) ) )
13 sumeq1 11398 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  A  B
)
14 fveq2 5534 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  ( `  w )  =  ( `  A ) )
1514oveq1d 5912 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  (
( `  w )  x.  B )  =  ( ( `  A )  x.  B ) )
1613, 15eqeq12d 2204 . 2  |-  ( w  =  A  ->  ( sum_ k  e.  w  B  =  ( ( `  w
)  x.  B )  <->  sum_ k  e.  A  B  =  ( ( `  A
)  x.  B ) ) )
17 sum0 11431 . . 3  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
18 hash0 10811 . . . . 5  |-  ( `  (/) )  =  0
1918oveq1i 5907 . . . 4  |-  ( ( `  (/) )  x.  B
)  =  ( 0  x.  B )
20 simpr 110 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
2120mul02d 8380 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  ->  ( 0  x.  B
)  =  0 )
2219, 21eqtrid 2234 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( `  (/) )  x.  B )  =  0 )
2317, 22eqtr4id 2241 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  (/)  B  =  ( ( `  (/) )  x.  B ) )
24 simpr 110 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  sum_ k  e.  y  B  =  ( ( `  y )  x.  B
) )  ->  sum_ k  e.  y  B  =  ( ( `  y )  x.  B ) )
25 vex 2755 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
26 eqidd 2190 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  z  ->  B  =  B )
2726sumsn 11454 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  _V  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  {
z } B  =  B )
2825, 27mpan 424 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  sum_ k  e.  { z } B  =  B )
2928ad4antlr 495 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  sum_ k  e.  y  B  =  ( ( `  y )  x.  B
) )  ->  sum_ k  e.  { z } B  =  B )
3024, 29oveq12d 5915 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  sum_ k  e.  y  B  =  ( ( `  y )  x.  B
) )  ->  ( sum_ k  e.  y  B  +  sum_ k  e.  {
z } B )  =  ( ( ( `  y )  x.  B
)  +  B ) )
31 simprr 531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  z  e.  ( A  \  y ) )
3231eldifbd 3156 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  -.  z  e.  y )
33 disjsn 3669 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
3432, 33sylibr 134 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( y  i^i 
{ z } )  =  (/) )
35 eqidd 2190 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( y  u. 
{ z } )  =  ( y  u. 
{ z } ) )
36 simplr 528 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  y  e.  Fin )
37 snfig 6841 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  _V  ->  { z }  e.  Fin )
3837elv 2756 . . . . . . . . 9  |-  { z }  e.  Fin
3938a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  { z }  e.  Fin )
40 unfidisj 6951 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin  /\  ( y  i^i  {
z } )  =  (/) )  ->  ( y  u.  { z } )  e.  Fin )
4136, 39, 34, 40syl3anc 1249 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( y  u. 
{ z } )  e.  Fin )
42 simp-4r 542 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  k  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  B  e.  CC )
4334, 35, 41, 42fsumsplit 11450 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  =  ( sum_ k  e.  y  B  +  sum_ k  e.  { z } B
) )
4443adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  sum_ k  e.  y  B  =  ( ( `  y )  x.  B
) )  ->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  ( sum_ k  e.  y  B  +  sum_ k  e.  { z } B ) )
45 hashcl 10796 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( `  y )  e.  NN0 )
4645ad3antlr 493 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  sum_ k  e.  y  B  =  ( ( `  y )  x.  B
) )  ->  ( `  y )  e.  NN0 )
4746nn0cnd 9262 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  sum_ k  e.  y  B  =  ( ( `  y )  x.  B
) )  ->  ( `  y )  e.  CC )
48 simp-4r 542 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  sum_ k  e.  y  B  =  ( ( `  y )  x.  B
) )  ->  B  e.  CC )
4947, 48adddirp1d 8015 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  sum_ k  e.  y  B  =  ( ( `  y )  x.  B
) )  ->  (
( ( `  y
)  +  1 )  x.  B )  =  ( ( ( `  y
)  x.  B )  +  B ) )
5030, 44, 493eqtr4d 2232 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  sum_ k  e.  y  B  =  ( ( `  y )  x.  B
) )  ->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  ( ( ( `  y )  +  1 )  x.  B ) )
5136adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  sum_ k  e.  y  B  =  ( ( `  y )  x.  B
) )  ->  y  e.  Fin )
5238a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  sum_ k  e.  y  B  =  ( ( `  y )  x.  B
) )  ->  { z }  e.  Fin )
5334adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  sum_ k  e.  y  B  =  ( ( `  y )  x.  B
) )  ->  (
y  i^i  { z } )  =  (/) )
54 hashun 10820 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin  /\  ( y  i^i  {
z } )  =  (/) )  ->  ( `  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( `  y
)  +  ( `  {
z } ) ) )
5551, 52, 53, 54syl3anc 1249 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  sum_ k  e.  y  B  =  ( ( `  y )  x.  B
) )  ->  ( `  ( y  u.  {
z } ) )  =  ( ( `  y
)  +  ( `  {
z } ) ) )
56 hashsng 10813 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  _V  ->  ( `  { z } )  =  1 )
5756elv 2756 . . . . . . 7  |-  ( `  {
z } )  =  1
5857oveq2i 5908 . . . . . 6  |-  ( ( `  y )  +  ( `  { z } ) )  =  ( ( `  y )  +  1 )
5955, 58eqtrdi 2238 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  sum_ k  e.  y  B  =  ( ( `  y )  x.  B
) )  ->  ( `  ( y  u.  {
z } ) )  =  ( ( `  y
)  +  1 ) )
6059oveq1d 5912 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  sum_ k  e.  y  B  =  ( ( `  y )  x.  B
) )  ->  (
( `  ( y  u. 
{ z } ) )  x.  B )  =  ( ( ( `  y )  +  1 )  x.  B ) )
6150, 60eqtr4d 2225 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  sum_ k  e.  y  B  =  ( ( `  y )  x.  B
) )  ->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  ( ( `  (
y  u.  { z } ) )  x.  B ) )
6261ex 115 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  y  B  =  ( ( `  y )  x.  B )  ->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  ( ( `  (
y  u.  { z } ) )  x.  B ) ) )
63 simpl 109 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  Fin )
644, 8, 12, 16, 23, 62, 63findcard2sd 6921 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  ( ( `  A )  x.  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1364    e. wcel 2160   _Vcvv 2752    \ cdif 3141    u. cun 3142    i^i cin 3143    C_ wss 3144   (/)c0 3437   {csn 3607   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   Fincfn 6767   CCcc 7840   0cc0 7842   1c1 7843    + caddc 7845    x. cmul 7847   NN0cn0 9207  ♯chash 10790   sum_csu 11396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961  ax-caucvg 7962
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-irdg 6396  df-frec 6417  df-1o 6442  df-oadd 6446  df-er 6560  df-en 6768  df-dom 6769  df-fin 6770  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-rp 9686  df-fz 10041  df-fzo 10175  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-ihash 10791  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043  df-clim 11322  df-sumdc 11397
This theorem is referenced by:  fsumdifsnconst  11498  hashiun  11521  hash2iun1dif1  11523  mertenslemi1  11578  sumhashdc  12382
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