Theorem fsumconst 11684

Description: The sum of constant terms ( k is not free in B). (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fsumconst	|- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> sum_ k e. A B = ( (♯ ` A ) x. B ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k

Proof of Theorem fsumconst

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1 11585	. . 3 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. (/) B )
2		fveq2 5570	. . . 4 |- ( w = (/) -> (♯ ` w ) = (♯ ` (/) ) )
3	2	oveq1d 5949	. . 3 |- ( w = (/) -> ( (♯ ` w ) x. B ) = ( (♯ ` (/) ) x. B ) )
4	1, 3	eqeq12d 2219	. 2 |- ( w = (/) -> ( sum_ k e. w B = ( (♯ ` w ) x. B ) <-> sum_ k e. (/) B = ( (♯ ` (/) ) x. B ) ) )
5		sumeq1 11585	. . 3 |- ( w = y -> sum_ k e. w B = sum_ k e. y B )
6		fveq2 5570	. . . 4 |- ( w = y -> (♯ ` w ) = (♯ ` y ) )
7	6	oveq1d 5949	. . 3 |- ( w = y -> ( (♯ ` w ) x. B ) = ( (♯ ` y ) x. B ) )
8	5, 7	eqeq12d 2219	. 2 |- ( w = y -> ( sum_ k e. w B = ( (♯ ` w ) x. B ) <-> sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) )
9		sumeq1 11585	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. ( y u. { z } ) B )
10		fveq2 5570	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> (♯ ` w ) = (♯ ` ( y u. { z } ) ) )
11	10	oveq1d 5949	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( (♯ ` w ) x. B ) = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. B ) )
12	9, 11	eqeq12d 2219	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( sum_ k e. w B = ( (♯ ` w ) x. B ) <-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. B ) ) )
13		sumeq1 11585	. . 3 |- ( w = A -> sum_ k e. w B = sum_ k e. A B )
14		fveq2 5570	. . . 4 |- ( w = A -> (♯ ` w ) = (♯ ` A ) )
15	14	oveq1d 5949	. . 3 |- ( w = A -> ( (♯ ` w ) x. B ) = ( (♯ ` A ) x. B ) )
16	13, 15	eqeq12d 2219	. 2 |- ( w = A -> ( sum_ k e. w B = ( (♯ ` w ) x. B ) <-> sum_ k e. A B = ( (♯ ` A ) x. B ) ) )
17		sum0 11618	. . 3 |- sum_ k e. (/) B = 0
18		hash0 10922	. . . . 5 |- (♯ ` (/) ) = 0
19	18	oveq1i 5944	. . . 4 |- ( (♯ ` (/) ) x. B ) = ( 0 x. B )
20		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> B e. CC )
21	20	mul02d 8446	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> ( 0 x. B ) = 0 )
22	19, 21	eqtrid 2249	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> ( (♯ ` (/) ) x. B ) = 0 )
23	17, 22	eqtr4id 2256	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> sum_ k e. (/) B = ( (♯ ` (/) ) x. B ) )
24		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) )
25		vex 2774	. . . . . . . 8 |- z e. _V
26		eqidd 2205	. . . . . . . . 9 |- ( k = z -> B = B )
27	26	sumsn 11641	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. _V /\ B e. CC ) -> sum_ k e. { z } B = B )
28	25, 27	mpan 424	. . . . . . 7 |- ( B e. CC -> sum_ k e. { z } B = B )
29	28	ad4antlr 495	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> sum_ k e. { z } B = B )
30	24, 29	oveq12d 5952	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> ( sum_ k e. y B + sum_ k e. { z } B ) = ( ( (♯ ` y ) x. B ) + B ) )
31		simprr 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
32	31	eldifbd 3177	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
33		disjsn 3694	. . . . . . . 8 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
34	32, 33	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
35		eqidd 2205	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( y u. { z } ) = ( y u. { z } ) )
36		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
37		snfig 6891	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. _V -> { z } e. Fin )
38	37	elv 2775	. . . . . . . . 9 |- { z } e. Fin
39	38	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> { z } e. Fin )
40		unfidisj 7001	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. Fin /\ { z } e. Fin /\ ( y i^i { z } ) = (/) ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
41	36, 39, 34, 40	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
42		simp-4r 542	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> B e. CC )
43	34, 35, 41, 42	fsumsplit 11637	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + sum_ k e. { z } B ) )
44	43	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + sum_ k e. { z } B ) )
45		hashcl 10907	. . . . . . . 8 |- ( y e. Fin -> (♯ ` y ) e. NN0 )
46	45	ad3antlr 493	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> (♯ ` y ) e. NN0 )
47	46	nn0cnd 9332	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> (♯ ` y ) e. CC )
48		simp-4r 542	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> B e. CC )
49	47, 48	adddirp1d 8081	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> ( ( (♯ ` y ) + 1 ) x. B ) = ( ( (♯ ` y ) x. B ) + B ) )
50	30, 44, 49	3eqtr4d 2247	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( ( (♯ ` y ) + 1 ) x. B ) )
51	36	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> y e. Fin )
52	38	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> { z } e. Fin )
53	34	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
54		hashun 10931	. . . . . . 7 |- ( ( y e. Fin /\ { z } e. Fin /\ ( y i^i { z } ) = (/) ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + (♯ ` { z } ) ) )
55	51, 52, 53, 54	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + (♯ ` { z } ) ) )
56		hashsng 10924	. . . . . . . 8 |- ( z e. _V -> (♯ ` { z } ) = 1 )
57	56	elv 2775	. . . . . . 7 |- (♯ ` { z } ) = 1
58	57	oveq2i 5945	. . . . . 6 |- ( (♯ ` y ) + (♯ ` { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 )
59	55, 58	eqtrdi 2253	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 ) )
60	59	oveq1d 5949	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. B ) = ( ( (♯ ` y ) + 1 ) x. B ) )
61	50, 60	eqtr4d 2240	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. B ) )
62	61	ex 115	. 2 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. B ) ) )
63		simpl 109	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> A e. Fin )
64	4, 8, 12, 16, 23, 62, 63	findcard2sd 6971	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> sum_ k e. A B = ( (♯ ` A ) x. B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1372   e. wcel 2175   _Vcvv 2771   \ cdif 3162   u. cun 3163   i^i cin 3164   C_ wss 3165   (/)c0 3459   {csn 3632   ` cfv 5268  (class class class)co 5934   Fincfn 6817   CCcc 7905   0cc0 7907   1c1 7908   + caddc 7910   x. cmul 7912   NN0cn0 9277  ♯chash 10901   sum_csu 11583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-iinf 4634  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-mulrcl 8006  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-precex 8017  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023  ax-pre-mulgt0 8024  ax-pre-mulext 8025  ax-arch 8026  ax-caucvg 8027

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4338  df-po 4341  df-iso 4342  df-iord 4411  df-on 4413  df-ilim 4414  df-suc 4416  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-isom 5277  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-recs 6381  df-irdg 6446  df-frec 6467  df-1o 6492  df-oadd 6496  df-er 6610  df-en 6818  df-dom 6819  df-fin 6820  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-reap 8630  df-ap 8637  df-div 8728  df-inn 9019  df-2 9077  df-3 9078  df-4 9079  df-n0 9278  df-z 9355  df-uz 9631  df-q 9723  df-rp 9758  df-fz 10113  df-fzo 10247  df-seqfrec 10574  df-exp 10665  df-ihash 10902  df-cj 11072  df-re 11073  df-im 11074  df-rsqrt 11228  df-abs 11229  df-clim 11509  df-sumdc 11584

This theorem is referenced by:  fsumdifsnconst  11685  hashiun  11708  hash2iun1dif1  11710  mertenslemi1  11765  sumhashdc  12589  0sgm  15375  lgsquadlem1  15472