Theorem fsumconst 11223

Description: The sum of constant terms ( k is not free in B). (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fsumconst	|- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> sum_ k e. A B = ( (♯ ` A ) x. B ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k

Proof of Theorem fsumconst

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1 11124	. . 3 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. (/) B )
2		fveq2 5421	. . . 4 |- ( w = (/) -> (♯ ` w ) = (♯ ` (/) ) )
3	2	oveq1d 5789	. . 3 |- ( w = (/) -> ( (♯ ` w ) x. B ) = ( (♯ ` (/) ) x. B ) )
4	1, 3	eqeq12d 2154	. 2 |- ( w = (/) -> ( sum_ k e. w B = ( (♯ ` w ) x. B ) <-> sum_ k e. (/) B = ( (♯ ` (/) ) x. B ) ) )
5		sumeq1 11124	. . 3 |- ( w = y -> sum_ k e. w B = sum_ k e. y B )
6		fveq2 5421	. . . 4 |- ( w = y -> (♯ ` w ) = (♯ ` y ) )
7	6	oveq1d 5789	. . 3 |- ( w = y -> ( (♯ ` w ) x. B ) = ( (♯ ` y ) x. B ) )
8	5, 7	eqeq12d 2154	. 2 |- ( w = y -> ( sum_ k e. w B = ( (♯ ` w ) x. B ) <-> sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) )
9		sumeq1 11124	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. ( y u. { z } ) B )
10		fveq2 5421	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> (♯ ` w ) = (♯ ` ( y u. { z } ) ) )
11	10	oveq1d 5789	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( (♯ ` w ) x. B ) = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. B ) )
12	9, 11	eqeq12d 2154	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( sum_ k e. w B = ( (♯ ` w ) x. B ) <-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. B ) ) )
13		sumeq1 11124	. . 3 |- ( w = A -> sum_ k e. w B = sum_ k e. A B )
14		fveq2 5421	. . . 4 |- ( w = A -> (♯ ` w ) = (♯ ` A ) )
15	14	oveq1d 5789	. . 3 |- ( w = A -> ( (♯ ` w ) x. B ) = ( (♯ ` A ) x. B ) )
16	13, 15	eqeq12d 2154	. 2 |- ( w = A -> ( sum_ k e. w B = ( (♯ ` w ) x. B ) <-> sum_ k e. A B = ( (♯ ` A ) x. B ) ) )
17		hash0 10543	. . . . 5 |- (♯ ` (/) ) = 0
18	17	oveq1i 5784	. . . 4 |- ( (♯ ` (/) ) x. B ) = ( 0 x. B )
19		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> B e. CC )
20	19	mul02d 8154	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> ( 0 x. B ) = 0 )
21	18, 20	syl5eq 2184	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> ( (♯ ` (/) ) x. B ) = 0 )
22		sum0 11157	. . 3 |- sum_ k e. (/) B = 0
23	21, 22	syl6reqr 2191	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> sum_ k e. (/) B = ( (♯ ` (/) ) x. B ) )
24		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) )
25		vex 2689	. . . . . . . 8 |- z e. _V
26		eqidd 2140	. . . . . . . . 9 |- ( k = z -> B = B )
27	26	sumsn 11180	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. _V /\ B e. CC ) -> sum_ k e. { z } B = B )
28	25, 27	mpan 420	. . . . . . 7 |- ( B e. CC -> sum_ k e. { z } B = B )
29	28	ad4antlr 486	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> sum_ k e. { z } B = B )
30	24, 29	oveq12d 5792	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> ( sum_ k e. y B + sum_ k e. { z } B ) = ( ( (♯ ` y ) x. B ) + B ) )
31		simprr 521	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
32	31	eldifbd 3083	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
33		disjsn 3585	. . . . . . . 8 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
34	32, 33	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
35		eqidd 2140	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( y u. { z } ) = ( y u. { z } ) )
36		simplr 519	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
37		snfig 6708	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. _V -> { z } e. Fin )
38	37	elv 2690	. . . . . . . . 9 |- { z } e. Fin
39	38	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> { z } e. Fin )
40		unfidisj 6810	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. Fin /\ { z } e. Fin /\ ( y i^i { z } ) = (/) ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
41	36, 39, 34, 40	syl3anc 1216	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
42		simp-4r 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> B e. CC )
43	34, 35, 41, 42	fsumsplit 11176	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + sum_ k e. { z } B ) )
44	43	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + sum_ k e. { z } B ) )
45		hashcl 10527	. . . . . . . 8 |- ( y e. Fin -> (♯ ` y ) e. NN0 )
46	45	ad3antlr 484	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> (♯ ` y ) e. NN0 )
47	46	nn0cnd 9032	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> (♯ ` y ) e. CC )
48		simp-4r 531	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> B e. CC )
49	47, 48	adddirp1d 7792	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> ( ( (♯ ` y ) + 1 ) x. B ) = ( ( (♯ ` y ) x. B ) + B ) )
50	30, 44, 49	3eqtr4d 2182	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( ( (♯ ` y ) + 1 ) x. B ) )
51	36	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> y e. Fin )
52	38	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> { z } e. Fin )
53	34	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
54		hashun 10551	. . . . . . 7 |- ( ( y e. Fin /\ { z } e. Fin /\ ( y i^i { z } ) = (/) ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + (♯ ` { z } ) ) )
55	51, 52, 53, 54	syl3anc 1216	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + (♯ ` { z } ) ) )
56		hashsng 10544	. . . . . . . 8 |- ( z e. _V -> (♯ ` { z } ) = 1 )
57	56	elv 2690	. . . . . . 7 |- (♯ ` { z } ) = 1
58	57	oveq2i 5785	. . . . . 6 |- ( (♯ ` y ) + (♯ ` { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 )
59	55, 58	syl6eq 2188	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 ) )
60	59	oveq1d 5789	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. B ) = ( ( (♯ ` y ) + 1 ) x. B ) )
61	50, 60	eqtr4d 2175	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. B ) )
62	61	ex 114	. 2 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. B ) ) )
63		simpl 108	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> A e. Fin )
64	4, 8, 12, 16, 23, 62, 63	findcard2sd 6786	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> sum_ k e. A B = ( (♯ ` A ) x. B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   \ cdif 3068   u. cun 3069   i^i cin 3070   C_ wss 3071   (/)c0 3363   {csn 3527   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   Fincfn 6634   CCcc 7618   0cc0 7620   1c1 7621   + caddc 7623   x. cmul 7625   NN0cn0 8977  ♯chash 10521   sum_csu 11122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-ihash 10522  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048  df-sumdc 11123

This theorem is referenced by:  fsumdifsnconst  11224  hashiun  11247  hash2iun1dif1  11249  mertenslemi1  11304