Theorem fsumconst 11417

Description: The sum of constant terms ( k is not free in B). (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fsumconst	|- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> sum_ k e. A B = ( (♯ ` A ) x. B ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k

Proof of Theorem fsumconst

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1 11318	. . 3 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. (/) B )
2		fveq2 5496	. . . 4 |- ( w = (/) -> (♯ ` w ) = (♯ ` (/) ) )
3	2	oveq1d 5868	. . 3 |- ( w = (/) -> ( (♯ ` w ) x. B ) = ( (♯ ` (/) ) x. B ) )
4	1, 3	eqeq12d 2185	. 2 |- ( w = (/) -> ( sum_ k e. w B = ( (♯ ` w ) x. B ) <-> sum_ k e. (/) B = ( (♯ ` (/) ) x. B ) ) )
5		sumeq1 11318	. . 3 |- ( w = y -> sum_ k e. w B = sum_ k e. y B )
6		fveq2 5496	. . . 4 |- ( w = y -> (♯ ` w ) = (♯ ` y ) )
7	6	oveq1d 5868	. . 3 |- ( w = y -> ( (♯ ` w ) x. B ) = ( (♯ ` y ) x. B ) )
8	5, 7	eqeq12d 2185	. 2 |- ( w = y -> ( sum_ k e. w B = ( (♯ ` w ) x. B ) <-> sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) )
9		sumeq1 11318	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. ( y u. { z } ) B )
10		fveq2 5496	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> (♯ ` w ) = (♯ ` ( y u. { z } ) ) )
11	10	oveq1d 5868	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( (♯ ` w ) x. B ) = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. B ) )
12	9, 11	eqeq12d 2185	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( sum_ k e. w B = ( (♯ ` w ) x. B ) <-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. B ) ) )
13		sumeq1 11318	. . 3 |- ( w = A -> sum_ k e. w B = sum_ k e. A B )
14		fveq2 5496	. . . 4 |- ( w = A -> (♯ ` w ) = (♯ ` A ) )
15	14	oveq1d 5868	. . 3 |- ( w = A -> ( (♯ ` w ) x. B ) = ( (♯ ` A ) x. B ) )
16	13, 15	eqeq12d 2185	. 2 |- ( w = A -> ( sum_ k e. w B = ( (♯ ` w ) x. B ) <-> sum_ k e. A B = ( (♯ ` A ) x. B ) ) )
17		sum0 11351	. . 3 |- sum_ k e. (/) B = 0
18		hash0 10731	. . . . 5 |- (♯ ` (/) ) = 0
19	18	oveq1i 5863	. . . 4 |- ( (♯ ` (/) ) x. B ) = ( 0 x. B )
20		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> B e. CC )
21	20	mul02d 8311	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> ( 0 x. B ) = 0 )
22	19, 21	eqtrid 2215	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> ( (♯ ` (/) ) x. B ) = 0 )
23	17, 22	eqtr4id 2222	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> sum_ k e. (/) B = ( (♯ ` (/) ) x. B ) )
24		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) )
25		vex 2733	. . . . . . . 8 |- z e. _V
26		eqidd 2171	. . . . . . . . 9 |- ( k = z -> B = B )
27	26	sumsn 11374	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. _V /\ B e. CC ) -> sum_ k e. { z } B = B )
28	25, 27	mpan 422	. . . . . . 7 |- ( B e. CC -> sum_ k e. { z } B = B )
29	28	ad4antlr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> sum_ k e. { z } B = B )
30	24, 29	oveq12d 5871	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> ( sum_ k e. y B + sum_ k e. { z } B ) = ( ( (♯ ` y ) x. B ) + B ) )
31		simprr 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
32	31	eldifbd 3133	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
33		disjsn 3645	. . . . . . . 8 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
34	32, 33	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
35		eqidd 2171	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( y u. { z } ) = ( y u. { z } ) )
36		simplr 525	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
37		snfig 6792	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. _V -> { z } e. Fin )
38	37	elv 2734	. . . . . . . . 9 |- { z } e. Fin
39	38	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> { z } e. Fin )
40		unfidisj 6899	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. Fin /\ { z } e. Fin /\ ( y i^i { z } ) = (/) ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
41	36, 39, 34, 40	syl3anc 1233	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
42		simp-4r 537	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> B e. CC )
43	34, 35, 41, 42	fsumsplit 11370	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + sum_ k e. { z } B ) )
44	43	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + sum_ k e. { z } B ) )
45		hashcl 10715	. . . . . . . 8 |- ( y e. Fin -> (♯ ` y ) e. NN0 )
46	45	ad3antlr 490	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> (♯ ` y ) e. NN0 )
47	46	nn0cnd 9190	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> (♯ ` y ) e. CC )
48		simp-4r 537	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> B e. CC )
49	47, 48	adddirp1d 7946	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> ( ( (♯ ` y ) + 1 ) x. B ) = ( ( (♯ ` y ) x. B ) + B ) )
50	30, 44, 49	3eqtr4d 2213	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( ( (♯ ` y ) + 1 ) x. B ) )
51	36	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> y e. Fin )
52	38	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> { z } e. Fin )
53	34	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
54		hashun 10740	. . . . . . 7 |- ( ( y e. Fin /\ { z } e. Fin /\ ( y i^i { z } ) = (/) ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + (♯ ` { z } ) ) )
55	51, 52, 53, 54	syl3anc 1233	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + (♯ ` { z } ) ) )
56		hashsng 10733	. . . . . . . 8 |- ( z e. _V -> (♯ ` { z } ) = 1 )
57	56	elv 2734	. . . . . . 7 |- (♯ ` { z } ) = 1
58	57	oveq2i 5864	. . . . . 6 |- ( (♯ ` y ) + (♯ ` { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 )
59	55, 58	eqtrdi 2219	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 ) )
60	59	oveq1d 5868	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. B ) = ( ( (♯ ` y ) + 1 ) x. B ) )
61	50, 60	eqtr4d 2206	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. B ) )
62	61	ex 114	. 2 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. B ) ) )
63		simpl 108	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> A e. Fin )
64	4, 8, 12, 16, 23, 62, 63	findcard2sd 6870	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> sum_ k e. A B = ( (♯ ` A ) x. B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   \ cdif 3118   u. cun 3119   i^i cin 3120   C_ wss 3121   (/)c0 3414   {csn 3583   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   Fincfn 6718   CCcc 7772   0cc0 7774   1c1 7775   + caddc 7777   x. cmul 7779   NN0cn0 9135  ♯chash 10709   sum_csu 11316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317

This theorem is referenced by:  fsumdifsnconst  11418  hashiun  11441  hash2iun1dif1  11443  mertenslemi1  11498  sumhashdc  12299