Theorem fsumconst 11333

Description: The sum of constant terms ( k is not free in B). (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fsumconst	|- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> sum_ k e. A B = ( (♯ ` A ) x. B ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k

Proof of Theorem fsumconst

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1 11234	. . 3 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. (/) B )
2		fveq2 5465	. . . 4 |- ( w = (/) -> (♯ ` w ) = (♯ ` (/) ) )
3	2	oveq1d 5833	. . 3 |- ( w = (/) -> ( (♯ ` w ) x. B ) = ( (♯ ` (/) ) x. B ) )
4	1, 3	eqeq12d 2172	. 2 |- ( w = (/) -> ( sum_ k e. w B = ( (♯ ` w ) x. B ) <-> sum_ k e. (/) B = ( (♯ ` (/) ) x. B ) ) )
5		sumeq1 11234	. . 3 |- ( w = y -> sum_ k e. w B = sum_ k e. y B )
6		fveq2 5465	. . . 4 |- ( w = y -> (♯ ` w ) = (♯ ` y ) )
7	6	oveq1d 5833	. . 3 |- ( w = y -> ( (♯ ` w ) x. B ) = ( (♯ ` y ) x. B ) )
8	5, 7	eqeq12d 2172	. 2 |- ( w = y -> ( sum_ k e. w B = ( (♯ ` w ) x. B ) <-> sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) )
9		sumeq1 11234	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. ( y u. { z } ) B )
10		fveq2 5465	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> (♯ ` w ) = (♯ ` ( y u. { z } ) ) )
11	10	oveq1d 5833	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( (♯ ` w ) x. B ) = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. B ) )
12	9, 11	eqeq12d 2172	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( sum_ k e. w B = ( (♯ ` w ) x. B ) <-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. B ) ) )
13		sumeq1 11234	. . 3 |- ( w = A -> sum_ k e. w B = sum_ k e. A B )
14		fveq2 5465	. . . 4 |- ( w = A -> (♯ ` w ) = (♯ ` A ) )
15	14	oveq1d 5833	. . 3 |- ( w = A -> ( (♯ ` w ) x. B ) = ( (♯ ` A ) x. B ) )
16	13, 15	eqeq12d 2172	. 2 |- ( w = A -> ( sum_ k e. w B = ( (♯ ` w ) x. B ) <-> sum_ k e. A B = ( (♯ ` A ) x. B ) ) )
17		sum0 11267	. . 3 |- sum_ k e. (/) B = 0
18		hash0 10653	. . . . 5 |- (♯ ` (/) ) = 0
19	18	oveq1i 5828	. . . 4 |- ( (♯ ` (/) ) x. B ) = ( 0 x. B )
20		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> B e. CC )
21	20	mul02d 8250	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> ( 0 x. B ) = 0 )
22	19, 21	syl5eq 2202	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> ( (♯ ` (/) ) x. B ) = 0 )
23	17, 22	eqtr4id 2209	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> sum_ k e. (/) B = ( (♯ ` (/) ) x. B ) )
24		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) )
25		vex 2715	. . . . . . . 8 |- z e. _V
26		eqidd 2158	. . . . . . . . 9 |- ( k = z -> B = B )
27	26	sumsn 11290	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. _V /\ B e. CC ) -> sum_ k e. { z } B = B )
28	25, 27	mpan 421	. . . . . . 7 |- ( B e. CC -> sum_ k e. { z } B = B )
29	28	ad4antlr 487	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> sum_ k e. { z } B = B )
30	24, 29	oveq12d 5836	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> ( sum_ k e. y B + sum_ k e. { z } B ) = ( ( (♯ ` y ) x. B ) + B ) )
31		simprr 522	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
32	31	eldifbd 3114	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
33		disjsn 3621	. . . . . . . 8 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
34	32, 33	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
35		eqidd 2158	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( y u. { z } ) = ( y u. { z } ) )
36		simplr 520	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
37		snfig 6752	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. _V -> { z } e. Fin )
38	37	elv 2716	. . . . . . . . 9 |- { z } e. Fin
39	38	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> { z } e. Fin )
40		unfidisj 6859	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. Fin /\ { z } e. Fin /\ ( y i^i { z } ) = (/) ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
41	36, 39, 34, 40	syl3anc 1220	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
42		simp-4r 532	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> B e. CC )
43	34, 35, 41, 42	fsumsplit 11286	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + sum_ k e. { z } B ) )
44	43	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + sum_ k e. { z } B ) )
45		hashcl 10637	. . . . . . . 8 |- ( y e. Fin -> (♯ ` y ) e. NN0 )
46	45	ad3antlr 485	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> (♯ ` y ) e. NN0 )
47	46	nn0cnd 9128	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> (♯ ` y ) e. CC )
48		simp-4r 532	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> B e. CC )
49	47, 48	adddirp1d 7887	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> ( ( (♯ ` y ) + 1 ) x. B ) = ( ( (♯ ` y ) x. B ) + B ) )
50	30, 44, 49	3eqtr4d 2200	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( ( (♯ ` y ) + 1 ) x. B ) )
51	36	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> y e. Fin )
52	38	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> { z } e. Fin )
53	34	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
54		hashun 10661	. . . . . . 7 |- ( ( y e. Fin /\ { z } e. Fin /\ ( y i^i { z } ) = (/) ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + (♯ ` { z } ) ) )
55	51, 52, 53, 54	syl3anc 1220	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + (♯ ` { z } ) ) )
56		hashsng 10654	. . . . . . . 8 |- ( z e. _V -> (♯ ` { z } ) = 1 )
57	56	elv 2716	. . . . . . 7 |- (♯ ` { z } ) = 1
58	57	oveq2i 5829	. . . . . 6 |- ( (♯ ` y ) + (♯ ` { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 )
59	55, 58	eqtrdi 2206	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 ) )
60	59	oveq1d 5833	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. B ) = ( ( (♯ ` y ) + 1 ) x. B ) )
61	50, 60	eqtr4d 2193	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. B ) )
62	61	ex 114	. 2 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( sum_ k e. y B = ( (♯ ` y ) x. B ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) x. B ) ) )
63		simpl 108	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> A e. Fin )
64	4, 8, 12, 16, 23, 62, 63	findcard2sd 6830	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> sum_ k e. A B = ( (♯ ` A ) x. B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128   _Vcvv 2712   \ cdif 3099   u. cun 3100   i^i cin 3101   C_ wss 3102   (/)c0 3394   {csn 3560   ` cfv 5167  (class class class)co 5818   Fincfn 6678   CCcc 7713   0cc0 7715   1c1 7716   + caddc 7718   x. cmul 7720   NN0cn0 9073  ♯chash 10631   sum_csu 11232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-arch 7834  ax-caucvg 7835

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-isom 5176  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-irdg 6311  df-frec 6332  df-1o 6357  df-oadd 6361  df-er 6473  df-en 6679  df-dom 6680  df-fin 6681  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-3 8876  df-4 8877  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-q 9511  df-rp 9543  df-fz 9895  df-fzo 10024  df-seqfrec 10327  df-exp 10401  df-ihash 10632  df-cj 10724  df-re 10725  df-im 10726  df-rsqrt 10880  df-abs 10881  df-clim 11158  df-sumdc 11233

This theorem is referenced by:  fsumdifsnconst  11334  hashiun  11357  hash2iun1dif1  11359  mertenslemi1  11414