Theorem fprodconst 12387

Description: The product of constant terms ( k is not free in B). (Contributed by Scott Fenton, 12-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fprodconst	|- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> prod_ k e. A B = ( B ^ (♯ ` A ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k

Proof of Theorem fprodconst

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 12320	. . 3 |- ( w = (/) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. (/) B )
2		fveq2 5695	. . . 4 |- ( w = (/) -> (♯ ` w ) = (♯ ` (/) ) )
3	2	oveq2d 6101	. . 3 |- ( w = (/) -> ( B ^ (♯ ` w ) ) = ( B ^ (♯ ` (/) ) ) )
4	1, 3	eqeq12d 2253	. 2 |- ( w = (/) -> ( prod_ k e. w B = ( B ^ (♯ ` w ) ) <-> prod_ k e. (/) B = ( B ^ (♯ ` (/) ) ) ) )
5		prodeq1 12320	. . 3 |- ( w = y -> prod_ k e. w B = prod_ k e. y B )
6		fveq2 5695	. . . 4 |- ( w = y -> (♯ ` w ) = (♯ ` y ) )
7	6	oveq2d 6101	. . 3 |- ( w = y -> ( B ^ (♯ ` w ) ) = ( B ^ (♯ ` y ) ) )
8	5, 7	eqeq12d 2253	. 2 |- ( w = y -> ( prod_ k e. w B = ( B ^ (♯ ` w ) ) <-> prod_ k e. y B = ( B ^ (♯ ` y ) ) ) )
9		prodeq1 12320	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. ( y u. { z } ) B )
10		fveq2 5695	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> (♯ ` w ) = (♯ ` ( y u. { z } ) ) )
11	10	oveq2d 6101	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( B ^ (♯ ` w ) ) = ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) )
12	9, 11	eqeq12d 2253	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( prod_ k e. w B = ( B ^ (♯ ` w ) ) <-> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) ) )
13		prodeq1 12320	. . 3 |- ( w = A -> prod_ k e. w B = prod_ k e. A B )
14		fveq2 5695	. . . 4 |- ( w = A -> (♯ ` w ) = (♯ ` A ) )
15	14	oveq2d 6101	. . 3 |- ( w = A -> ( B ^ (♯ ` w ) ) = ( B ^ (♯ ` A ) ) )
16	13, 15	eqeq12d 2253	. 2 |- ( w = A -> ( prod_ k e. w B = ( B ^ (♯ ` w ) ) <-> prod_ k e. A B = ( B ^ (♯ ` A ) ) ) )
17		prod0 12352	. . 3 |- prod_ k e. (/) B = 1
18		hash0 11235	. . . . 5 |- (♯ ` (/) ) = 0
19	18	oveq2i 6096	. . . 4 |- ( B ^ (♯ ` (/) ) ) = ( B ^ 0 )
20		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> B e. CC )
21	20	exp0d 11105	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> ( B ^ 0 ) = 1 )
22	19, 21	eqtrid 2283	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> ( B ^ (♯ ` (/) ) ) = 1 )
23	17, 22	eqtr4id 2290	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> prod_ k e. (/) B = ( B ^ (♯ ` (/) ) ) )
24		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B = ( B ^ (♯ ` y ) ) ) -> prod_ k e. y B = ( B ^ (♯ ` y ) ) )
25	24	oveq1d 6100	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B = ( B ^ (♯ ` y ) ) ) -> ( prod_ k e. y B x. B ) = ( ( B ^ (♯ ` y ) ) x. B ) )
26		nfcv 2392	. . . . . . 7 |- F/_ k B
27		simplr 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
28		simprr 537	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
29	28	eldifbd 3232	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
30		simp-4r 548	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. CC )
31		simpllr 540	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> B e. CC )
32		eqidd 2239	. . . . . . 7 |- ( k = z -> B = B )
33	26, 27, 28, 29, 30, 31, 32	fprodunsn 12371	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( prod_ k e. y B x. B ) )
34	27, 29	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( y e. Fin /\ -. z e. y ) )
35		hashunsng 11248	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( A \ y ) -> ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 ) ) )
36	28, 34, 35	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 ) )
37	36	oveq2d 6101	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) = ( B ^ ( (♯ ` y ) + 1 ) ) )
38		hashcl 11220	. . . . . . . . 9 |- ( y e. Fin -> (♯ ` y ) e. NN0 )
39	27, 38	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> (♯ ` y ) e. NN0 )
40	31, 39	expp1d 11112	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( B ^ ( (♯ ` y ) + 1 ) ) = ( ( B ^ (♯ ` y ) ) x. B ) )
41	37, 40	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) = ( ( B ^ (♯ ` y ) ) x. B ) )
42	33, 41	eqeq12d 2253	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) <-> ( prod_ k e. y B x. B ) = ( ( B ^ (♯ ` y ) ) x. B ) ) )
43	42	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B = ( B ^ (♯ ` y ) ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) <-> ( prod_ k e. y B x. B ) = ( ( B ^ (♯ ` y ) ) x. B ) ) )
44	25, 43	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B = ( B ^ (♯ ` y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) )
45	44	ex 115	. 2 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. y B = ( B ^ (♯ ` y ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) ) )
46		simpl 109	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> A e. Fin )
47	4, 8, 12, 16, 23, 45, 46	findcard2sd 7196	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> prod_ k e. A B = ( B ^ (♯ ` A ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   \ cdif 3217   u. cun 3218   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3709   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Fincfn 7022   CCcc 8177   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   x. cmul 8184   NN0cn0 9563   ^cexp 10975  ♯chash 11214   prod_cprod 12317

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-ihash 11215  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-clim 12045  df-proddc 12318

This theorem is used by:  gausslemma2dlem5  16185  gausslemma2dlem6  16186