Theorem fprodconst 11766

Description: The product of constant terms ( k is not free in B). (Contributed by Scott Fenton, 12-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fprodconst	|- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> prod_ k e. A B = ( B ^ (♯ ` A ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k

Proof of Theorem fprodconst

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 11699	. . 3 |- ( w = (/) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. (/) B )
2		fveq2 5555	. . . 4 |- ( w = (/) -> (♯ ` w ) = (♯ ` (/) ) )
3	2	oveq2d 5935	. . 3 |- ( w = (/) -> ( B ^ (♯ ` w ) ) = ( B ^ (♯ ` (/) ) ) )
4	1, 3	eqeq12d 2208	. 2 |- ( w = (/) -> ( prod_ k e. w B = ( B ^ (♯ ` w ) ) <-> prod_ k e. (/) B = ( B ^ (♯ ` (/) ) ) ) )
5		prodeq1 11699	. . 3 |- ( w = y -> prod_ k e. w B = prod_ k e. y B )
6		fveq2 5555	. . . 4 |- ( w = y -> (♯ ` w ) = (♯ ` y ) )
7	6	oveq2d 5935	. . 3 |- ( w = y -> ( B ^ (♯ ` w ) ) = ( B ^ (♯ ` y ) ) )
8	5, 7	eqeq12d 2208	. 2 |- ( w = y -> ( prod_ k e. w B = ( B ^ (♯ ` w ) ) <-> prod_ k e. y B = ( B ^ (♯ ` y ) ) ) )
9		prodeq1 11699	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. ( y u. { z } ) B )
10		fveq2 5555	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> (♯ ` w ) = (♯ ` ( y u. { z } ) ) )
11	10	oveq2d 5935	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( B ^ (♯ ` w ) ) = ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) )
12	9, 11	eqeq12d 2208	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( prod_ k e. w B = ( B ^ (♯ ` w ) ) <-> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) ) )
13		prodeq1 11699	. . 3 |- ( w = A -> prod_ k e. w B = prod_ k e. A B )
14		fveq2 5555	. . . 4 |- ( w = A -> (♯ ` w ) = (♯ ` A ) )
15	14	oveq2d 5935	. . 3 |- ( w = A -> ( B ^ (♯ ` w ) ) = ( B ^ (♯ ` A ) ) )
16	13, 15	eqeq12d 2208	. 2 |- ( w = A -> ( prod_ k e. w B = ( B ^ (♯ ` w ) ) <-> prod_ k e. A B = ( B ^ (♯ ` A ) ) ) )
17		prod0 11731	. . 3 |- prod_ k e. (/) B = 1
18		hash0 10870	. . . . 5 |- (♯ ` (/) ) = 0
19	18	oveq2i 5930	. . . 4 |- ( B ^ (♯ ` (/) ) ) = ( B ^ 0 )
20		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> B e. CC )
21	20	exp0d 10741	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> ( B ^ 0 ) = 1 )
22	19, 21	eqtrid 2238	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> ( B ^ (♯ ` (/) ) ) = 1 )
23	17, 22	eqtr4id 2245	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> prod_ k e. (/) B = ( B ^ (♯ ` (/) ) ) )
24		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B = ( B ^ (♯ ` y ) ) ) -> prod_ k e. y B = ( B ^ (♯ ` y ) ) )
25	24	oveq1d 5934	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B = ( B ^ (♯ ` y ) ) ) -> ( prod_ k e. y B x. B ) = ( ( B ^ (♯ ` y ) ) x. B ) )
26		nfcv 2336	. . . . . . 7 |- F/_ k B
27		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
28		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
29	28	eldifbd 3166	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
30		simp-4r 542	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. CC )
31		simpllr 534	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> B e. CC )
32		eqidd 2194	. . . . . . 7 |- ( k = z -> B = B )
33	26, 27, 28, 29, 30, 31, 32	fprodunsn 11750	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( prod_ k e. y B x. B ) )
34	27, 29	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( y e. Fin /\ -. z e. y ) )
35		hashunsng 10881	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( A \ y ) -> ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 ) ) )
36	28, 34, 35	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 ) )
37	36	oveq2d 5935	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) = ( B ^ ( (♯ ` y ) + 1 ) ) )
38		hashcl 10855	. . . . . . . . 9 |- ( y e. Fin -> (♯ ` y ) e. NN0 )
39	27, 38	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> (♯ ` y ) e. NN0 )
40	31, 39	expp1d 10748	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( B ^ ( (♯ ` y ) + 1 ) ) = ( ( B ^ (♯ ` y ) ) x. B ) )
41	37, 40	eqtrd 2226	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) = ( ( B ^ (♯ ` y ) ) x. B ) )
42	33, 41	eqeq12d 2208	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) <-> ( prod_ k e. y B x. B ) = ( ( B ^ (♯ ` y ) ) x. B ) ) )
43	42	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B = ( B ^ (♯ ` y ) ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) <-> ( prod_ k e. y B x. B ) = ( ( B ^ (♯ ` y ) ) x. B ) ) )
44	25, 43	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B = ( B ^ (♯ ` y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) )
45	44	ex 115	. 2 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. y B = ( B ^ (♯ ` y ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) ) )
46		simpl 109	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> A e. Fin )
47	4, 8, 12, 16, 23, 45, 46	findcard2sd 6950	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> prod_ k e. A B = ( B ^ (♯ ` A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   \ cdif 3151   u. cun 3152   C_ wss 3154   (/)c0 3447   {csn 3619   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   Fincfn 6796   CCcc 7872   0cc0 7874   1c1 7875   + caddc 7877   x. cmul 7879   NN0cn0 9243   ^cexp 10612  ♯chash 10849   prod_cprod 11696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-frec 6446  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-er 6589  df-en 6797  df-dom 6798  df-fin 6799  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-ihash 10850  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-clim 11425  df-proddc 11697

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem5  15223  gausslemma2dlem6  15224