Theorem fprodconst 12331

Description: The product of constant terms ( k is not free in B). (Contributed by Scott Fenton, 12-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fprodconst	|- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> prod_ k e. A B = ( B ^ (♯ ` A ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k

Proof of Theorem fprodconst

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 12264	. . 3 |- ( w = (/) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. (/) B )
2		fveq2 5675	. . . 4 |- ( w = (/) -> (♯ ` w ) = (♯ ` (/) ) )
3	2	oveq2d 6074	. . 3 |- ( w = (/) -> ( B ^ (♯ ` w ) ) = ( B ^ (♯ ` (/) ) ) )
4	1, 3	eqeq12d 2249	. 2 |- ( w = (/) -> ( prod_ k e. w B = ( B ^ (♯ ` w ) ) <-> prod_ k e. (/) B = ( B ^ (♯ ` (/) ) ) ) )
5		prodeq1 12264	. . 3 |- ( w = y -> prod_ k e. w B = prod_ k e. y B )
6		fveq2 5675	. . . 4 |- ( w = y -> (♯ ` w ) = (♯ ` y ) )
7	6	oveq2d 6074	. . 3 |- ( w = y -> ( B ^ (♯ ` w ) ) = ( B ^ (♯ ` y ) ) )
8	5, 7	eqeq12d 2249	. 2 |- ( w = y -> ( prod_ k e. w B = ( B ^ (♯ ` w ) ) <-> prod_ k e. y B = ( B ^ (♯ ` y ) ) ) )
9		prodeq1 12264	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. ( y u. { z } ) B )
10		fveq2 5675	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> (♯ ` w ) = (♯ ` ( y u. { z } ) ) )
11	10	oveq2d 6074	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( B ^ (♯ ` w ) ) = ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) )
12	9, 11	eqeq12d 2249	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( prod_ k e. w B = ( B ^ (♯ ` w ) ) <-> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) ) )
13		prodeq1 12264	. . 3 |- ( w = A -> prod_ k e. w B = prod_ k e. A B )
14		fveq2 5675	. . . 4 |- ( w = A -> (♯ ` w ) = (♯ ` A ) )
15	14	oveq2d 6074	. . 3 |- ( w = A -> ( B ^ (♯ ` w ) ) = ( B ^ (♯ ` A ) ) )
16	13, 15	eqeq12d 2249	. 2 |- ( w = A -> ( prod_ k e. w B = ( B ^ (♯ ` w ) ) <-> prod_ k e. A B = ( B ^ (♯ ` A ) ) ) )
17		prod0 12296	. . 3 |- prod_ k e. (/) B = 1
18		hash0 11184	. . . . 5 |- (♯ ` (/) ) = 0
19	18	oveq2i 6069	. . . 4 |- ( B ^ (♯ ` (/) ) ) = ( B ^ 0 )
20		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> B e. CC )
21	20	exp0d 11054	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> ( B ^ 0 ) = 1 )
22	19, 21	eqtrid 2279	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> ( B ^ (♯ ` (/) ) ) = 1 )
23	17, 22	eqtr4id 2286	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> prod_ k e. (/) B = ( B ^ (♯ ` (/) ) ) )
24		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B = ( B ^ (♯ ` y ) ) ) -> prod_ k e. y B = ( B ^ (♯ ` y ) ) )
25	24	oveq1d 6073	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B = ( B ^ (♯ ` y ) ) ) -> ( prod_ k e. y B x. B ) = ( ( B ^ (♯ ` y ) ) x. B ) )
26		nfcv 2386	. . . . . . 7 |- F/_ k B
27		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
28		simprr 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
29	28	eldifbd 3226	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
30		simp-4r 544	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. CC )
31		simpllr 536	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> B e. CC )
32		eqidd 2235	. . . . . . 7 |- ( k = z -> B = B )
33	26, 27, 28, 29, 30, 31, 32	fprodunsn 12315	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( prod_ k e. y B x. B ) )
34	27, 29	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( y e. Fin /\ -. z e. y ) )
35		hashunsng 11197	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( A \ y ) -> ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 ) ) )
36	28, 34, 35	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 ) )
37	36	oveq2d 6074	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) = ( B ^ ( (♯ ` y ) + 1 ) ) )
38		hashcl 11169	. . . . . . . . 9 |- ( y e. Fin -> (♯ ` y ) e. NN0 )
39	27, 38	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> (♯ ` y ) e. NN0 )
40	31, 39	expp1d 11061	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( B ^ ( (♯ ` y ) + 1 ) ) = ( ( B ^ (♯ ` y ) ) x. B ) )
41	37, 40	eqtrd 2267	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) = ( ( B ^ (♯ ` y ) ) x. B ) )
42	33, 41	eqeq12d 2249	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) <-> ( prod_ k e. y B x. B ) = ( ( B ^ (♯ ` y ) ) x. B ) ) )
43	42	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B = ( B ^ (♯ ` y ) ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) <-> ( prod_ k e. y B x. B ) = ( ( B ^ (♯ ` y ) ) x. B ) ) )
44	25, 43	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B = ( B ^ (♯ ` y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) )
45	44	ex 115	. 2 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. y B = ( B ^ (♯ ` y ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) ) )
46		simpl 109	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> A e. Fin )
47	4, 8, 12, 16, 23, 45, 46	findcard2sd 7162	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> prod_ k e. A B = ( B ^ (♯ ` A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   \ cdif 3211   u. cun 3212   C_ wss 3214   (/)c0 3512   {csn 3694   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Fincfn 6988   CCcc 8141   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   x. cmul 8148   NN0cn0 9513   ^cexp 10924  ♯chash 11163   prod_cprod 12261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-ihash 11164  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989  df-proddc 12262

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem5  16065  gausslemma2dlem6  16066