Theorem fprodconst 11785

Description: The product of constant terms ( k is not free in B). (Contributed by Scott Fenton, 12-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fprodconst	|- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> prod_ k e. A B = ( B ^ (♯ ` A ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k

Proof of Theorem fprodconst

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 11718	. . 3 |- ( w = (/) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. (/) B )
2		fveq2 5558	. . . 4 |- ( w = (/) -> (♯ ` w ) = (♯ ` (/) ) )
3	2	oveq2d 5938	. . 3 |- ( w = (/) -> ( B ^ (♯ ` w ) ) = ( B ^ (♯ ` (/) ) ) )
4	1, 3	eqeq12d 2211	. 2 |- ( w = (/) -> ( prod_ k e. w B = ( B ^ (♯ ` w ) ) <-> prod_ k e. (/) B = ( B ^ (♯ ` (/) ) ) ) )
5		prodeq1 11718	. . 3 |- ( w = y -> prod_ k e. w B = prod_ k e. y B )
6		fveq2 5558	. . . 4 |- ( w = y -> (♯ ` w ) = (♯ ` y ) )
7	6	oveq2d 5938	. . 3 |- ( w = y -> ( B ^ (♯ ` w ) ) = ( B ^ (♯ ` y ) ) )
8	5, 7	eqeq12d 2211	. 2 |- ( w = y -> ( prod_ k e. w B = ( B ^ (♯ ` w ) ) <-> prod_ k e. y B = ( B ^ (♯ ` y ) ) ) )
9		prodeq1 11718	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. ( y u. { z } ) B )
10		fveq2 5558	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> (♯ ` w ) = (♯ ` ( y u. { z } ) ) )
11	10	oveq2d 5938	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( B ^ (♯ ` w ) ) = ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) )
12	9, 11	eqeq12d 2211	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( prod_ k e. w B = ( B ^ (♯ ` w ) ) <-> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) ) )
13		prodeq1 11718	. . 3 |- ( w = A -> prod_ k e. w B = prod_ k e. A B )
14		fveq2 5558	. . . 4 |- ( w = A -> (♯ ` w ) = (♯ ` A ) )
15	14	oveq2d 5938	. . 3 |- ( w = A -> ( B ^ (♯ ` w ) ) = ( B ^ (♯ ` A ) ) )
16	13, 15	eqeq12d 2211	. 2 |- ( w = A -> ( prod_ k e. w B = ( B ^ (♯ ` w ) ) <-> prod_ k e. A B = ( B ^ (♯ ` A ) ) ) )
17		prod0 11750	. . 3 |- prod_ k e. (/) B = 1
18		hash0 10888	. . . . 5 |- (♯ ` (/) ) = 0
19	18	oveq2i 5933	. . . 4 |- ( B ^ (♯ ` (/) ) ) = ( B ^ 0 )
20		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> B e. CC )
21	20	exp0d 10759	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> ( B ^ 0 ) = 1 )
22	19, 21	eqtrid 2241	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> ( B ^ (♯ ` (/) ) ) = 1 )
23	17, 22	eqtr4id 2248	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> prod_ k e. (/) B = ( B ^ (♯ ` (/) ) ) )
24		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B = ( B ^ (♯ ` y ) ) ) -> prod_ k e. y B = ( B ^ (♯ ` y ) ) )
25	24	oveq1d 5937	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B = ( B ^ (♯ ` y ) ) ) -> ( prod_ k e. y B x. B ) = ( ( B ^ (♯ ` y ) ) x. B ) )
26		nfcv 2339	. . . . . . 7 |- F/_ k B
27		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
28		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
29	28	eldifbd 3169	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
30		simp-4r 542	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. CC )
31		simpllr 534	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> B e. CC )
32		eqidd 2197	. . . . . . 7 |- ( k = z -> B = B )
33	26, 27, 28, 29, 30, 31, 32	fprodunsn 11769	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( prod_ k e. y B x. B ) )
34	27, 29	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( y e. Fin /\ -. z e. y ) )
35		hashunsng 10899	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( A \ y ) -> ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 ) ) )
36	28, 34, 35	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 ) )
37	36	oveq2d 5938	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) = ( B ^ ( (♯ ` y ) + 1 ) ) )
38		hashcl 10873	. . . . . . . . 9 |- ( y e. Fin -> (♯ ` y ) e. NN0 )
39	27, 38	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> (♯ ` y ) e. NN0 )
40	31, 39	expp1d 10766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( B ^ ( (♯ ` y ) + 1 ) ) = ( ( B ^ (♯ ` y ) ) x. B ) )
41	37, 40	eqtrd 2229	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) = ( ( B ^ (♯ ` y ) ) x. B ) )
42	33, 41	eqeq12d 2211	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) <-> ( prod_ k e. y B x. B ) = ( ( B ^ (♯ ` y ) ) x. B ) ) )
43	42	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B = ( B ^ (♯ ` y ) ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) <-> ( prod_ k e. y B x. B ) = ( ( B ^ (♯ ` y ) ) x. B ) ) )
44	25, 43	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B = ( B ^ (♯ ` y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) )
45	44	ex 115	. 2 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. y B = ( B ^ (♯ ` y ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) ) )
46		simpl 109	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> A e. Fin )
47	4, 8, 12, 16, 23, 45, 46	findcard2sd 6953	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> prod_ k e. A B = ( B ^ (♯ ` A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   \ cdif 3154   u. cun 3155   C_ wss 3157   (/)c0 3450   {csn 3622   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Fincfn 6799   CCcc 7877   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   x. cmul 7884   NN0cn0 9249   ^cexp 10630  ♯chash 10867   prod_cprod 11715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-proddc 11716

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem5  15307  gausslemma2dlem6  15308