Theorem fprodconst 11583

Description: The product of constant terms ( k is not free in B). (Contributed by Scott Fenton, 12-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fprodconst	|- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> prod_ k e. A B = ( B ^ (♯ ` A ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k

Proof of Theorem fprodconst

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 11516	. . 3 |- ( w = (/) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. (/) B )
2		fveq2 5496	. . . 4 |- ( w = (/) -> (♯ ` w ) = (♯ ` (/) ) )
3	2	oveq2d 5869	. . 3 |- ( w = (/) -> ( B ^ (♯ ` w ) ) = ( B ^ (♯ ` (/) ) ) )
4	1, 3	eqeq12d 2185	. 2 |- ( w = (/) -> ( prod_ k e. w B = ( B ^ (♯ ` w ) ) <-> prod_ k e. (/) B = ( B ^ (♯ ` (/) ) ) ) )
5		prodeq1 11516	. . 3 |- ( w = y -> prod_ k e. w B = prod_ k e. y B )
6		fveq2 5496	. . . 4 |- ( w = y -> (♯ ` w ) = (♯ ` y ) )
7	6	oveq2d 5869	. . 3 |- ( w = y -> ( B ^ (♯ ` w ) ) = ( B ^ (♯ ` y ) ) )
8	5, 7	eqeq12d 2185	. 2 |- ( w = y -> ( prod_ k e. w B = ( B ^ (♯ ` w ) ) <-> prod_ k e. y B = ( B ^ (♯ ` y ) ) ) )
9		prodeq1 11516	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. ( y u. { z } ) B )
10		fveq2 5496	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> (♯ ` w ) = (♯ ` ( y u. { z } ) ) )
11	10	oveq2d 5869	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( B ^ (♯ ` w ) ) = ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) )
12	9, 11	eqeq12d 2185	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( prod_ k e. w B = ( B ^ (♯ ` w ) ) <-> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) ) )
13		prodeq1 11516	. . 3 |- ( w = A -> prod_ k e. w B = prod_ k e. A B )
14		fveq2 5496	. . . 4 |- ( w = A -> (♯ ` w ) = (♯ ` A ) )
15	14	oveq2d 5869	. . 3 |- ( w = A -> ( B ^ (♯ ` w ) ) = ( B ^ (♯ ` A ) ) )
16	13, 15	eqeq12d 2185	. 2 |- ( w = A -> ( prod_ k e. w B = ( B ^ (♯ ` w ) ) <-> prod_ k e. A B = ( B ^ (♯ ` A ) ) ) )
17		prod0 11548	. . 3 |- prod_ k e. (/) B = 1
18		hash0 10731	. . . . 5 |- (♯ ` (/) ) = 0
19	18	oveq2i 5864	. . . 4 |- ( B ^ (♯ ` (/) ) ) = ( B ^ 0 )
20		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> B e. CC )
21	20	exp0d 10603	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> ( B ^ 0 ) = 1 )
22	19, 21	eqtrid 2215	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> ( B ^ (♯ ` (/) ) ) = 1 )
23	17, 22	eqtr4id 2222	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> prod_ k e. (/) B = ( B ^ (♯ ` (/) ) ) )
24		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B = ( B ^ (♯ ` y ) ) ) -> prod_ k e. y B = ( B ^ (♯ ` y ) ) )
25	24	oveq1d 5868	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B = ( B ^ (♯ ` y ) ) ) -> ( prod_ k e. y B x. B ) = ( ( B ^ (♯ ` y ) ) x. B ) )
26		nfcv 2312	. . . . . . 7 |- F/_ k B
27		simplr 525	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
28		simprr 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
29	28	eldifbd 3133	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
30		simp-4r 537	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. CC )
31		simpllr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> B e. CC )
32		eqidd 2171	. . . . . . 7 |- ( k = z -> B = B )
33	26, 27, 28, 29, 30, 31, 32	fprodunsn 11567	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( prod_ k e. y B x. B ) )
34	27, 29	jca 304	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( y e. Fin /\ -. z e. y ) )
35		hashunsng 10742	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( A \ y ) -> ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 ) ) )
36	28, 34, 35	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 ) )
37	36	oveq2d 5869	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) = ( B ^ ( (♯ ` y ) + 1 ) ) )
38		hashcl 10715	. . . . . . . . 9 |- ( y e. Fin -> (♯ ` y ) e. NN0 )
39	27, 38	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> (♯ ` y ) e. NN0 )
40	31, 39	expp1d 10610	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( B ^ ( (♯ ` y ) + 1 ) ) = ( ( B ^ (♯ ` y ) ) x. B ) )
41	37, 40	eqtrd 2203	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) = ( ( B ^ (♯ ` y ) ) x. B ) )
42	33, 41	eqeq12d 2185	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) <-> ( prod_ k e. y B x. B ) = ( ( B ^ (♯ ` y ) ) x. B ) ) )
43	42	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B = ( B ^ (♯ ` y ) ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) <-> ( prod_ k e. y B x. B ) = ( ( B ^ (♯ ` y ) ) x. B ) ) )
44	25, 43	mpbird 166	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B = ( B ^ (♯ ` y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) )
45	44	ex 114	. 2 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. y B = ( B ^ (♯ ` y ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( B ^ (♯ ` ( y u. { z } ) ) ) ) )
46		simpl 108	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> A e. Fin )
47	4, 8, 12, 16, 23, 45, 46	findcard2sd 6870	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. CC ) -> prod_ k e. A B = ( B ^ (♯ ` A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   \ cdif 3118   u. cun 3119   C_ wss 3121   (/)c0 3414   {csn 3583   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   Fincfn 6718   CCcc 7772   0cc0 7774   1c1 7775   + caddc 7777   x. cmul 7779   NN0cn0 9135   ^cexp 10475  ♯chash 10709   prod_cprod 11513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-proddc 11514

This theorem is referenced by: (None)