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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > fprodmodd | Unicode version |
Description: If all factors of two
finite products are equal modulo ![]() ![]() |
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fprodmodd.a |
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fprodmodd.b |
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fprodmodd.c |
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fprodmodd.m |
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fprodmodd.p |
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Ref | Expression |
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fprodmodd |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | prodeq1 11553 |
. . . 4
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2 | 1 | oveq1d 5886 |
. . 3
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3 | prodeq1 11553 |
. . . 4
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4 | 3 | oveq1d 5886 |
. . 3
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5 | 2, 4 | eqeq12d 2192 |
. 2
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6 | prodeq1 11553 |
. . . 4
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7 | 6 | oveq1d 5886 |
. . 3
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8 | prodeq1 11553 |
. . . 4
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9 | 8 | oveq1d 5886 |
. . 3
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10 | 7, 9 | eqeq12d 2192 |
. 2
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11 | prodeq1 11553 |
. . . 4
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12 | 11 | oveq1d 5886 |
. . 3
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13 | prodeq1 11553 |
. . . 4
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14 | 13 | oveq1d 5886 |
. . 3
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15 | 12, 14 | eqeq12d 2192 |
. 2
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16 | prodeq1 11553 |
. . . 4
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17 | 16 | oveq1d 5886 |
. . 3
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18 | prodeq1 11553 |
. . . 4
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19 | 18 | oveq1d 5886 |
. . 3
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20 | 17, 19 | eqeq12d 2192 |
. 2
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21 | prod0 11585 |
. . . . 5
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22 | 21 | a1i 9 |
. . . 4
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23 | 22 | oveq1d 5886 |
. . 3
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24 | prod0 11585 |
. . . . 5
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25 | 24 | eqcomi 2181 |
. . . 4
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26 | 25 | oveq1i 5881 |
. . 3
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27 | 23, 26 | eqtrdi 2226 |
. 2
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28 | nfcsb1v 3090 |
. . . . . . 7
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29 | simplr 528 |
. . . . . . 7
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30 | simprr 531 |
. . . . . . 7
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31 | simprr 531 |
. . . . . . . . 9
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32 | 31 | eldifbd 3141 |
. . . . . . . 8
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33 | 32 | adantlr 477 |
. . . . . . 7
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34 | simpll 527 |
. . . . . . . . . 10
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35 | ssel 3149 |
. . . . . . . . . . . . 13
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36 | 35 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . 12
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37 | 36 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . 11
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38 | 37 | imp 124 |
. . . . . . . . . 10
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39 | fprodmodd.b |
. . . . . . . . . 10
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40 | 34, 38, 39 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
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41 | 40 | zcnd 9371 |
. . . . . . . 8
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42 | 41 | adantllr 481 |
. . . . . . 7
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43 | eldifi 3257 |
. . . . . . . . . . 11
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44 | 43 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
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45 | 39 | ralrimiva 2550 |
. . . . . . . . . 10
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46 | rspcsbela 3116 |
. . . . . . . . . 10
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47 | 44, 45, 46 | syl2anr 290 |
. . . . . . . . 9
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48 | 47 | zcnd 9371 |
. . . . . . . 8
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49 | 48 | adantlr 477 |
. . . . . . 7
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50 | csbeq1a 3066 |
. . . . . . 7
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51 | 28, 29, 30, 33, 42, 49, 50 | fprodunsn 11604 |
. . . . . 6
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52 | 51 | oveq1d 5886 |
. . . . 5
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53 | 52 | adantr 276 |
. . . 4
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54 | 40 | adantllr 481 |
. . . . . . 7
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55 | 29, 54 | fprodzcl 11609 |
. . . . . 6
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56 | 55 | adantr 276 |
. . . . 5
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57 | fprodmodd.c |
. . . . . . . . 9
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58 | 34, 38, 57 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
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59 | 58 | adantllr 481 |
. . . . . . 7
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60 | 29, 59 | fprodzcl 11609 |
. . . . . 6
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61 | 60 | adantr 276 |
. . . . 5
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62 | 47 | ad4ant13 513 |
. . . . 5
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63 | 57 | ralrimiva 2550 |
. . . . . . 7
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64 | rspcsbela 3116 |
. . . . . . 7
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65 | 44, 63, 64 | syl2anr 290 |
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66 | 65 | ad4ant13 513 |
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67 | fprodmodd.m |
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68 | nnq 9628 |
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69 | 67, 68 | syl 14 |
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70 | 69 | ad3antrrr 492 |
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71 | 67 | nngt0d 8958 |
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72 | 71 | ad3antrrr 492 |
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73 | simpr 110 |
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74 | fprodmodd.p |
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75 | 74 | ralrimiva 2550 |
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76 | rspsbca 3046 |
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77 | 44, 75, 76 | syl2anr 290 |
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78 | vex 2740 |
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79 | sbceqg 3073 |
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80 | 78, 79 | mp1i 10 |
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81 | 77, 80 | mpbid 147 |
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82 | csbov1g 5911 |
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83 | 82 | elv 2741 |
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84 | csbov1g 5911 |
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85 | 84 | elv 2741 |
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86 | 81, 83, 85 | 3eqtr3g 2233 |
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87 | 86 | ad4ant13 513 |
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88 | 56, 61, 62, 66, 70, 72, 73, 87 | modqmul12d 10372 |
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89 | nfcsb1v 3090 |
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90 | 58 | zcnd 9371 |
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91 | 90 | adantllr 481 |
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92 | 65 | zcnd 9371 |
. . . . . . . . 9
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93 | 92 | adantlr 477 |
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94 | csbeq1a 3066 |
. . . . . . . 8
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95 | 89, 29, 30, 33, 91, 93, 94 | fprodunsn 11604 |
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96 | 95 | oveq1d 5886 |
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97 | 96 | eqcomd 2183 |
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98 | 97 | adantr 276 |
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99 | 53, 88, 98 | 3eqtrd 2214 |
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100 | 99 | ex 115 |
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101 | fprodmodd.a |
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102 | 5, 10, 15, 20, 27, 100, 101 | findcard2sd 6888 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4117 ax-sep 4120 ax-nul 4128 ax-pow 4173 ax-pr 4208 ax-un 4432 ax-setind 4535 ax-iinf 4586 ax-cnex 7898 ax-resscn 7899 ax-1cn 7900 ax-1re 7901 ax-icn 7902 ax-addcl 7903 ax-addrcl 7904 ax-mulcl 7905 ax-mulrcl 7906 ax-addcom 7907 ax-mulcom 7908 ax-addass 7909 ax-mulass 7910 ax-distr 7911 ax-i2m1 7912 ax-0lt1 7913 ax-1rid 7914 ax-0id 7915 ax-rnegex 7916 ax-precex 7917 ax-cnre 7918 ax-pre-ltirr 7919 ax-pre-ltwlin 7920 ax-pre-lttrn 7921 ax-pre-apti 7922 ax-pre-ltadd 7923 ax-pre-mulgt0 7924 ax-pre-mulext 7925 ax-arch 7926 ax-caucvg 7927 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3810 df-int 3845 df-iun 3888 df-br 4003 df-opab 4064 df-mpt 4065 df-tr 4101 df-id 4292 df-po 4295 df-iso 4296 df-iord 4365 df-on 4367 df-ilim 4368 df-suc 4370 df-iom 4589 df-xp 4631 df-rel 4632 df-cnv 4633 df-co 4634 df-dm 4635 df-rn 4636 df-res 4637 df-ima 4638 df-iota 5176 df-fun 5216 df-fn 5217 df-f 5218 df-f1 5219 df-fo 5220 df-f1o 5221 df-fv 5222 df-isom 5223 df-riota 5827 df-ov 5874 df-oprab 5875 df-mpo 5876 df-1st 6137 df-2nd 6138 df-recs 6302 df-irdg 6367 df-frec 6388 df-1o 6413 df-oadd 6417 df-er 6531 df-en 6737 df-dom 6738 df-fin 6739 df-pnf 7989 df-mnf 7990 df-xr 7991 df-ltxr 7992 df-le 7993 df-sub 8125 df-neg 8126 df-reap 8527 df-ap 8534 df-div 8625 df-inn 8915 df-2 8973 df-3 8974 df-4 8975 df-n0 9172 df-z 9249 df-uz 9524 df-q 9615 df-rp 9649 df-fz 10004 df-fzo 10137 df-fl 10264 df-mod 10317 df-seqfrec 10440 df-exp 10514 df-ihash 10748 df-cj 10843 df-re 10844 df-im 10845 df-rsqrt 10999 df-abs 11000 df-clim 11279 df-proddc 11551 |
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