Theorem fprodmodd 11952

Description: If all factors of two finite products are equal modulo M, the products are equal modulo M. (Contributed by AV, 7-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodmodd.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodmodd.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ZZ )
fprodmodd.c	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. ZZ )
fprodmodd.m	|- ( ph -> M e. NN )
fprodmodd.p	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B mod M ) = ( C mod M ) )

Assertion

Ref	Expression
fprodmodd	|- ( ph -> ( prod_ k e. A B mod M ) = ( prod_ k e. A C mod M ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, M   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)

Proof of Theorem fprodmodd

Dummy variables i x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 11864	. . . 4 |- ( x = (/) -> prod_ k e. x B = prod_ k e. (/) B )
2	1	oveq1d 5959	. . 3 |- ( x = (/) -> ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. (/) B mod M ) )
3		prodeq1 11864	. . . 4 |- ( x = (/) -> prod_ k e. x C = prod_ k e. (/) C )
4	3	oveq1d 5959	. . 3 |- ( x = (/) -> ( prod_ k e. x C mod M ) = ( prod_ k e. (/) C mod M ) )
5	2, 4	eqeq12d 2220	. 2 |- ( x = (/) -> ( ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. x C mod M ) <-> ( prod_ k e. (/) B mod M ) = ( prod_ k e. (/) C mod M ) ) )
6		prodeq1 11864	. . . 4 |- ( x = y -> prod_ k e. x B = prod_ k e. y B )
7	6	oveq1d 5959	. . 3 |- ( x = y -> ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. y B mod M ) )
8		prodeq1 11864	. . . 4 |- ( x = y -> prod_ k e. x C = prod_ k e. y C )
9	8	oveq1d 5959	. . 3 |- ( x = y -> ( prod_ k e. x C mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) )
10	7, 9	eqeq12d 2220	. 2 |- ( x = y -> ( ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. x C mod M ) <-> ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) )
11		prodeq1 11864	. . . 4 |- ( x = ( y u. { i } ) -> prod_ k e. x B = prod_ k e. ( y u. { i } ) B )
12	11	oveq1d 5959	. . 3 |- ( x = ( y u. { i } ) -> ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) B mod M ) )
13		prodeq1 11864	. . . 4 |- ( x = ( y u. { i } ) -> prod_ k e. x C = prod_ k e. ( y u. { i } ) C )
14	13	oveq1d 5959	. . 3 |- ( x = ( y u. { i } ) -> ( prod_ k e. x C mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) )
15	12, 14	eqeq12d 2220	. 2 |- ( x = ( y u. { i } ) -> ( ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. x C mod M ) <-> ( prod_ k e. ( y u. { i } ) B mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) ) )
16		prodeq1 11864	. . . 4 |- ( x = A -> prod_ k e. x B = prod_ k e. A B )
17	16	oveq1d 5959	. . 3 |- ( x = A -> ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. A B mod M ) )
18		prodeq1 11864	. . . 4 |- ( x = A -> prod_ k e. x C = prod_ k e. A C )
19	18	oveq1d 5959	. . 3 |- ( x = A -> ( prod_ k e. x C mod M ) = ( prod_ k e. A C mod M ) )
20	17, 19	eqeq12d 2220	. 2 |- ( x = A -> ( ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. x C mod M ) <-> ( prod_ k e. A B mod M ) = ( prod_ k e. A C mod M ) ) )
21		prod0 11896	. . . . 5 |- prod_ k e. (/) B = 1
22	21	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. (/) B = 1 )
23	22	oveq1d 5959	. . 3 |- ( ph -> ( prod_ k e. (/) B mod M ) = ( 1 mod M ) )
24		prod0 11896	. . . . 5 |- prod_ k e. (/) C = 1
25	24	eqcomi 2209	. . . 4 |- 1 = prod_ k e. (/) C
26	25	oveq1i 5954	. . 3 |- ( 1 mod M ) = ( prod_ k e. (/) C mod M )
27	23, 26	eqtrdi 2254	. 2 |- ( ph -> ( prod_ k e. (/) B mod M ) = ( prod_ k e. (/) C mod M ) )
28		nfcsb1v 3126	. . . . . . 7 |- F/_ k [_ i / k ]_ B
29		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
30		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> i e. ( A \ y ) )
31		simprr 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> i e. ( A \ y ) )
32	31	eldifbd 3178	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> -. i e. y )
33	32	adantlr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> -. i e. y )
34		simpll 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> ph )
35		ssel 3187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y C_ A -> ( k e. y -> k e. A ) )
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) -> ( k e. y -> k e. A ) )
37	36	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( k e. y -> k e. A ) )
38	37	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. A )
39		fprodmodd.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ZZ )
40	34, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. ZZ )
41	40	zcnd 9496	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. CC )
42	41	adantllr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. CC )
43		eldifi 3295	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( A \ y ) -> i e. A )
44	43	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) -> i e. A )
45	39	ralrimiva 2579	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. k e. A B e. ZZ )
46		rspcsbela 3153	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> [_ i / k ]_ B e. ZZ )
47	44, 45, 46	syl2anr 290	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [_ i / k ]_ B e. ZZ )
48	47	zcnd 9496	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [_ i / k ]_ B e. CC )
49	48	adantlr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [_ i / k ]_ B e. CC )
50		csbeq1a 3102	. . . . . . 7 |- ( k = i -> B = [_ i / k ]_ B )
51	28, 29, 30, 33, 42, 49, 50	fprodunsn 11915	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { i } ) B = ( prod_ k e. y B x. [_ i / k ]_ B ) )
52	51	oveq1d 5959	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { i } ) B mod M ) = ( ( prod_ k e. y B x. [_ i / k ]_ B ) mod M ) )
53	52	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { i } ) B mod M ) = ( ( prod_ k e. y B x. [_ i / k ]_ B ) mod M ) )
54	40	adantllr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. ZZ )
55	29, 54	fprodzcl 11920	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. y B e. ZZ )
56	55	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> prod_ k e. y B e. ZZ )
57		fprodmodd.c	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. ZZ )
58	34, 38, 57	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> C e. ZZ )
59	58	adantllr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> C e. ZZ )
60	29, 59	fprodzcl 11920	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. y C e. ZZ )
61	60	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> prod_ k e. y C e. ZZ )
62	47	ad4ant13 513	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> [_ i / k ]_ B e. ZZ )
63	57	ralrimiva 2579	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. A C e. ZZ )
64		rspcsbela 3153	. . . . . . 7 |- ( ( i e. A /\ A. k e. A C e. ZZ ) -> [_ i / k ]_ C e. ZZ )
65	44, 63, 64	syl2anr 290	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [_ i / k ]_ C e. ZZ )
66	65	ad4ant13 513	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> [_ i / k ]_ C e. ZZ )
67		fprodmodd.m	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN )
68		nnq 9754	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> M e. QQ )
69	67, 68	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. QQ )
70	69	ad3antrrr 492	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> M e. QQ )
71	67	nngt0d 9080	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < M )
72	71	ad3antrrr 492	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> 0 < M )
73		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) )
74		fprodmodd.p	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B mod M ) = ( C mod M ) )
75	74	ralrimiva 2579	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. A ( B mod M ) = ( C mod M ) )
76		rspsbca 3082	. . . . . . . . 9 |- ( ( i e. A /\ A. k e. A ( B mod M ) = ( C mod M ) ) -> [. i / k ]. ( B mod M ) = ( C mod M ) )
77	44, 75, 76	syl2anr 290	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [. i / k ]. ( B mod M ) = ( C mod M ) )
78		vex 2775	. . . . . . . . 9 |- i e. _V
79		sbceqg 3109	. . . . . . . . 9 |- ( i e. _V -> ( [. i / k ]. ( B mod M ) = ( C mod M ) <-> [_ i / k ]_ ( B mod M ) = [_ i / k ]_ ( C mod M ) ) )
80	78, 79	mp1i 10	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( [. i / k ]. ( B mod M ) = ( C mod M ) <-> [_ i / k ]_ ( B mod M ) = [_ i / k ]_ ( C mod M ) ) )
81	77, 80	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [_ i / k ]_ ( B mod M ) = [_ i / k ]_ ( C mod M ) )
82		csbov1g 5985	. . . . . . . 8 |- ( i e. _V -> [_ i / k ]_ ( B mod M ) = ( [_ i / k ]_ B mod M ) )
83	82	elv 2776	. . . . . . 7 |- [_ i / k ]_ ( B mod M ) = ( [_ i / k ]_ B mod M )
84		csbov1g 5985	. . . . . . . 8 |- ( i e. _V -> [_ i / k ]_ ( C mod M ) = ( [_ i / k ]_ C mod M ) )
85	84	elv 2776	. . . . . . 7 |- [_ i / k ]_ ( C mod M ) = ( [_ i / k ]_ C mod M )
86	81, 83, 85	3eqtr3g 2261	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( [_ i / k ]_ B mod M ) = ( [_ i / k ]_ C mod M ) )
87	86	ad4ant13 513	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> ( [_ i / k ]_ B mod M ) = ( [_ i / k ]_ C mod M ) )
88	56, 61, 62, 66, 70, 72, 73, 87	modqmul12d 10523	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> ( ( prod_ k e. y B x. [_ i / k ]_ B ) mod M ) = ( ( prod_ k e. y C x. [_ i / k ]_ C ) mod M ) )
89		nfcsb1v 3126	. . . . . . . 8 |- F/_ k [_ i / k ]_ C
90	58	zcnd 9496	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> C e. CC )
91	90	adantllr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> C e. CC )
92	65	zcnd 9496	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [_ i / k ]_ C e. CC )
93	92	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [_ i / k ]_ C e. CC )
94		csbeq1a 3102	. . . . . . . 8 |- ( k = i -> C = [_ i / k ]_ C )
95	89, 29, 30, 33, 91, 93, 94	fprodunsn 11915	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { i } ) C = ( prod_ k e. y C x. [_ i / k ]_ C ) )
96	95	oveq1d 5959	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) = ( ( prod_ k e. y C x. [_ i / k ]_ C ) mod M ) )
97	96	eqcomd 2211	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( prod_ k e. y C x. [_ i / k ]_ C ) mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) )
98	97	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> ( ( prod_ k e. y C x. [_ i / k ]_ C ) mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) )
99	53, 88, 98	3eqtrd 2242	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { i } ) B mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) )
100	99	ex 115	. 2 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) -> ( prod_ k e. ( y u. { i } ) B mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) ) )
101		fprodmodd.a	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
102	5, 10, 15, 20, 27, 100, 101	findcard2sd 6989	1 |- ( ph -> ( prod_ k e. A B mod M ) = ( prod_ k e. A C mod M ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   _Vcvv 2772   [.wsbc 2998   [_csb 3093   \ cdif 3163   u. cun 3164   C_ wss 3166   (/)c0 3460   {csn 3633   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944   Fincfn 6827   CCcc 7923   0cc0 7925   1c1 7926   x. cmul 7930   < clt 8107   NNcn 9036   ZZcz 9372   QQcq 9740   mod cmo 10467   prod_cprod 11861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044  ax-caucvg 8045

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-irdg 6456  df-frec 6477  df-1o 6502  df-oadd 6506  df-er 6620  df-en 6828  df-dom 6829  df-fin 6830  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-q 9741  df-rp 9776  df-fz 10131  df-fzo 10265  df-fl 10413  df-mod 10468  df-seqfrec 10593  df-exp 10684  df-ihash 10921  df-cj 11153  df-re 11154  df-im 11155  df-rsqrt 11309  df-abs 11310  df-clim 11590  df-proddc 11862

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem5a  15542