Theorem fprodmodd 11542

Description: If all factors of two finite products are equal modulo M, the products are equal modulo M. (Contributed by AV, 7-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodmodd.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodmodd.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ZZ )
fprodmodd.c	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. ZZ )
fprodmodd.m	|- ( ph -> M e. NN )
fprodmodd.p	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B mod M ) = ( C mod M ) )

Assertion

Ref	Expression
fprodmodd	|- ( ph -> ( prod_ k e. A B mod M ) = ( prod_ k e. A C mod M ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, M   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)

Proof of Theorem fprodmodd

Dummy variables i x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 11454	. . . 4 |- ( x = (/) -> prod_ k e. x B = prod_ k e. (/) B )
2	1	oveq1d 5840	. . 3 |- ( x = (/) -> ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. (/) B mod M ) )
3		prodeq1 11454	. . . 4 |- ( x = (/) -> prod_ k e. x C = prod_ k e. (/) C )
4	3	oveq1d 5840	. . 3 |- ( x = (/) -> ( prod_ k e. x C mod M ) = ( prod_ k e. (/) C mod M ) )
5	2, 4	eqeq12d 2172	. 2 |- ( x = (/) -> ( ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. x C mod M ) <-> ( prod_ k e. (/) B mod M ) = ( prod_ k e. (/) C mod M ) ) )
6		prodeq1 11454	. . . 4 |- ( x = y -> prod_ k e. x B = prod_ k e. y B )
7	6	oveq1d 5840	. . 3 |- ( x = y -> ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. y B mod M ) )
8		prodeq1 11454	. . . 4 |- ( x = y -> prod_ k e. x C = prod_ k e. y C )
9	8	oveq1d 5840	. . 3 |- ( x = y -> ( prod_ k e. x C mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) )
10	7, 9	eqeq12d 2172	. 2 |- ( x = y -> ( ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. x C mod M ) <-> ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) )
11		prodeq1 11454	. . . 4 |- ( x = ( y u. { i } ) -> prod_ k e. x B = prod_ k e. ( y u. { i } ) B )
12	11	oveq1d 5840	. . 3 |- ( x = ( y u. { i } ) -> ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) B mod M ) )
13		prodeq1 11454	. . . 4 |- ( x = ( y u. { i } ) -> prod_ k e. x C = prod_ k e. ( y u. { i } ) C )
14	13	oveq1d 5840	. . 3 |- ( x = ( y u. { i } ) -> ( prod_ k e. x C mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) )
15	12, 14	eqeq12d 2172	. 2 |- ( x = ( y u. { i } ) -> ( ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. x C mod M ) <-> ( prod_ k e. ( y u. { i } ) B mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) ) )
16		prodeq1 11454	. . . 4 |- ( x = A -> prod_ k e. x B = prod_ k e. A B )
17	16	oveq1d 5840	. . 3 |- ( x = A -> ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. A B mod M ) )
18		prodeq1 11454	. . . 4 |- ( x = A -> prod_ k e. x C = prod_ k e. A C )
19	18	oveq1d 5840	. . 3 |- ( x = A -> ( prod_ k e. x C mod M ) = ( prod_ k e. A C mod M ) )
20	17, 19	eqeq12d 2172	. 2 |- ( x = A -> ( ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. x C mod M ) <-> ( prod_ k e. A B mod M ) = ( prod_ k e. A C mod M ) ) )
21		prod0 11486	. . . . 5 |- prod_ k e. (/) B = 1
22	21	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. (/) B = 1 )
23	22	oveq1d 5840	. . 3 |- ( ph -> ( prod_ k e. (/) B mod M ) = ( 1 mod M ) )
24		prod0 11486	. . . . 5 |- prod_ k e. (/) C = 1
25	24	eqcomi 2161	. . . 4 |- 1 = prod_ k e. (/) C
26	25	oveq1i 5835	. . 3 |- ( 1 mod M ) = ( prod_ k e. (/) C mod M )
27	23, 26	eqtrdi 2206	. 2 |- ( ph -> ( prod_ k e. (/) B mod M ) = ( prod_ k e. (/) C mod M ) )
28		nfcsb1v 3064	. . . . . . 7 |- F/_ k [_ i / k ]_ B
29		simplr 520	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
30		simprr 522	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> i e. ( A \ y ) )
31		simprr 522	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> i e. ( A \ y ) )
32	31	eldifbd 3114	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> -. i e. y )
33	32	adantlr 469	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> -. i e. y )
34		simpll 519	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> ph )
35		ssel 3122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y C_ A -> ( k e. y -> k e. A ) )
36	35	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) -> ( k e. y -> k e. A ) )
37	36	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( k e. y -> k e. A ) )
38	37	imp 123	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. A )
39		fprodmodd.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ZZ )
40	34, 38, 39	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. ZZ )
41	40	zcnd 9288	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. CC )
42	41	adantllr 473	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. CC )
43		eldifi 3229	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( A \ y ) -> i e. A )
44	43	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) -> i e. A )
45	39	ralrimiva 2530	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. k e. A B e. ZZ )
46		rspcsbela 3090	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> [_ i / k ]_ B e. ZZ )
47	44, 45, 46	syl2anr 288	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [_ i / k ]_ B e. ZZ )
48	47	zcnd 9288	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [_ i / k ]_ B e. CC )
49	48	adantlr 469	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [_ i / k ]_ B e. CC )
50		csbeq1a 3040	. . . . . . 7 |- ( k = i -> B = [_ i / k ]_ B )
51	28, 29, 30, 33, 42, 49, 50	fprodunsn 11505	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { i } ) B = ( prod_ k e. y B x. [_ i / k ]_ B ) )
52	51	oveq1d 5840	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { i } ) B mod M ) = ( ( prod_ k e. y B x. [_ i / k ]_ B ) mod M ) )
53	52	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { i } ) B mod M ) = ( ( prod_ k e. y B x. [_ i / k ]_ B ) mod M ) )
54	40	adantllr 473	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. ZZ )
55	29, 54	fprodzcl 11510	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. y B e. ZZ )
56	55	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> prod_ k e. y B e. ZZ )
57		fprodmodd.c	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. ZZ )
58	34, 38, 57	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> C e. ZZ )
59	58	adantllr 473	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> C e. ZZ )
60	29, 59	fprodzcl 11510	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. y C e. ZZ )
61	60	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> prod_ k e. y C e. ZZ )
62	47	ad4ant13 505	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> [_ i / k ]_ B e. ZZ )
63	57	ralrimiva 2530	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. A C e. ZZ )
64		rspcsbela 3090	. . . . . . 7 |- ( ( i e. A /\ A. k e. A C e. ZZ ) -> [_ i / k ]_ C e. ZZ )
65	44, 63, 64	syl2anr 288	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [_ i / k ]_ C e. ZZ )
66	65	ad4ant13 505	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> [_ i / k ]_ C e. ZZ )
67		fprodmodd.m	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN )
68		nnq 9543	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> M e. QQ )
69	67, 68	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. QQ )
70	69	ad3antrrr 484	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> M e. QQ )
71	67	nngt0d 8878	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < M )
72	71	ad3antrrr 484	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> 0 < M )
73		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) )
74		fprodmodd.p	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B mod M ) = ( C mod M ) )
75	74	ralrimiva 2530	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. A ( B mod M ) = ( C mod M ) )
76		rspsbca 3020	. . . . . . . . 9 |- ( ( i e. A /\ A. k e. A ( B mod M ) = ( C mod M ) ) -> [. i / k ]. ( B mod M ) = ( C mod M ) )
77	44, 75, 76	syl2anr 288	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [. i / k ]. ( B mod M ) = ( C mod M ) )
78		vex 2715	. . . . . . . . 9 |- i e. _V
79		sbceqg 3047	. . . . . . . . 9 |- ( i e. _V -> ( [. i / k ]. ( B mod M ) = ( C mod M ) <-> [_ i / k ]_ ( B mod M ) = [_ i / k ]_ ( C mod M ) ) )
80	78, 79	mp1i 10	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( [. i / k ]. ( B mod M ) = ( C mod M ) <-> [_ i / k ]_ ( B mod M ) = [_ i / k ]_ ( C mod M ) ) )
81	77, 80	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [_ i / k ]_ ( B mod M ) = [_ i / k ]_ ( C mod M ) )
82		csbov1g 5862	. . . . . . . 8 |- ( i e. _V -> [_ i / k ]_ ( B mod M ) = ( [_ i / k ]_ B mod M ) )
83	82	elv 2716	. . . . . . 7 |- [_ i / k ]_ ( B mod M ) = ( [_ i / k ]_ B mod M )
84		csbov1g 5862	. . . . . . . 8 |- ( i e. _V -> [_ i / k ]_ ( C mod M ) = ( [_ i / k ]_ C mod M ) )
85	84	elv 2716	. . . . . . 7 |- [_ i / k ]_ ( C mod M ) = ( [_ i / k ]_ C mod M )
86	81, 83, 85	3eqtr3g 2213	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( [_ i / k ]_ B mod M ) = ( [_ i / k ]_ C mod M ) )
87	86	ad4ant13 505	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> ( [_ i / k ]_ B mod M ) = ( [_ i / k ]_ C mod M ) )
88	56, 61, 62, 66, 70, 72, 73, 87	modqmul12d 10281	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> ( ( prod_ k e. y B x. [_ i / k ]_ B ) mod M ) = ( ( prod_ k e. y C x. [_ i / k ]_ C ) mod M ) )
89		nfcsb1v 3064	. . . . . . . 8 |- F/_ k [_ i / k ]_ C
90	58	zcnd 9288	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> C e. CC )
91	90	adantllr 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> C e. CC )
92	65	zcnd 9288	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [_ i / k ]_ C e. CC )
93	92	adantlr 469	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [_ i / k ]_ C e. CC )
94		csbeq1a 3040	. . . . . . . 8 |- ( k = i -> C = [_ i / k ]_ C )
95	89, 29, 30, 33, 91, 93, 94	fprodunsn 11505	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { i } ) C = ( prod_ k e. y C x. [_ i / k ]_ C ) )
96	95	oveq1d 5840	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) = ( ( prod_ k e. y C x. [_ i / k ]_ C ) mod M ) )
97	96	eqcomd 2163	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( prod_ k e. y C x. [_ i / k ]_ C ) mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) )
98	97	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> ( ( prod_ k e. y C x. [_ i / k ]_ C ) mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) )
99	53, 88, 98	3eqtrd 2194	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { i } ) B mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) )
100	99	ex 114	. 2 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) -> ( prod_ k e. ( y u. { i } ) B mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) ) )
101		fprodmodd.a	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
102	5, 10, 15, 20, 27, 100, 101	findcard2sd 6838	1 |- ( ph -> ( prod_ k e. A B mod M ) = ( prod_ k e. A C mod M ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   _Vcvv 2712   [.wsbc 2937   [_csb 3031   \ cdif 3099   u. cun 3100   C_ wss 3102   (/)c0 3394   {csn 3560   class class class wbr 3966  (class class class)co 5825   Fincfn 6686   CCcc 7731   0cc0 7733   1c1 7734   x. cmul 7738   < clt 7913   NNcn 8834   ZZcz 9168   QQcq 9529   mod cmo 10225   prod_cprod 11451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-mulrcl 7832  ax-addcom 7833  ax-mulcom 7834  ax-addass 7835  ax-mulass 7836  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-1rid 7840  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-precex 7843  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-apti 7848  ax-pre-ltadd 7849  ax-pre-mulgt0 7850  ax-pre-mulext 7851  ax-arch 7852  ax-caucvg 7853

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-po 4257  df-iso 4258  df-iord 4327  df-on 4329  df-ilim 4330  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-isom 5180  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-recs 6253  df-irdg 6318  df-frec 6339  df-1o 6364  df-oadd 6368  df-er 6481  df-en 6687  df-dom 6688  df-fin 6689  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-reap 8451  df-ap 8458  df-div 8547  df-inn 8835  df-2 8893  df-3 8894  df-4 8895  df-n0 9092  df-z 9169  df-uz 9441  df-q 9530  df-rp 9562  df-fz 9914  df-fzo 10046  df-fl 10173  df-mod 10226  df-seqfrec 10349  df-exp 10423  df-ihash 10654  df-cj 10746  df-re 10747  df-im 10748  df-rsqrt 10902  df-abs 10903  df-clim 11180  df-proddc 11452

This theorem is referenced by: (None)