Theorem fprodmodd 12265

Description: If all factors of two finite products are equal modulo M, the products are equal modulo M. (Contributed by AV, 7-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodmodd.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodmodd.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ZZ )
fprodmodd.c	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. ZZ )
fprodmodd.m	|- ( ph -> M e. NN )
fprodmodd.p	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B mod M ) = ( C mod M ) )

Assertion

Ref	Expression
fprodmodd	|- ( ph -> ( prod_ k e. A B mod M ) = ( prod_ k e. A C mod M ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, M   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)

Proof of Theorem fprodmodd

Dummy variables i x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 12177	. . . 4 |- ( x = (/) -> prod_ k e. x B = prod_ k e. (/) B )
2	1	oveq1d 6043	. . 3 |- ( x = (/) -> ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. (/) B mod M ) )
3		prodeq1 12177	. . . 4 |- ( x = (/) -> prod_ k e. x C = prod_ k e. (/) C )
4	3	oveq1d 6043	. . 3 |- ( x = (/) -> ( prod_ k e. x C mod M ) = ( prod_ k e. (/) C mod M ) )
5	2, 4	eqeq12d 2246	. 2 |- ( x = (/) -> ( ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. x C mod M ) <-> ( prod_ k e. (/) B mod M ) = ( prod_ k e. (/) C mod M ) ) )
6		prodeq1 12177	. . . 4 |- ( x = y -> prod_ k e. x B = prod_ k e. y B )
7	6	oveq1d 6043	. . 3 |- ( x = y -> ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. y B mod M ) )
8		prodeq1 12177	. . . 4 |- ( x = y -> prod_ k e. x C = prod_ k e. y C )
9	8	oveq1d 6043	. . 3 |- ( x = y -> ( prod_ k e. x C mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) )
10	7, 9	eqeq12d 2246	. 2 |- ( x = y -> ( ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. x C mod M ) <-> ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) )
11		prodeq1 12177	. . . 4 |- ( x = ( y u. { i } ) -> prod_ k e. x B = prod_ k e. ( y u. { i } ) B )
12	11	oveq1d 6043	. . 3 |- ( x = ( y u. { i } ) -> ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) B mod M ) )
13		prodeq1 12177	. . . 4 |- ( x = ( y u. { i } ) -> prod_ k e. x C = prod_ k e. ( y u. { i } ) C )
14	13	oveq1d 6043	. . 3 |- ( x = ( y u. { i } ) -> ( prod_ k e. x C mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) )
15	12, 14	eqeq12d 2246	. 2 |- ( x = ( y u. { i } ) -> ( ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. x C mod M ) <-> ( prod_ k e. ( y u. { i } ) B mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) ) )
16		prodeq1 12177	. . . 4 |- ( x = A -> prod_ k e. x B = prod_ k e. A B )
17	16	oveq1d 6043	. . 3 |- ( x = A -> ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. A B mod M ) )
18		prodeq1 12177	. . . 4 |- ( x = A -> prod_ k e. x C = prod_ k e. A C )
19	18	oveq1d 6043	. . 3 |- ( x = A -> ( prod_ k e. x C mod M ) = ( prod_ k e. A C mod M ) )
20	17, 19	eqeq12d 2246	. 2 |- ( x = A -> ( ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. x C mod M ) <-> ( prod_ k e. A B mod M ) = ( prod_ k e. A C mod M ) ) )
21		prod0 12209	. . . . 5 |- prod_ k e. (/) B = 1
22	21	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. (/) B = 1 )
23	22	oveq1d 6043	. . 3 |- ( ph -> ( prod_ k e. (/) B mod M ) = ( 1 mod M ) )
24		prod0 12209	. . . . 5 |- prod_ k e. (/) C = 1
25	24	eqcomi 2235	. . . 4 |- 1 = prod_ k e. (/) C
26	25	oveq1i 6038	. . 3 |- ( 1 mod M ) = ( prod_ k e. (/) C mod M )
27	23, 26	eqtrdi 2280	. 2 |- ( ph -> ( prod_ k e. (/) B mod M ) = ( prod_ k e. (/) C mod M ) )
28		nfcsb1v 3161	. . . . . . 7 |- F/_ k [_ i / k ]_ B
29		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
30		simprr 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> i e. ( A \ y ) )
31		simprr 533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> i e. ( A \ y ) )
32	31	eldifbd 3213	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> -. i e. y )
33	32	adantlr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> -. i e. y )
34		simpll 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> ph )
35		ssel 3222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y C_ A -> ( k e. y -> k e. A ) )
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) -> ( k e. y -> k e. A ) )
37	36	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( k e. y -> k e. A ) )
38	37	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. A )
39		fprodmodd.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ZZ )
40	34, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. ZZ )
41	40	zcnd 9647	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. CC )
42	41	adantllr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. CC )
43		eldifi 3331	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( A \ y ) -> i e. A )
44	43	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) -> i e. A )
45	39	ralrimiva 2606	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. k e. A B e. ZZ )
46		rspcsbela 3188	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> [_ i / k ]_ B e. ZZ )
47	44, 45, 46	syl2anr 290	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [_ i / k ]_ B e. ZZ )
48	47	zcnd 9647	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [_ i / k ]_ B e. CC )
49	48	adantlr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [_ i / k ]_ B e. CC )
50		csbeq1a 3137	. . . . . . 7 |- ( k = i -> B = [_ i / k ]_ B )
51	28, 29, 30, 33, 42, 49, 50	fprodunsn 12228	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { i } ) B = ( prod_ k e. y B x. [_ i / k ]_ B ) )
52	51	oveq1d 6043	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { i } ) B mod M ) = ( ( prod_ k e. y B x. [_ i / k ]_ B ) mod M ) )
53	52	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { i } ) B mod M ) = ( ( prod_ k e. y B x. [_ i / k ]_ B ) mod M ) )
54	40	adantllr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. ZZ )
55	29, 54	fprodzcl 12233	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. y B e. ZZ )
56	55	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> prod_ k e. y B e. ZZ )
57		fprodmodd.c	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. ZZ )
58	34, 38, 57	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> C e. ZZ )
59	58	adantllr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> C e. ZZ )
60	29, 59	fprodzcl 12233	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. y C e. ZZ )
61	60	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> prod_ k e. y C e. ZZ )
62	47	ad4ant13 513	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> [_ i / k ]_ B e. ZZ )
63	57	ralrimiva 2606	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. A C e. ZZ )
64		rspcsbela 3188	. . . . . . 7 |- ( ( i e. A /\ A. k e. A C e. ZZ ) -> [_ i / k ]_ C e. ZZ )
65	44, 63, 64	syl2anr 290	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [_ i / k ]_ C e. ZZ )
66	65	ad4ant13 513	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> [_ i / k ]_ C e. ZZ )
67		fprodmodd.m	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN )
68		nnq 9911	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> M e. QQ )
69	67, 68	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. QQ )
70	69	ad3antrrr 492	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> M e. QQ )
71	67	nngt0d 9229	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < M )
72	71	ad3antrrr 492	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> 0 < M )
73		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) )
74		fprodmodd.p	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B mod M ) = ( C mod M ) )
75	74	ralrimiva 2606	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. A ( B mod M ) = ( C mod M ) )
76		rspsbca 3117	. . . . . . . . 9 |- ( ( i e. A /\ A. k e. A ( B mod M ) = ( C mod M ) ) -> [. i / k ]. ( B mod M ) = ( C mod M ) )
77	44, 75, 76	syl2anr 290	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [. i / k ]. ( B mod M ) = ( C mod M ) )
78		vex 2806	. . . . . . . . 9 |- i e. _V
79		sbceqg 3144	. . . . . . . . 9 |- ( i e. _V -> ( [. i / k ]. ( B mod M ) = ( C mod M ) <-> [_ i / k ]_ ( B mod M ) = [_ i / k ]_ ( C mod M ) ) )
80	78, 79	mp1i 10	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( [. i / k ]. ( B mod M ) = ( C mod M ) <-> [_ i / k ]_ ( B mod M ) = [_ i / k ]_ ( C mod M ) ) )
81	77, 80	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [_ i / k ]_ ( B mod M ) = [_ i / k ]_ ( C mod M ) )
82		csbov1g 6069	. . . . . . . 8 |- ( i e. _V -> [_ i / k ]_ ( B mod M ) = ( [_ i / k ]_ B mod M ) )
83	82	elv 2807	. . . . . . 7 |- [_ i / k ]_ ( B mod M ) = ( [_ i / k ]_ B mod M )
84		csbov1g 6069	. . . . . . . 8 |- ( i e. _V -> [_ i / k ]_ ( C mod M ) = ( [_ i / k ]_ C mod M ) )
85	84	elv 2807	. . . . . . 7 |- [_ i / k ]_ ( C mod M ) = ( [_ i / k ]_ C mod M )
86	81, 83, 85	3eqtr3g 2287	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( [_ i / k ]_ B mod M ) = ( [_ i / k ]_ C mod M ) )
87	86	ad4ant13 513	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> ( [_ i / k ]_ B mod M ) = ( [_ i / k ]_ C mod M ) )
88	56, 61, 62, 66, 70, 72, 73, 87	modqmul12d 10686	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> ( ( prod_ k e. y B x. [_ i / k ]_ B ) mod M ) = ( ( prod_ k e. y C x. [_ i / k ]_ C ) mod M ) )
89		nfcsb1v 3161	. . . . . . . 8 |- F/_ k [_ i / k ]_ C
90	58	zcnd 9647	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> C e. CC )
91	90	adantllr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> C e. CC )
92	65	zcnd 9647	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [_ i / k ]_ C e. CC )
93	92	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [_ i / k ]_ C e. CC )
94		csbeq1a 3137	. . . . . . . 8 |- ( k = i -> C = [_ i / k ]_ C )
95	89, 29, 30, 33, 91, 93, 94	fprodunsn 12228	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { i } ) C = ( prod_ k e. y C x. [_ i / k ]_ C ) )
96	95	oveq1d 6043	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) = ( ( prod_ k e. y C x. [_ i / k ]_ C ) mod M ) )
97	96	eqcomd 2237	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( prod_ k e. y C x. [_ i / k ]_ C ) mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) )
98	97	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> ( ( prod_ k e. y C x. [_ i / k ]_ C ) mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) )
99	53, 88, 98	3eqtrd 2268	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { i } ) B mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) )
100	99	ex 115	. 2 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) -> ( prod_ k e. ( y u. { i } ) B mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) ) )
101		fprodmodd.a	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
102	5, 10, 15, 20, 27, 100, 101	findcard2sd 7124	1 |- ( ph -> ( prod_ k e. A B mod M ) = ( prod_ k e. A C mod M ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   _Vcvv 2803   [.wsbc 3032   [_csb 3128   \ cdif 3198   u. cun 3199   C_ wss 3201   (/)c0 3496   {csn 3673   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   Fincfn 6952   CCcc 8073   0cc0 8075   1c1 8076   x. cmul 8080   < clt 8256   NNcn 9185   ZZcz 9523   QQcq 9897   mod cmo 10630   prod_cprod 12174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-q 9898  df-rp 9933  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-fl 10576  df-mod 10631  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-ihash 11084  df-cj 11465  df-re 11466  df-im 11467  df-rsqrt 11621  df-abs 11622  df-clim 11902  df-proddc 12175

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem5a  15867