Theorem fprodmodd 12167

Description: If all factors of two finite products are equal modulo M, the products are equal modulo M. (Contributed by AV, 7-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodmodd.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodmodd.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ZZ )
fprodmodd.c	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. ZZ )
fprodmodd.m	|- ( ph -> M e. NN )
fprodmodd.p	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B mod M ) = ( C mod M ) )

Assertion

Ref	Expression
fprodmodd	|- ( ph -> ( prod_ k e. A B mod M ) = ( prod_ k e. A C mod M ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, M   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)

Proof of Theorem fprodmodd

Dummy variables i x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 12079	. . . 4 |- ( x = (/) -> prod_ k e. x B = prod_ k e. (/) B )
2	1	oveq1d 6022	. . 3 |- ( x = (/) -> ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. (/) B mod M ) )
3		prodeq1 12079	. . . 4 |- ( x = (/) -> prod_ k e. x C = prod_ k e. (/) C )
4	3	oveq1d 6022	. . 3 |- ( x = (/) -> ( prod_ k e. x C mod M ) = ( prod_ k e. (/) C mod M ) )
5	2, 4	eqeq12d 2244	. 2 |- ( x = (/) -> ( ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. x C mod M ) <-> ( prod_ k e. (/) B mod M ) = ( prod_ k e. (/) C mod M ) ) )
6		prodeq1 12079	. . . 4 |- ( x = y -> prod_ k e. x B = prod_ k e. y B )
7	6	oveq1d 6022	. . 3 |- ( x = y -> ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. y B mod M ) )
8		prodeq1 12079	. . . 4 |- ( x = y -> prod_ k e. x C = prod_ k e. y C )
9	8	oveq1d 6022	. . 3 |- ( x = y -> ( prod_ k e. x C mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) )
10	7, 9	eqeq12d 2244	. 2 |- ( x = y -> ( ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. x C mod M ) <-> ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) )
11		prodeq1 12079	. . . 4 |- ( x = ( y u. { i } ) -> prod_ k e. x B = prod_ k e. ( y u. { i } ) B )
12	11	oveq1d 6022	. . 3 |- ( x = ( y u. { i } ) -> ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) B mod M ) )
13		prodeq1 12079	. . . 4 |- ( x = ( y u. { i } ) -> prod_ k e. x C = prod_ k e. ( y u. { i } ) C )
14	13	oveq1d 6022	. . 3 |- ( x = ( y u. { i } ) -> ( prod_ k e. x C mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) )
15	12, 14	eqeq12d 2244	. 2 |- ( x = ( y u. { i } ) -> ( ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. x C mod M ) <-> ( prod_ k e. ( y u. { i } ) B mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) ) )
16		prodeq1 12079	. . . 4 |- ( x = A -> prod_ k e. x B = prod_ k e. A B )
17	16	oveq1d 6022	. . 3 |- ( x = A -> ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. A B mod M ) )
18		prodeq1 12079	. . . 4 |- ( x = A -> prod_ k e. x C = prod_ k e. A C )
19	18	oveq1d 6022	. . 3 |- ( x = A -> ( prod_ k e. x C mod M ) = ( prod_ k e. A C mod M ) )
20	17, 19	eqeq12d 2244	. 2 |- ( x = A -> ( ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. x C mod M ) <-> ( prod_ k e. A B mod M ) = ( prod_ k e. A C mod M ) ) )
21		prod0 12111	. . . . 5 |- prod_ k e. (/) B = 1
22	21	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. (/) B = 1 )
23	22	oveq1d 6022	. . 3 |- ( ph -> ( prod_ k e. (/) B mod M ) = ( 1 mod M ) )
24		prod0 12111	. . . . 5 |- prod_ k e. (/) C = 1
25	24	eqcomi 2233	. . . 4 |- 1 = prod_ k e. (/) C
26	25	oveq1i 6017	. . 3 |- ( 1 mod M ) = ( prod_ k e. (/) C mod M )
27	23, 26	eqtrdi 2278	. 2 |- ( ph -> ( prod_ k e. (/) B mod M ) = ( prod_ k e. (/) C mod M ) )
28		nfcsb1v 3157	. . . . . . 7 |- F/_ k [_ i / k ]_ B
29		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
30		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> i e. ( A \ y ) )
31		simprr 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> i e. ( A \ y ) )
32	31	eldifbd 3209	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> -. i e. y )
33	32	adantlr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> -. i e. y )
34		simpll 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> ph )
35		ssel 3218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y C_ A -> ( k e. y -> k e. A ) )
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) -> ( k e. y -> k e. A ) )
37	36	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( k e. y -> k e. A ) )
38	37	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. A )
39		fprodmodd.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ZZ )
40	34, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. ZZ )
41	40	zcnd 9581	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. CC )
42	41	adantllr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. CC )
43		eldifi 3326	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( A \ y ) -> i e. A )
44	43	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) -> i e. A )
45	39	ralrimiva 2603	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. k e. A B e. ZZ )
46		rspcsbela 3184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> [_ i / k ]_ B e. ZZ )
47	44, 45, 46	syl2anr 290	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [_ i / k ]_ B e. ZZ )
48	47	zcnd 9581	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [_ i / k ]_ B e. CC )
49	48	adantlr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [_ i / k ]_ B e. CC )
50		csbeq1a 3133	. . . . . . 7 |- ( k = i -> B = [_ i / k ]_ B )
51	28, 29, 30, 33, 42, 49, 50	fprodunsn 12130	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { i } ) B = ( prod_ k e. y B x. [_ i / k ]_ B ) )
52	51	oveq1d 6022	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { i } ) B mod M ) = ( ( prod_ k e. y B x. [_ i / k ]_ B ) mod M ) )
53	52	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { i } ) B mod M ) = ( ( prod_ k e. y B x. [_ i / k ]_ B ) mod M ) )
54	40	adantllr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. ZZ )
55	29, 54	fprodzcl 12135	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. y B e. ZZ )
56	55	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> prod_ k e. y B e. ZZ )
57		fprodmodd.c	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. ZZ )
58	34, 38, 57	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> C e. ZZ )
59	58	adantllr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> C e. ZZ )
60	29, 59	fprodzcl 12135	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. y C e. ZZ )
61	60	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> prod_ k e. y C e. ZZ )
62	47	ad4ant13 513	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> [_ i / k ]_ B e. ZZ )
63	57	ralrimiva 2603	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. A C e. ZZ )
64		rspcsbela 3184	. . . . . . 7 |- ( ( i e. A /\ A. k e. A C e. ZZ ) -> [_ i / k ]_ C e. ZZ )
65	44, 63, 64	syl2anr 290	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [_ i / k ]_ C e. ZZ )
66	65	ad4ant13 513	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> [_ i / k ]_ C e. ZZ )
67		fprodmodd.m	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN )
68		nnq 9840	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> M e. QQ )
69	67, 68	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. QQ )
70	69	ad3antrrr 492	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> M e. QQ )
71	67	nngt0d 9165	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < M )
72	71	ad3antrrr 492	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> 0 < M )
73		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) )
74		fprodmodd.p	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B mod M ) = ( C mod M ) )
75	74	ralrimiva 2603	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. A ( B mod M ) = ( C mod M ) )
76		rspsbca 3113	. . . . . . . . 9 |- ( ( i e. A /\ A. k e. A ( B mod M ) = ( C mod M ) ) -> [. i / k ]. ( B mod M ) = ( C mod M ) )
77	44, 75, 76	syl2anr 290	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [. i / k ]. ( B mod M ) = ( C mod M ) )
78		vex 2802	. . . . . . . . 9 |- i e. _V
79		sbceqg 3140	. . . . . . . . 9 |- ( i e. _V -> ( [. i / k ]. ( B mod M ) = ( C mod M ) <-> [_ i / k ]_ ( B mod M ) = [_ i / k ]_ ( C mod M ) ) )
80	78, 79	mp1i 10	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( [. i / k ]. ( B mod M ) = ( C mod M ) <-> [_ i / k ]_ ( B mod M ) = [_ i / k ]_ ( C mod M ) ) )
81	77, 80	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [_ i / k ]_ ( B mod M ) = [_ i / k ]_ ( C mod M ) )
82		csbov1g 6048	. . . . . . . 8 |- ( i e. _V -> [_ i / k ]_ ( B mod M ) = ( [_ i / k ]_ B mod M ) )
83	82	elv 2803	. . . . . . 7 |- [_ i / k ]_ ( B mod M ) = ( [_ i / k ]_ B mod M )
84		csbov1g 6048	. . . . . . . 8 |- ( i e. _V -> [_ i / k ]_ ( C mod M ) = ( [_ i / k ]_ C mod M ) )
85	84	elv 2803	. . . . . . 7 |- [_ i / k ]_ ( C mod M ) = ( [_ i / k ]_ C mod M )
86	81, 83, 85	3eqtr3g 2285	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( [_ i / k ]_ B mod M ) = ( [_ i / k ]_ C mod M ) )
87	86	ad4ant13 513	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> ( [_ i / k ]_ B mod M ) = ( [_ i / k ]_ C mod M ) )
88	56, 61, 62, 66, 70, 72, 73, 87	modqmul12d 10612	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> ( ( prod_ k e. y B x. [_ i / k ]_ B ) mod M ) = ( ( prod_ k e. y C x. [_ i / k ]_ C ) mod M ) )
89		nfcsb1v 3157	. . . . . . . 8 |- F/_ k [_ i / k ]_ C
90	58	zcnd 9581	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> C e. CC )
91	90	adantllr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> C e. CC )
92	65	zcnd 9581	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [_ i / k ]_ C e. CC )
93	92	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [_ i / k ]_ C e. CC )
94		csbeq1a 3133	. . . . . . . 8 |- ( k = i -> C = [_ i / k ]_ C )
95	89, 29, 30, 33, 91, 93, 94	fprodunsn 12130	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { i } ) C = ( prod_ k e. y C x. [_ i / k ]_ C ) )
96	95	oveq1d 6022	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) = ( ( prod_ k e. y C x. [_ i / k ]_ C ) mod M ) )
97	96	eqcomd 2235	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( prod_ k e. y C x. [_ i / k ]_ C ) mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) )
98	97	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> ( ( prod_ k e. y C x. [_ i / k ]_ C ) mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) )
99	53, 88, 98	3eqtrd 2266	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { i } ) B mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) )
100	99	ex 115	. 2 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) -> ( prod_ k e. ( y u. { i } ) B mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) ) )
101		fprodmodd.a	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
102	5, 10, 15, 20, 27, 100, 101	findcard2sd 7062	1 |- ( ph -> ( prod_ k e. A B mod M ) = ( prod_ k e. A C mod M ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2799   [.wsbc 3028   [_csb 3124   \ cdif 3194   u. cun 3195   C_ wss 3197   (/)c0 3491   {csn 3666   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007   Fincfn 6895   CCcc 8008   0cc0 8010   1c1 8011   x. cmul 8015   < clt 8192   NNcn 9121   ZZcz 9457   QQcq 9826   mod cmo 10556   prod_cprod 12076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-q 9827  df-rp 9862  df-fz 10217  df-fzo 10351  df-fl 10502  df-mod 10557  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-ihash 11010  df-cj 11368  df-re 11369  df-im 11370  df-rsqrt 11524  df-abs 11525  df-clim 11805  df-proddc 12077

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem5a  15759