Theorem ellspsn5b 14855

Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 8-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellspsn5b.v	|- V = ( Base ` W )
ellspsn5b.s	|- S = ( LSubSp ` W )
ellspsn5b.n	|- N = ( LSpan ` W )
ellspsn5b.w	|- ( ph -> W e. LMod )
ellspsn5b.a	|- ( ph -> U e. S )
ellspsn5b.x	|- ( ph -> X e. V )

Assertion

Ref	Expression
ellspsn5b	|- ( ph -> ( X e. U <-> ( N ` { X } ) C_ U ) )

Proof of Theorem ellspsn5b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellspsn5b.x	. 2 |- ( ph -> X e. V )
2		ellspsn5b.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
3		ellspsn5b.s	. . 3 |- S = ( LSubSp ` W )
4		ellspsn5b.n	. . 3 |- N = ( LSpan ` W )
5		ellspsn5b.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
6		ellspsn5b.a	. . 3 |- ( ph -> U e. S )
7	2, 3, 4, 5, 6	ellspsn6 14854	. 2 |- ( ph -> ( X e. U <-> ( X e. V /\ ( N ` { X } ) C_ U ) ) )
8	1, 7	mpbirand 445	1 |- ( ph -> ( X e. U <-> ( N ` { X } ) C_ U ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   C_ wss 3220   {csn 3709   ` cfv 5380   Basecbs 13410   LModclmod 14732   LSubSpclss 14798   LSpanclspn 14832

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-0g 13671  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-lmod 14734  df-lssm 14799  df-lsp 14833

This theorem is used by:  ellspsn5  14856  lspprid1  14857  lspsnss2  14865