Theorem ellspsn5b 14729

Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 8-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellspsn5b.v	|- V = ( Base ` W )
ellspsn5b.s	|- S = ( LSubSp ` W )
ellspsn5b.n	|- N = ( LSpan ` W )
ellspsn5b.w	|- ( ph -> W e. LMod )
ellspsn5b.a	|- ( ph -> U e. S )
ellspsn5b.x	|- ( ph -> X e. V )

Assertion

Ref	Expression
ellspsn5b	|- ( ph -> ( X e. U <-> ( N ` { X } ) C_ U ) )

Proof of Theorem ellspsn5b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellspsn5b.x	. 2 |- ( ph -> X e. V )
2		ellspsn5b.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
3		ellspsn5b.s	. . 3 |- S = ( LSubSp ` W )
4		ellspsn5b.n	. . 3 |- N = ( LSpan ` W )
5		ellspsn5b.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
6		ellspsn5b.a	. . 3 |- ( ph -> U e. S )
7	2, 3, 4, 5, 6	ellspsn6 14728	. 2 |- ( ph -> ( X e. U <-> ( X e. V /\ ( N ` { X } ) C_ U ) ) )
8	1, 7	mpbirand 445	1 |- ( ph -> ( X e. U <-> ( N ` { X } ) C_ U ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   C_ wss 3220   {csn 3708   ` cfv 5375   Basecbs 13335   LModclmod 14606   LSubSpclss 14672   LSpanclspn 14706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1re 8267  ax-addrcl 8270

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-sca 13430  df-vsca 13431  df-0g 13595  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-grp 13791  df-lmod 14608  df-lssm 14673  df-lsp 14707

This theorem is referenced by:  ellspsn5  14730  lspprid1  14731  lspsnss2  14739