Theorem lspprid1 13687

Description: A member of a pair of vectors belongs to their span. (Contributed by NM, 14-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspprid.v	|- V = ( Base ` W )
lspprid.n	|- N = ( LSpan ` W )
lspprid.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lspprid.x	|- ( ph -> X e. V )
lspprid.y	|- ( ph -> Y e. V )

Assertion

Ref	Expression
lspprid1	|- ( ph -> X e. ( N ` { X , Y } ) )

Proof of Theorem lspprid1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspprid.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lspprid.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. V )
3		lspprid.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. V )
4	2, 3	prssd 3765	. . 3 |- ( ph -> { X , Y } C_ V )
5		snsspr1 3754	. . . 4 |- { X } C_ { X , Y }
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> { X } C_ { X , Y } )
7		lspprid.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
8		lspprid.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
9	7, 8	lspss 13675	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ { X , Y } C_ V /\ { X } C_ { X , Y } ) -> ( N ` { X } ) C_ ( N ` { X , Y } ) )
10	1, 4, 6, 9	syl3anc 1248	. 2 |- ( ph -> ( N ` { X } ) C_ ( N ` { X , Y } ) )
11		eqid 2188	. . 3 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
12	7, 11, 8, 1, 2, 3	lspprcl 13669	. . 3 |- ( ph -> ( N ` { X , Y } ) e. ( LSubSp ` W ) )
13	7, 11, 8, 1, 12, 2	lspsnel5 13685	. 2 |- ( ph -> ( X e. ( N ` { X , Y } ) <-> ( N ` { X } ) C_ ( N ` { X , Y } ) ) )
14	10, 13	mpbird 167	1 |- ( ph -> X e. ( N ` { X , Y } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1363   e. wcel 2159   C_ wss 3143   {csn 3606   {cpr 3607   ` cfv 5230   Basecbs 12479   LModclmod 13563   LSubSpclss 13628   LSpanclspn 13662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-addcom 7928  ax-addass 7930  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltadd 7944

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rmo 2475  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4307  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-ltxr 8014  df-inn 8937  df-2 8995  df-3 8996  df-4 8997  df-5 8998  df-6 8999  df-ndx 12482  df-slot 12483  df-base 12485  df-sets 12486  df-plusg 12567  df-mulr 12568  df-sca 12570  df-vsca 12571  df-0g 12728  df-mgm 12797  df-sgrp 12830  df-mnd 12843  df-grp 12913  df-minusg 12914  df-sbg 12915  df-mgp 13235  df-ur 13274  df-ring 13312  df-lmod 13565  df-lssm 13629  df-lsp 13663

This theorem is referenced by:  lspprid2  13688  lspprvacl  13689