Theorem lspsnss2 14391

Description: Comparable spans of singletons must have proportional vectors. (Contributed by NM, 7-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnss2.v	|- V = ( Base ` W )
lspsnss2.s	|- S = (Scalar ` W )
lspsnss2.k	|- K = ( Base ` S )
lspsnss2.t	|- .x. = ( .s ` W )
lspsnss2.n	|- N = ( LSpan ` W )
lspsnss2.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lspsnss2.x	|- ( ph -> X e. V )
lspsnss2.y	|- ( ph -> Y e. V )

Assertion

Ref	Expression
lspsnss2	|- ( ph -> ( ( N ` { X } ) C_ ( N ` { Y } ) <-> E. k e. K X = ( k .x. Y ) ) )

Distinct variable groups:   k, K   k, N   S, k   k, V   k, W   k, X   k, Y   .x. , k

Allowed substitution hint:   ph( k)

Proof of Theorem lspsnss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnss2.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
2		eqid 2229	. . 3 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
3		lspsnss2.n	. . 3 |- N = ( LSpan ` W )
4		lspsnss2.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
5		lspsnss2.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. V )
6	1, 2, 3	lspsncl 14364	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V ) -> ( N ` { Y } ) e. ( LSubSp ` W ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( N ` { Y } ) e. ( LSubSp ` W ) )
8		lspsnss2.x	. . 3 |- ( ph -> X e. V )
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	lspsnel5 14381	. 2 |- ( ph -> ( X e. ( N ` { Y } ) <-> ( N ` { X } ) C_ ( N ` { Y } ) ) )
10		lspsnss2.s	. . . 4 |- S = (Scalar ` W )
11		lspsnss2.k	. . . 4 |- K = ( Base ` S )
12		lspsnss2.t	. . . 4 |- .x. = ( .s ` W )
13	10, 11, 1, 12, 3	ellspsn 14389	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V ) -> ( X e. ( N ` { Y } ) <-> E. k e. K X = ( k .x. Y ) ) )
14	4, 5, 13	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( X e. ( N ` { Y } ) <-> E. k e. K X = ( k .x. Y ) ) )
15	9, 14	bitr3d 190	1 |- ( ph -> ( ( N ` { X } ) C_ ( N ` { Y } ) <-> E. k e. K X = ( k .x. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   E.wrex 2509   C_ wss 3197   {csn 3666   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   Basecbs 13040  Scalarcsca 13121   .scvsca 13122   LModclmod 14259   LSubSpclss 14324   LSpanclspn 14358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-ltxr 8194  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-sets 13047  df-plusg 13131  df-mulr 13132  df-sca 13134  df-vsca 13135  df-0g 13299  df-mgm 13397  df-sgrp 13443  df-mnd 13458  df-grp 13544  df-minusg 13545  df-sbg 13546  df-mgp 13892  df-ur 13931  df-ring 13969  df-lmod 14261  df-lssm 14325  df-lsp 14359

This theorem is referenced by: (None)