Theorem lspsnss2 14495

Description: Comparable spans of singletons must have proportional vectors. (Contributed by NM, 7-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnss2.v	|- V = ( Base ` W )
lspsnss2.s	|- S = (Scalar ` W )
lspsnss2.k	|- K = ( Base ` S )
lspsnss2.t	|- .x. = ( .s ` W )
lspsnss2.n	|- N = ( LSpan ` W )
lspsnss2.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lspsnss2.x	|- ( ph -> X e. V )
lspsnss2.y	|- ( ph -> Y e. V )

Assertion

Ref	Expression
lspsnss2	|- ( ph -> ( ( N ` { X } ) C_ ( N ` { Y } ) <-> E. k e. K X = ( k .x. Y ) ) )

Distinct variable groups:   k, K   k, N   S, k   k, V   k, W   k, X   k, Y   .x. , k

Allowed substitution hint:   ph( k)

Proof of Theorem lspsnss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnss2.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
2		eqid 2231	. . 3 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
3		lspsnss2.n	. . 3 |- N = ( LSpan ` W )
4		lspsnss2.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
5		lspsnss2.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. V )
6	1, 2, 3	lspsncl 14468	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V ) -> ( N ` { Y } ) e. ( LSubSp ` W ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( N ` { Y } ) e. ( LSubSp ` W ) )
8		lspsnss2.x	. . 3 |- ( ph -> X e. V )
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	lspsnel5 14485	. 2 |- ( ph -> ( X e. ( N ` { Y } ) <-> ( N ` { X } ) C_ ( N ` { Y } ) ) )
10		lspsnss2.s	. . . 4 |- S = (Scalar ` W )
11		lspsnss2.k	. . . 4 |- K = ( Base ` S )
12		lspsnss2.t	. . . 4 |- .x. = ( .s ` W )
13	10, 11, 1, 12, 3	ellspsn 14493	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V ) -> ( X e. ( N ` { Y } ) <-> E. k e. K X = ( k .x. Y ) ) )
14	4, 5, 13	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( X e. ( N ` { Y } ) <-> E. k e. K X = ( k .x. Y ) ) )
15	9, 14	bitr3d 190	1 |- ( ph -> ( ( N ` { X } ) C_ ( N ` { Y } ) <-> E. k e. K X = ( k .x. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   E.wrex 2512   C_ wss 3201   {csn 3673   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13143  Scalarcsca 13224   .scvsca 13225   LModclmod 14363   LSubSpclss 14428   LSpanclspn 14462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-ltxr 8262  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-sets 13150  df-plusg 13234  df-mulr 13235  df-sca 13237  df-vsca 13238  df-0g 13402  df-mgm 13500  df-sgrp 13546  df-mnd 13561  df-grp 13647  df-minusg 13648  df-sbg 13649  df-mgp 13996  df-ur 14035  df-ring 14073  df-lmod 14365  df-lssm 14429  df-lsp 14463

This theorem is referenced by: (None)