Theorem lspsnss2 14698

Description: Comparable spans of singletons must have proportional vectors. (Contributed by NM, 7-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnss2.v	|- V = ( Base ` W )
lspsnss2.s	|- S = (Scalar ` W )
lspsnss2.k	|- K = ( Base ` S )
lspsnss2.t	|- .x. = ( .s ` W )
lspsnss2.n	|- N = ( LSpan ` W )
lspsnss2.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lspsnss2.x	|- ( ph -> X e. V )
lspsnss2.y	|- ( ph -> Y e. V )

Assertion

Ref	Expression
lspsnss2	|- ( ph -> ( ( N ` { X } ) C_ ( N ` { Y } ) <-> E. k e. K X = ( k .x. Y ) ) )

Distinct variable groups:   k, K   k, N   S, k   k, V   k, W   k, X   k, Y   .x. , k

Allowed substitution hint:   ph( k)

Proof of Theorem lspsnss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnss2.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
2		eqid 2234	. . 3 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
3		lspsnss2.n	. . 3 |- N = ( LSpan ` W )
4		lspsnss2.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
5		lspsnss2.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. V )
6	1, 2, 3	lspsncl 14671	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V ) -> ( N ` { Y } ) e. ( LSubSp ` W ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( N ` { Y } ) e. ( LSubSp ` W ) )
8		lspsnss2.x	. . 3 |- ( ph -> X e. V )
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	lspsnel5 14688	. 2 |- ( ph -> ( X e. ( N ` { Y } ) <-> ( N ` { X } ) C_ ( N ` { Y } ) ) )
10		lspsnss2.s	. . . 4 |- S = (Scalar ` W )
11		lspsnss2.k	. . . 4 |- K = ( Base ` S )
12		lspsnss2.t	. . . 4 |- .x. = ( .s ` W )
13	10, 11, 1, 12, 3	ellspsn 14696	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V ) -> ( X e. ( N ` { Y } ) <-> E. k e. K X = ( k .x. Y ) ) )
14	4, 5, 13	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( X e. ( N ` { Y } ) <-> E. k e. K X = ( k .x. Y ) ) )
15	9, 14	bitr3d 190	1 |- ( ph -> ( ( N ` { X } ) C_ ( N ` { Y } ) <-> E. k e. K X = ( k .x. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   E.wrex 2523   C_ wss 3214   {csn 3695   ` cfv 5358  (class class class)co 6059   Basecbs 13301  Scalarcsca 13382   .scvsca 13383   LModclmod 14566   LSubSpclss 14631   LSpanclspn 14665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-addcom 8244  ax-addass 8246  ax-i2m1 8249  ax-0lt1 8250  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-ltadd 8260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-1st 6348  df-2nd 6349  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-ltxr 8330  df-inn 9259  df-2 9317  df-3 9318  df-4 9319  df-5 9320  df-6 9321  df-ndx 13304  df-slot 13305  df-base 13307  df-sets 13308  df-plusg 13392  df-mulr 13393  df-sca 13395  df-vsca 13396  df-0g 13560  df-mgm 13624  df-sgrp 13670  df-mnd 13683  df-grp 13763  df-minusg 13764  df-sbg 13765  df-mgp 14165  df-ur 14208  df-ring 14246  df-lmod 14568  df-lssm 14632  df-lsp 14666

This theorem is referenced by: (None)