Theorem tgrest 13708

Description: A subspace can be generated by restricted sets from a basis for the original topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgrest	|- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( topGen ` ( B ↾t A ) ) = ( ( topGen ` B ) ↾t A ) )

Proof of Theorem tgrest

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restfn 12697	. . . . . 6 |- ↾t Fn ( _V X. _V )
2		elex 2750	. . . . . 6 |- ( B e. V -> B e. _V )
3		elex 2750	. . . . . 6 |- ( A e. W -> A e. _V )
4		fnovex 5910	. . . . . 6 |- ( ( ↾t Fn ( _V X. _V ) /\ B e. _V /\ A e. _V ) -> ( B ↾t A ) e. _V )
5	1, 2, 3, 4	mp3an3an 1343	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( B ↾t A ) e. _V )
6		eltg3 13596	. . . . 5 |- ( ( B ↾t A ) e. _V -> ( x e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) <-> E. y ( y C_ ( B ↾t A ) /\ x = U. y ) ) )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( x e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) <-> E. y ( y C_ ( B ↾t A ) /\ x = U. y ) ) )
8		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ y C_ ( B ↾t A ) ) -> B e. V )
9		funmpt 5256	. . . . . . . . . 10 |- Fun ( x e. B |-> ( x i^i A ) )
10	9	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ y C_ ( B ↾t A ) ) -> Fun ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) )
11		restval 12699	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( B ↾t A ) = ran ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) )
12	11	sseq2d 3187	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( y C_ ( B ↾t A ) <-> y C_ ran ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) ) )
13	12	biimpa 296	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ y C_ ( B ↾t A ) ) -> y C_ ran ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) )
14		vex 2742	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
15	14	inex1 4139	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x i^i A ) e. _V
16	15	rgenw 2532	. . . . . . . . . . 11 |- A. x e. B ( x i^i A ) e. _V
17		eqid 2177	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) = ( x e. B |-> ( x i^i A ) )
18	17	fnmpt 5344	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. B ( x i^i A ) e. _V -> ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) Fn B )
19		fnima 5336	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) Fn B -> ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " B ) = ran ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) )
20	16, 18, 19	mp2b 8	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " B ) = ran ( x e. B |-> ( x i^i A ) )
21	13, 20	sseqtrrdi 3206	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ y C_ ( B ↾t A ) ) -> y C_ ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " B ) )
22		ssimaexg 5580	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. V /\ Fun ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) /\ y C_ ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " B ) ) -> E. z ( z C_ B /\ y = ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) ) )
23	8, 10, 21, 22	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ y C_ ( B ↾t A ) ) -> E. z ( z C_ B /\ y = ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) ) )
24		df-ima 4641	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) = ran ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) |` z )
25		resmpt 4957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z C_ B -> ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) |` z ) = ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) )
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) |` z ) = ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) )
27	26	rneqd 4858	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ran ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) |` z ) = ran ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) )
28	24, 27	eqtrid 2222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) = ran ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) )
29	28	unieqd 3822	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> U. ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) = U. ran ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) )
30	15	dfiun3 4888	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U_ x e. z ( x i^i A ) = U. ran ( x e. z |-> ( x i^i A ) )
31	29, 30	eqtr4di 2228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> U. ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) = U_ x e. z ( x i^i A ) )
32		iunin1 3953	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U_ x e. z ( x i^i A ) = ( U_ x e. z x i^i A )
33	31, 32	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> U. ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) = ( U_ x e. z x i^i A ) )
34		tgvalex 12717	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) e. _V )
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ( topGen ` B ) e. _V )
36		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> A e. W )
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> A e. W )
38		uniiun 3942	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. z = U_ x e. z x
39		eltg3i 13595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B e. V /\ z C_ B ) -> U. z e. ( topGen ` B ) )
40	38, 39	eqeltrrid 2265	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. V /\ z C_ B ) -> U_ x e. z x e. ( topGen ` B ) )
41	40	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> U_ x e. z x e. ( topGen ` B ) )
42		elrestr 12701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( topGen ` B ) e. _V /\ A e. W /\ U_ x e. z x e. ( topGen ` B ) ) -> ( U_ x e. z x i^i A ) e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) )
43	35, 37, 41, 42	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ( U_ x e. z x i^i A ) e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) )
44	33, 43	eqeltrd 2254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> U. ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) )
45		unieq 3820	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) -> U. y = U. ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) )
46	45	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) -> ( U. y e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) <-> U. ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
47	44, 46	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ( y = ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) -> U. y e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
48	47	expimpd 363	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( ( z C_ B /\ y = ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) ) -> U. y e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
49	48	exlimdv 1819	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( E. z ( z C_ B /\ y = ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) ) -> U. y e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
50	49	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ y C_ ( B ↾t A ) ) -> ( E. z ( z C_ B /\ y = ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) ) -> U. y e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
51	23, 50	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ y C_ ( B ↾t A ) ) -> U. y e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) )
52		eleq1 2240	. . . . . . 7 |- ( x = U. y -> ( x e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) <-> U. y e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
53	51, 52	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ y C_ ( B ↾t A ) ) -> ( x = U. y -> x e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
54	53	expimpd 363	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( ( y C_ ( B ↾t A ) /\ x = U. y ) -> x e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
55	54	exlimdv 1819	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( E. y ( y C_ ( B ↾t A ) /\ x = U. y ) -> x e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
56	7, 55	sylbid 150	. . 3 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( x e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) -> x e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
57	56	ssrdv 3163	. 2 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( topGen ` ( B ↾t A ) ) C_ ( ( topGen ` B ) ↾t A ) )
58		restval 12699	. . . 4 |- ( ( ( topGen ` B ) e. _V /\ A e. W ) -> ( ( topGen ` B ) ↾t A ) = ran ( w e. ( topGen ` B ) |-> ( w i^i A ) ) )
59	34, 36, 58	syl2an2r 595	. . 3 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( ( topGen ` B ) ↾t A ) = ran ( w e. ( topGen ` B ) |-> ( w i^i A ) ) )
60		eltg3 13596	. . . . . . . 8 |- ( B e. V -> ( w e. ( topGen ` B ) <-> E. z ( z C_ B /\ w = U. z ) ) )
61	60	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( w e. ( topGen ` B ) <-> E. z ( z C_ B /\ w = U. z ) ) )
62	38	ineq1i 3334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U. z i^i A ) = ( U_ x e. z x i^i A )
63	62, 32	eqtr4i 2201	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. z i^i A ) = U_ x e. z ( x i^i A )
64		simplll 533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) /\ x e. z ) -> B e. V )
65		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) /\ x e. z ) -> A e. W )
66		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> z C_ B )
67	66	sselda 3157	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) /\ x e. z ) -> x e. B )
68		elrestr 12701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B e. V /\ A e. W /\ x e. B ) -> ( x i^i A ) e. ( B ↾t A ) )
69	64, 65, 67, 68	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) /\ x e. z ) -> ( x i^i A ) e. ( B ↾t A ) )
70	69	fmpttd 5673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) : z --> ( B ↾t A ) )
71	70	frnd 5377	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ran ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) C_ ( B ↾t A ) )
72		eltg3i 13595	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B ↾t A ) e. _V /\ ran ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) C_ ( B ↾t A ) ) -> U. ran ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) )
73	5, 71, 72	syl2an2r 595	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> U. ran ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) )
74	30, 73	eqeltrid 2264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> U_ x e. z ( x i^i A ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) )
75	63, 74	eqeltrid 2264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ( U. z i^i A ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) )
76		ineq1 3331	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = U. z -> ( w i^i A ) = ( U. z i^i A ) )
77	76	eleq1d 2246	. . . . . . . . . 10 |- ( w = U. z -> ( ( w i^i A ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) <-> ( U. z i^i A ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) ) )
78	75, 77	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ( w = U. z -> ( w i^i A ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) ) )
79	78	expimpd 363	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( ( z C_ B /\ w = U. z ) -> ( w i^i A ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) ) )
80	79	exlimdv 1819	. . . . . . 7 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( E. z ( z C_ B /\ w = U. z ) -> ( w i^i A ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) ) )
81	61, 80	sylbid 150	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( w e. ( topGen ` B ) -> ( w i^i A ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) ) )
82	81	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ w e. ( topGen ` B ) ) -> ( w i^i A ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) )
83	82	fmpttd 5673	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( w e. ( topGen ` B ) |-> ( w i^i A ) ) : ( topGen ` B ) --> ( topGen ` ( B ↾t A ) ) )
84	83	frnd 5377	. . 3 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ran ( w e. ( topGen ` B ) |-> ( w i^i A ) ) C_ ( topGen ` ( B ↾t A ) ) )
85	59, 84	eqsstrd 3193	. 2 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( ( topGen ` B ) ↾t A ) C_ ( topGen ` ( B ↾t A ) ) )
86	57, 85	eqssd 3174	1 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( topGen ` ( B ↾t A ) ) = ( ( topGen ` B ) ↾t A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   A.wral 2455   _Vcvv 2739   i^i cin 3130   C_ wss 3131   U.cuni 3811   U_ciun 3888   |-> cmpt 4066   X. cxp 4626   ran crn 4629   |` cres 4630   "cima 4631   Fun wfun 5212   Fn wfn 5213   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   ↾_t crest 12693   topGenctg 12708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-rest 12695  df-topgen 12714

This theorem is referenced by:  resttop  13709  txrest  13815