Theorem tgrest 12809

Description: A subspace can be generated by restricted sets from a basis for the original topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgrest	|- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( topGen ` ( B ↾t A ) ) = ( ( topGen ` B ) ↾t A ) )

Proof of Theorem tgrest

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restfn 12560	. . . . . 6 |- ↾t Fn ( _V X. _V )
2		elex 2737	. . . . . 6 |- ( B e. V -> B e. _V )
3		elex 2737	. . . . . 6 |- ( A e. W -> A e. _V )
4		fnovex 5875	. . . . . 6 |- ( ( ↾t Fn ( _V X. _V ) /\ B e. _V /\ A e. _V ) -> ( B ↾t A ) e. _V )
5	1, 2, 3, 4	mp3an3an 1333	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( B ↾t A ) e. _V )
6		eltg3 12697	. . . . 5 |- ( ( B ↾t A ) e. _V -> ( x e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) <-> E. y ( y C_ ( B ↾t A ) /\ x = U. y ) ) )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( x e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) <-> E. y ( y C_ ( B ↾t A ) /\ x = U. y ) ) )
8		simpll 519	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ y C_ ( B ↾t A ) ) -> B e. V )
9		funmpt 5226	. . . . . . . . . 10 |- Fun ( x e. B |-> ( x i^i A ) )
10	9	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ y C_ ( B ↾t A ) ) -> Fun ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) )
11		restval 12562	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( B ↾t A ) = ran ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) )
12	11	sseq2d 3172	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( y C_ ( B ↾t A ) <-> y C_ ran ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) ) )
13	12	biimpa 294	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ y C_ ( B ↾t A ) ) -> y C_ ran ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) )
14		vex 2729	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
15	14	inex1 4116	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x i^i A ) e. _V
16	15	rgenw 2521	. . . . . . . . . . 11 |- A. x e. B ( x i^i A ) e. _V
17		eqid 2165	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) = ( x e. B |-> ( x i^i A ) )
18	17	fnmpt 5314	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. B ( x i^i A ) e. _V -> ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) Fn B )
19		fnima 5306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) Fn B -> ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " B ) = ran ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) )
20	16, 18, 19	mp2b 8	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " B ) = ran ( x e. B |-> ( x i^i A ) )
21	13, 20	sseqtrrdi 3191	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ y C_ ( B ↾t A ) ) -> y C_ ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " B ) )
22		ssimaexg 5548	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. V /\ Fun ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) /\ y C_ ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " B ) ) -> E. z ( z C_ B /\ y = ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) ) )
23	8, 10, 21, 22	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ y C_ ( B ↾t A ) ) -> E. z ( z C_ B /\ y = ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) ) )
24		df-ima 4617	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) = ran ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) |` z )
25		resmpt 4932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z C_ B -> ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) |` z ) = ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) )
26	25	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) |` z ) = ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) )
27	26	rneqd 4833	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ran ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) |` z ) = ran ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) )
28	24, 27	syl5eq 2211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) = ran ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) )
29	28	unieqd 3800	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> U. ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) = U. ran ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) )
30	15	dfiun3 4863	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U_ x e. z ( x i^i A ) = U. ran ( x e. z |-> ( x i^i A ) )
31	29, 30	eqtr4di 2217	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> U. ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) = U_ x e. z ( x i^i A ) )
32		iunin1 3930	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U_ x e. z ( x i^i A ) = ( U_ x e. z x i^i A )
33	31, 32	eqtrdi 2215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> U. ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) = ( U_ x e. z x i^i A ) )
34		tgvalex 12690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) e. _V )
35	34	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ( topGen ` B ) e. _V )
36		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> A e. W )
37	36	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> A e. W )
38		uniiun 3919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. z = U_ x e. z x
39		eltg3i 12696	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B e. V /\ z C_ B ) -> U. z e. ( topGen ` B ) )
40	38, 39	eqeltrrid 2254	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. V /\ z C_ B ) -> U_ x e. z x e. ( topGen ` B ) )
41	40	adantlr 469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> U_ x e. z x e. ( topGen ` B ) )
42		elrestr 12564	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( topGen ` B ) e. _V /\ A e. W /\ U_ x e. z x e. ( topGen ` B ) ) -> ( U_ x e. z x i^i A ) e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) )
43	35, 37, 41, 42	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ( U_ x e. z x i^i A ) e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) )
44	33, 43	eqeltrd 2243	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> U. ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) )
45		unieq 3798	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) -> U. y = U. ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) )
46	45	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) -> ( U. y e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) <-> U. ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
47	44, 46	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ( y = ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) -> U. y e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
48	47	expimpd 361	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( ( z C_ B /\ y = ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) ) -> U. y e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
49	48	exlimdv 1807	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( E. z ( z C_ B /\ y = ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) ) -> U. y e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
50	49	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ y C_ ( B ↾t A ) ) -> ( E. z ( z C_ B /\ y = ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) ) -> U. y e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
51	23, 50	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ y C_ ( B ↾t A ) ) -> U. y e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) )
52		eleq1 2229	. . . . . . 7 |- ( x = U. y -> ( x e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) <-> U. y e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
53	51, 52	syl5ibrcom 156	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ y C_ ( B ↾t A ) ) -> ( x = U. y -> x e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
54	53	expimpd 361	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( ( y C_ ( B ↾t A ) /\ x = U. y ) -> x e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
55	54	exlimdv 1807	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( E. y ( y C_ ( B ↾t A ) /\ x = U. y ) -> x e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
56	7, 55	sylbid 149	. . 3 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( x e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) -> x e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
57	56	ssrdv 3148	. 2 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( topGen ` ( B ↾t A ) ) C_ ( ( topGen ` B ) ↾t A ) )
58		restval 12562	. . . 4 |- ( ( ( topGen ` B ) e. _V /\ A e. W ) -> ( ( topGen ` B ) ↾t A ) = ran ( w e. ( topGen ` B ) |-> ( w i^i A ) ) )
59	34, 36, 58	syl2an2r 585	. . 3 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( ( topGen ` B ) ↾t A ) = ran ( w e. ( topGen ` B ) |-> ( w i^i A ) ) )
60		eltg3 12697	. . . . . . . 8 |- ( B e. V -> ( w e. ( topGen ` B ) <-> E. z ( z C_ B /\ w = U. z ) ) )
61	60	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( w e. ( topGen ` B ) <-> E. z ( z C_ B /\ w = U. z ) ) )
62	38	ineq1i 3319	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U. z i^i A ) = ( U_ x e. z x i^i A )
63	62, 32	eqtr4i 2189	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. z i^i A ) = U_ x e. z ( x i^i A )
64		simplll 523	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) /\ x e. z ) -> B e. V )
65		simpllr 524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) /\ x e. z ) -> A e. W )
66		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> z C_ B )
67	66	sselda 3142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) /\ x e. z ) -> x e. B )
68		elrestr 12564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B e. V /\ A e. W /\ x e. B ) -> ( x i^i A ) e. ( B ↾t A ) )
69	64, 65, 67, 68	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) /\ x e. z ) -> ( x i^i A ) e. ( B ↾t A ) )
70	69	fmpttd 5640	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) : z --> ( B ↾t A ) )
71	70	frnd 5347	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ran ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) C_ ( B ↾t A ) )
72		eltg3i 12696	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B ↾t A ) e. _V /\ ran ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) C_ ( B ↾t A ) ) -> U. ran ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) )
73	5, 71, 72	syl2an2r 585	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> U. ran ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) )
74	30, 73	eqeltrid 2253	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> U_ x e. z ( x i^i A ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) )
75	63, 74	eqeltrid 2253	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ( U. z i^i A ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) )
76		ineq1 3316	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = U. z -> ( w i^i A ) = ( U. z i^i A ) )
77	76	eleq1d 2235	. . . . . . . . . 10 |- ( w = U. z -> ( ( w i^i A ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) <-> ( U. z i^i A ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) ) )
78	75, 77	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ( w = U. z -> ( w i^i A ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) ) )
79	78	expimpd 361	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( ( z C_ B /\ w = U. z ) -> ( w i^i A ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) ) )
80	79	exlimdv 1807	. . . . . . 7 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( E. z ( z C_ B /\ w = U. z ) -> ( w i^i A ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) ) )
81	61, 80	sylbid 149	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( w e. ( topGen ` B ) -> ( w i^i A ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) ) )
82	81	imp 123	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ w e. ( topGen ` B ) ) -> ( w i^i A ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) )
83	82	fmpttd 5640	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( w e. ( topGen ` B ) |-> ( w i^i A ) ) : ( topGen ` B ) --> ( topGen ` ( B ↾t A ) ) )
84	83	frnd 5347	. . 3 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ran ( w e. ( topGen ` B ) |-> ( w i^i A ) ) C_ ( topGen ` ( B ↾t A ) ) )
85	59, 84	eqsstrd 3178	. 2 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( ( topGen ` B ) ↾t A ) C_ ( topGen ` ( B ↾t A ) ) )
86	57, 85	eqssd 3159	1 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( topGen ` ( B ↾t A ) ) = ( ( topGen ` B ) ↾t A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   A.wral 2444   _Vcvv 2726   i^i cin 3115   C_ wss 3116   U.cuni 3789   U_ciun 3866   |-> cmpt 4043   X. cxp 4602   ran crn 4605   |` cres 4606   "cima 4607   Fun wfun 5182   Fn wfn 5183   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   ↾_t crest 12556   topGenctg 12571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-rest 12558  df-topgen 12577

This theorem is referenced by:  resttop  12810  txrest  12916