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Theorem tgrest 14121
Description: A subspace can be generated by restricted sets from a basis for the original topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgrest  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( topGen `  ( Bt  A
) )  =  ( ( topGen `  B )t  A
) )

Proof of Theorem tgrest
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 restfn 12745 . . . . . 6  |-t  Fn  ( _V  X.  _V )
2 elex 2763 . . . . . 6  |-  ( B  e.  V  ->  B  e.  _V )
3 elex 2763 . . . . . 6  |-  ( A  e.  W  ->  A  e.  _V )
4 fnovex 5928 . . . . . 6  |-  ( (t  Fn  ( _V  X.  _V )  /\  B  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( Bt  A )  e.  _V )
51, 2, 3, 4mp3an3an 1354 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( Bt  A )  e.  _V )
6 eltg3 14009 . . . . 5  |-  ( ( Bt  A )  e.  _V  ->  ( x  e.  (
topGen `  ( Bt  A ) )  <->  E. y ( y 
C_  ( Bt  A )  /\  x  =  U. y ) ) )
75, 6syl 14 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( x  e.  (
topGen `  ( Bt  A ) )  <->  E. y ( y 
C_  ( Bt  A )  /\  x  =  U. y ) ) )
8 simpll 527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  y  C_  ( Bt  A ) )  ->  B  e.  V )
9 funmpt 5273 . . . . . . . . . 10  |-  Fun  (
x  e.  B  |->  ( x  i^i  A ) )
109a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  y  C_  ( Bt  A ) )  ->  Fun  ( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A
) ) )
11 restval 12747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( Bt  A )  =  ran  ( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A
) ) )
1211sseq2d 3200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( y  C_  ( Bt  A )  <->  y  C_  ran  ( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A
) ) ) )
1312biimpa 296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  y  C_  ( Bt  A ) )  -> 
y  C_  ran  ( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A ) ) )
14 vex 2755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
1514inex1 4152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  i^i  A )  e. 
_V
1615rgenw 2545 . . . . . . . . . . 11  |-  A. x  e.  B  ( x  i^i  A )  e.  _V
17 eqid 2189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( x  i^i 
A ) )
1817fnmpt 5361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  B  (
x  i^i  A )  e.  _V  ->  ( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A ) )  Fn  B )
19 fnima 5353 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A ) )  Fn  B  -> 
( ( x  e.  B  |->  ( x  i^i 
A ) ) " B )  =  ran  ( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A
) ) )
2016, 18, 19mp2b 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A ) ) " B )  =  ran  ( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A ) )
2113, 20sseqtrrdi 3219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  y  C_  ( Bt  A ) )  -> 
y  C_  ( (
x  e.  B  |->  ( x  i^i  A ) ) " B ) )
22 ssimaexg 5598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  V  /\  Fun  ( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A
) )  /\  y  C_  ( ( x  e.  B  |->  ( x  i^i 
A ) ) " B ) )  ->  E. z ( z  C_  B  /\  y  =  ( ( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A
) ) " z
) ) )
238, 10, 21, 22syl3anc 1249 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  y  C_  ( Bt  A ) )  ->  E. z ( z  C_  B  /\  y  =  ( ( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A
) ) " z
) ) )
24 df-ima 4657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A ) ) " z )  =  ran  ( ( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A ) )  |`  z )
25 resmpt 4973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z 
C_  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A
) )  |`  z
)  =  ( x  e.  z  |->  ( x  i^i  A ) ) )
2625adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  z  C_  B )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A
) )  |`  z
)  =  ( x  e.  z  |->  ( x  i^i  A ) ) )
2726rneqd 4874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  z  C_  B )  ->  ran  ( ( x  e.  B  |->  ( x  i^i 
A ) )  |`  z )  =  ran  ( x  e.  z  |->  ( x  i^i  A
) ) )
2824, 27eqtrid 2234 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  z  C_  B )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A
) ) " z
)  =  ran  (
x  e.  z  |->  ( x  i^i  A ) ) )
2928unieqd 3835 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  z  C_  B )  ->  U. (
( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A
) ) " z
)  =  U. ran  ( x  e.  z  |->  ( x  i^i  A
) ) )
3015dfiun3 4904 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ x  e.  z  ( x  i^i  A )  =  U. ran  ( x  e.  z 
|->  ( x  i^i  A
) )
3129, 30eqtr4di 2240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  z  C_  B )  ->  U. (
( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A
) ) " z
)  =  U_ x  e.  z  ( x  i^i  A ) )
32 iunin1 3966 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U_ x  e.  z  ( x  i^i  A )  =  (
U_ x  e.  z  x  i^i  A )
3331, 32eqtrdi 2238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  z  C_  B )  ->  U. (
( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A
) ) " z
)  =  ( U_ x  e.  z  x  i^i  A ) )
34 tgvalex 12765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  V  ->  ( topGen `
 B )  e. 
_V )
3534ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  z  C_  B )  ->  ( topGen `
 B )  e. 
_V )
36 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  A  e.  W )
3736adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  z  C_  B )  ->  A  e.  W )
38 uniiun 3955 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. z  =  U_ x  e.  z  x
39 eltg3i 14008 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  V  /\  z  C_  B )  ->  U. z  e.  ( topGen `
 B ) )
4038, 39eqeltrrid 2277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  V  /\  z  C_  B )  ->  U_ x  e.  z  x  e.  ( topGen `  B ) )
4140adantlr 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  z  C_  B )  ->  U_ x  e.  z  x  e.  ( topGen `  B )
)
42 elrestr 12749 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  _V  /\  A  e.  W  /\  U_ x  e.  z  x  e.  ( topGen `  B )
)  ->  ( U_ x  e.  z  x  i^i  A )  e.  ( ( topGen `  B )t  A
) )
4335, 37, 41, 42syl3anc 1249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  z  C_  B )  ->  ( U_ x  e.  z  x  i^i  A )  e.  ( ( topGen `  B
)t 
A ) )
4433, 43eqeltrd 2266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  z  C_  B )  ->  U. (
( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A
) ) " z
)  e.  ( (
topGen `  B )t  A ) )
45 unieq 3833 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A ) )
" z )  ->  U. y  =  U. ( ( x  e.  B  |->  ( x  i^i 
A ) ) "
z ) )
4645eleq1d 2258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( ( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A ) )
" z )  -> 
( U. y  e.  ( ( topGen `  B
)t 
A )  <->  U. (
( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A
) ) " z
)  e.  ( (
topGen `  B )t  A ) ) )
4744, 46syl5ibrcom 157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  z  C_  B )  ->  (
y  =  ( ( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A ) ) " z )  ->  U. y  e.  ( ( topGen `  B )t  A
) ) )
4847expimpd 363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( ( z  C_  B  /\  y  =  ( ( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A
) ) " z
) )  ->  U. y  e.  ( ( topGen `  B
)t 
A ) ) )
4948exlimdv 1830 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( E. z ( z  C_  B  /\  y  =  ( (
x  e.  B  |->  ( x  i^i  A ) ) " z ) )  ->  U. y  e.  ( ( topGen `  B
)t 
A ) ) )
5049adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  y  C_  ( Bt  A ) )  -> 
( E. z ( z  C_  B  /\  y  =  ( (
x  e.  B  |->  ( x  i^i  A ) ) " z ) )  ->  U. y  e.  ( ( topGen `  B
)t 
A ) ) )
5123, 50mpd 13 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  y  C_  ( Bt  A ) )  ->  U. y  e.  (
( topGen `  B )t  A
) )
52 eleq1 2252 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U. y  -> 
( x  e.  ( ( topGen `  B )t  A
)  <->  U. y  e.  ( ( topGen `  B )t  A
) ) )
5351, 52syl5ibrcom 157 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  y  C_  ( Bt  A ) )  -> 
( x  =  U. y  ->  x  e.  ( ( topGen `  B )t  A
) ) )
5453expimpd 363 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( ( y  C_  ( Bt  A )  /\  x  =  U. y )  ->  x  e.  ( ( topGen `
 B )t  A ) ) )
5554exlimdv 1830 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( E. y ( y  C_  ( Bt  A
)  /\  x  =  U. y )  ->  x  e.  ( ( topGen `  B
)t 
A ) ) )
567, 55sylbid 150 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( x  e.  (
topGen `  ( Bt  A ) )  ->  x  e.  ( ( topGen `  B
)t 
A ) ) )
5756ssrdv 3176 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( topGen `  ( Bt  A
) )  C_  (
( topGen `  B )t  A
) )
58 restval 12747 . . . 4  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  _V  /\  A  e.  W )  ->  (
( topGen `  B )t  A
)  =  ran  (
w  e.  ( topGen `  B )  |->  ( w  i^i  A ) ) )
5934, 36, 58syl2an2r 595 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( ( topGen `  B
)t 
A )  =  ran  ( w  e.  ( topGen `
 B )  |->  ( w  i^i  A ) ) )
60 eltg3 14009 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  V  ->  (
w  e.  ( topGen `  B )  <->  E. z
( z  C_  B  /\  w  =  U. z ) ) )
6160adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( w  e.  (
topGen `  B )  <->  E. z
( z  C_  B  /\  w  =  U. z ) ) )
6238ineq1i 3347 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. z  i^i  A )  =  ( U_ x  e.  z  x  i^i  A
)
6362, 32eqtr4i 2213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. z  i^i  A )  = 
U_ x  e.  z  ( x  i^i  A
)
64 simplll 533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  /\  z  C_  B )  /\  x  e.  z )  ->  B  e.  V )
65 simpllr 534 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  /\  z  C_  B )  /\  x  e.  z )  ->  A  e.  W )
66 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  z  C_  B )  ->  z  C_  B )
6766sselda 3170 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  /\  z  C_  B )  /\  x  e.  z )  ->  x  e.  B )
68 elrestr 12749 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W  /\  x  e.  B )  ->  ( x  i^i  A
)  e.  ( Bt  A ) )
6964, 65, 67, 68syl3anc 1249 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  /\  z  C_  B )  /\  x  e.  z )  ->  (
x  i^i  A )  e.  ( Bt  A ) )
7069fmpttd 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  z  C_  B )  ->  (
x  e.  z  |->  ( x  i^i  A ) ) : z --> ( Bt  A ) )
7170frnd 5394 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  z  C_  B )  ->  ran  ( x  e.  z  |->  ( x  i^i  A
) )  C_  ( Bt  A ) )
72 eltg3i 14008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Bt  A )  e.  _V  /\ 
ran  ( x  e.  z  |->  ( x  i^i 
A ) )  C_  ( Bt  A ) )  ->  U. ran  ( x  e.  z  |->  ( x  i^i 
A ) )  e.  ( topGen `  ( Bt  A
) ) )
735, 71, 72syl2an2r 595 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  z  C_  B )  ->  U. ran  ( x  e.  z  |->  ( x  i^i  A
) )  e.  (
topGen `  ( Bt  A ) ) )
7430, 73eqeltrid 2276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  z  C_  B )  ->  U_ x  e.  z  ( x  i^i  A )  e.  (
topGen `  ( Bt  A ) ) )
7563, 74eqeltrid 2276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  z  C_  B )  ->  ( U. z  i^i  A )  e.  ( topGen `  ( Bt  A ) ) )
76 ineq1 3344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  U. z  -> 
( w  i^i  A
)  =  ( U. z  i^i  A ) )
7776eleq1d 2258 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  U. z  -> 
( ( w  i^i 
A )  e.  (
topGen `  ( Bt  A ) )  <->  ( U. z  i^i  A )  e.  (
topGen `  ( Bt  A ) ) ) )
7875, 77syl5ibrcom 157 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  z  C_  B )  ->  (
w  =  U. z  ->  ( w  i^i  A
)  e.  ( topGen `  ( Bt  A ) ) ) )
7978expimpd 363 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( ( z  C_  B  /\  w  =  U. z )  ->  (
w  i^i  A )  e.  ( topGen `  ( Bt  A
) ) ) )
8079exlimdv 1830 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( E. z ( z  C_  B  /\  w  =  U. z
)  ->  ( w  i^i  A )  e.  (
topGen `  ( Bt  A ) ) ) )
8161, 80sylbid 150 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( w  e.  (
topGen `  B )  -> 
( w  i^i  A
)  e.  ( topGen `  ( Bt  A ) ) ) )
8281imp 124 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  w  e.  ( topGen `  B )
)  ->  ( w  i^i  A )  e.  (
topGen `  ( Bt  A ) ) )
8382fmpttd 5691 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( w  e.  (
topGen `  B )  |->  ( w  i^i  A ) ) : ( topGen `  B ) --> ( topGen `  ( Bt  A ) ) )
8483frnd 5394 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ran  ( w  e.  ( topGen `  B )  |->  ( w  i^i  A
) )  C_  ( topGen `
 ( Bt  A ) ) )
8559, 84eqsstrd 3206 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( ( topGen `  B
)t 
A )  C_  ( topGen `
 ( Bt  A ) ) )
8657, 85eqssd 3187 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( topGen `  ( Bt  A
) )  =  ( ( topGen `  B )t  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1364   E.wex 1503    e. wcel 2160   A.wral 2468   _Vcvv 2752    i^i cin 3143    C_ wss 3144   U.cuni 3824   U_ciun 3901    |-> cmpt 4079    X. cxp 4642   ran crn 4645    |` cres 4646   "cima 4647   Fun wfun 5229    Fn wfn 5230   ` cfv 5235  (class class class)co 5895   ↾t crest 12741   topGenctg 12756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-rest 12743  df-topgen 12762
This theorem is referenced by:  resttop  14122  txrest  14228
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