Theorem tgrest 12377

Description: A subspace can be generated by restricted sets from a basis for the original topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgrest	|- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( topGen ` ( B ↾t A ) ) = ( ( topGen ` B ) ↾t A ) )

Proof of Theorem tgrest

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restfn 12163	. . . . . 6 |- ↾t Fn ( _V X. _V )
2		elex 2700	. . . . . 6 |- ( B e. V -> B e. _V )
3		elex 2700	. . . . . 6 |- ( A e. W -> A e. _V )
4		fnovex 5812	. . . . . 6 |- ( ( ↾t Fn ( _V X. _V ) /\ B e. _V /\ A e. _V ) -> ( B ↾t A ) e. _V )
5	1, 2, 3, 4	mp3an3an 1322	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( B ↾t A ) e. _V )
6		eltg3 12265	. . . . 5 |- ( ( B ↾t A ) e. _V -> ( x e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) <-> E. y ( y C_ ( B ↾t A ) /\ x = U. y ) ) )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( x e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) <-> E. y ( y C_ ( B ↾t A ) /\ x = U. y ) ) )
8		simpll 519	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ y C_ ( B ↾t A ) ) -> B e. V )
9		funmpt 5169	. . . . . . . . . 10 |- Fun ( x e. B |-> ( x i^i A ) )
10	9	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ y C_ ( B ↾t A ) ) -> Fun ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) )
11		restval 12165	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( B ↾t A ) = ran ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) )
12	11	sseq2d 3132	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( y C_ ( B ↾t A ) <-> y C_ ran ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) ) )
13	12	biimpa 294	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ y C_ ( B ↾t A ) ) -> y C_ ran ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) )
14		vex 2692	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
15	14	inex1 4070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x i^i A ) e. _V
16	15	rgenw 2490	. . . . . . . . . . 11 |- A. x e. B ( x i^i A ) e. _V
17		eqid 2140	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) = ( x e. B |-> ( x i^i A ) )
18	17	fnmpt 5257	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. B ( x i^i A ) e. _V -> ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) Fn B )
19		fnima 5249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) Fn B -> ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " B ) = ran ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) )
20	16, 18, 19	mp2b 8	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " B ) = ran ( x e. B |-> ( x i^i A ) )
21	13, 20	sseqtrrdi 3151	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ y C_ ( B ↾t A ) ) -> y C_ ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " B ) )
22		ssimaexg 5491	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. V /\ Fun ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) /\ y C_ ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " B ) ) -> E. z ( z C_ B /\ y = ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) ) )
23	8, 10, 21, 22	syl3anc 1217	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ y C_ ( B ↾t A ) ) -> E. z ( z C_ B /\ y = ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) ) )
24		df-ima 4560	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) = ran ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) |` z )
25		resmpt 4875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z C_ B -> ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) |` z ) = ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) )
26	25	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) |` z ) = ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) )
27	26	rneqd 4776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ran ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) |` z ) = ran ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) )
28	24, 27	syl5eq 2185	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) = ran ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) )
29	28	unieqd 3755	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> U. ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) = U. ran ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) )
30	15	dfiun3 4806	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U_ x e. z ( x i^i A ) = U. ran ( x e. z |-> ( x i^i A ) )
31	29, 30	eqtr4di 2191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> U. ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) = U_ x e. z ( x i^i A ) )
32		iunin1 3885	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U_ x e. z ( x i^i A ) = ( U_ x e. z x i^i A )
33	31, 32	eqtrdi 2189	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> U. ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) = ( U_ x e. z x i^i A ) )
34		tgvalex 12258	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) e. _V )
35	34	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ( topGen ` B ) e. _V )
36		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> A e. W )
37	36	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> A e. W )
38		uniiun 3874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. z = U_ x e. z x
39		eltg3i 12264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B e. V /\ z C_ B ) -> U. z e. ( topGen ` B ) )
40	38, 39	eqeltrrid 2228	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. V /\ z C_ B ) -> U_ x e. z x e. ( topGen ` B ) )
41	40	adantlr 469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> U_ x e. z x e. ( topGen ` B ) )
42		elrestr 12167	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( topGen ` B ) e. _V /\ A e. W /\ U_ x e. z x e. ( topGen ` B ) ) -> ( U_ x e. z x i^i A ) e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) )
43	35, 37, 41, 42	syl3anc 1217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ( U_ x e. z x i^i A ) e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) )
44	33, 43	eqeltrd 2217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> U. ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) )
45		unieq 3753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) -> U. y = U. ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) )
46	45	eleq1d 2209	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) -> ( U. y e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) <-> U. ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
47	44, 46	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ( y = ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) -> U. y e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
48	47	expimpd 361	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( ( z C_ B /\ y = ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) ) -> U. y e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
49	48	exlimdv 1792	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( E. z ( z C_ B /\ y = ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) ) -> U. y e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
50	49	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ y C_ ( B ↾t A ) ) -> ( E. z ( z C_ B /\ y = ( ( x e. B |-> ( x i^i A ) ) " z ) ) -> U. y e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
51	23, 50	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ y C_ ( B ↾t A ) ) -> U. y e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) )
52		eleq1 2203	. . . . . . 7 |- ( x = U. y -> ( x e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) <-> U. y e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
53	51, 52	syl5ibrcom 156	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ y C_ ( B ↾t A ) ) -> ( x = U. y -> x e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
54	53	expimpd 361	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( ( y C_ ( B ↾t A ) /\ x = U. y ) -> x e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
55	54	exlimdv 1792	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( E. y ( y C_ ( B ↾t A ) /\ x = U. y ) -> x e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
56	7, 55	sylbid 149	. . 3 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( x e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) -> x e. ( ( topGen ` B ) ↾t A ) ) )
57	56	ssrdv 3108	. 2 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( topGen ` ( B ↾t A ) ) C_ ( ( topGen ` B ) ↾t A ) )
58		restval 12165	. . . 4 |- ( ( ( topGen ` B ) e. _V /\ A e. W ) -> ( ( topGen ` B ) ↾t A ) = ran ( w e. ( topGen ` B ) |-> ( w i^i A ) ) )
59	34, 36, 58	syl2an2r 585	. . 3 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( ( topGen ` B ) ↾t A ) = ran ( w e. ( topGen ` B ) |-> ( w i^i A ) ) )
60		eltg3 12265	. . . . . . . 8 |- ( B e. V -> ( w e. ( topGen ` B ) <-> E. z ( z C_ B /\ w = U. z ) ) )
61	60	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( w e. ( topGen ` B ) <-> E. z ( z C_ B /\ w = U. z ) ) )
62	38	ineq1i 3278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U. z i^i A ) = ( U_ x e. z x i^i A )
63	62, 32	eqtr4i 2164	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. z i^i A ) = U_ x e. z ( x i^i A )
64		simplll 523	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) /\ x e. z ) -> B e. V )
65		simpllr 524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) /\ x e. z ) -> A e. W )
66		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> z C_ B )
67	66	sselda 3102	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) /\ x e. z ) -> x e. B )
68		elrestr 12167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B e. V /\ A e. W /\ x e. B ) -> ( x i^i A ) e. ( B ↾t A ) )
69	64, 65, 67, 68	syl3anc 1217	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) /\ x e. z ) -> ( x i^i A ) e. ( B ↾t A ) )
70	69	fmpttd 5583	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) : z --> ( B ↾t A ) )
71	70	frnd 5290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ran ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) C_ ( B ↾t A ) )
72		eltg3i 12264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B ↾t A ) e. _V /\ ran ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) C_ ( B ↾t A ) ) -> U. ran ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) )
73	5, 71, 72	syl2an2r 585	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> U. ran ( x e. z |-> ( x i^i A ) ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) )
74	30, 73	eqeltrid 2227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> U_ x e. z ( x i^i A ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) )
75	63, 74	eqeltrid 2227	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ( U. z i^i A ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) )
76		ineq1 3275	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = U. z -> ( w i^i A ) = ( U. z i^i A ) )
77	76	eleq1d 2209	. . . . . . . . . 10 |- ( w = U. z -> ( ( w i^i A ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) <-> ( U. z i^i A ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) ) )
78	75, 77	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ z C_ B ) -> ( w = U. z -> ( w i^i A ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) ) )
79	78	expimpd 361	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( ( z C_ B /\ w = U. z ) -> ( w i^i A ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) ) )
80	79	exlimdv 1792	. . . . . . 7 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( E. z ( z C_ B /\ w = U. z ) -> ( w i^i A ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) ) )
81	61, 80	sylbid 149	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( w e. ( topGen ` B ) -> ( w i^i A ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) ) )
82	81	imp 123	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ A e. W ) /\ w e. ( topGen ` B ) ) -> ( w i^i A ) e. ( topGen ` ( B ↾t A ) ) )
83	82	fmpttd 5583	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( w e. ( topGen ` B ) |-> ( w i^i A ) ) : ( topGen ` B ) --> ( topGen ` ( B ↾t A ) ) )
84	83	frnd 5290	. . 3 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ran ( w e. ( topGen ` B ) |-> ( w i^i A ) ) C_ ( topGen ` ( B ↾t A ) ) )
85	59, 84	eqsstrd 3138	. 2 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( ( topGen ` B ) ↾t A ) C_ ( topGen ` ( B ↾t A ) ) )
86	57, 85	eqssd 3119	1 |- ( ( B e. V /\ A e. W ) -> ( topGen ` ( B ↾t A ) ) = ( ( topGen ` B ) ↾t A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 1481   A.wral 2417   _Vcvv 2689   i^i cin 3075   C_ wss 3076   U.cuni 3744   U_ciun 3821   |-> cmpt 3997   X. cxp 4545   ran crn 4548   |` cres 4549   "cima 4550   Fun wfun 5125   Fn wfn 5126   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   ↾_t crest 12159   topGenctg 12174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-rest 12161  df-topgen 12180

This theorem is referenced by:  resttop  12378  txrest  12484