Theorem eltg4i 14937

Description: An open set in a topology generated by a basis is the union of all basic open sets contained in it. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eltg4i	|- ( A e. ( topGen ` B ) -> A = U. ( B i^i ~P A ) )

Proof of Theorem eltg4i

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-topgen 13490	. . . . . . 7 |- topGen = ( x e. _V |-> { y | y C_ U. ( x i^i ~P y ) } )
2	1	funmpt2 5393	. . . . . 6 |- Fun topGen
3		funrel 5371	. . . . . 6 |- ( Fun topGen -> Rel topGen )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 |- Rel topGen
5		relelfvdm 5704	. . . . 5 |- ( ( Rel topGen /\ A e. ( topGen ` B ) ) -> B e. dom topGen )
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> B e. dom topGen )
7		eltg 14934	. . . 4 |- ( B e. dom topGen -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> A C_ U. ( B i^i ~P A ) ) )
8	6, 7	syl 14	. . 3 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> A C_ U. ( B i^i ~P A ) ) )
9	8	ibi 176	. 2 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> A C_ U. ( B i^i ~P A ) )
10		inss2 3444	. . . . 5 |- ( B i^i ~P A ) C_ ~P A
11	10	unissi 3939	. . . 4 |- U. ( B i^i ~P A ) C_ U. ~P A
12		unipw 4335	. . . 4 |- U. ~P A = A
13	11, 12	sseqtri 3274	. . 3 |- U. ( B i^i ~P A ) C_ A
14	13	a1i 9	. 2 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> U. ( B i^i ~P A ) C_ A )
15	9, 14	eqssd 3257	1 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> A = U. ( B i^i ~P A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   {cab 2220   _Vcvv 2815   i^i cin 3212   C_ wss 3213   ~Pcpw 3671   U.cuni 3916   dom cdm 4751   Rel wrel 4756   Fun wfun 5348   ` cfv 5354   topGenctg 13484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3045  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-topgen 13490

This theorem is referenced by:  eltg3  14939  tgdom  14954  tgidm  14956