Theorem eltg4i 15156

Description: An open set in a topology generated by a basis is the union of all basic open sets contained in it. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eltg4i	|- ( A e. ( topGen ` B ) -> A = U. ( B i^i ~P A ) )

Proof of Theorem eltg4i

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-topgen 13614	. . . . . . 7 |- topGen = ( x e. _V |-> { y | y C_ U. ( x i^i ~P y ) } )
2	1	funmpt2 5416	. . . . . 6 |- Fun topGen
3		funrel 5394	. . . . . 6 |- ( Fun topGen -> Rel topGen )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 |- Rel topGen
5		relelfvdm 5727	. . . . 5 |- ( ( Rel topGen /\ A e. ( topGen ` B ) ) -> B e. dom topGen )
6	4, 5	mpan 428	. . . 4 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> B e. dom topGen )
7		eltg 15153	. . . 4 |- ( B e. dom topGen -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> A C_ U. ( B i^i ~P A ) ) )
8	6, 7	syl 14	. . 3 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> A C_ U. ( B i^i ~P A ) ) )
9	8	ibi 176	. 2 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> A C_ U. ( B i^i ~P A ) )
10		inss2 3452	. . . . 5 |- ( B i^i ~P A ) C_ ~P A
11	10	unissi 3958	. . . 4 |- U. ( B i^i ~P A ) C_ U. ~P A
12		unipw 4357	. . . 4 |- U. ~P A = A
13	11, 12	sseqtri 3282	. . 3 |- U. ( B i^i ~P A ) C_ A
14	13	a1i 9	. 2 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> U. ( B i^i ~P A ) C_ A )
15	9, 14	eqssd 3265	1 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> A = U. ( B i^i ~P A ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   _Vcvv 2821   i^i cin 3219   C_ wss 3220   ~Pcpw 3688   U.cuni 3935   dom cdm 4774   Rel wrel 4779   Fun wfun 5371   ` cfv 5377   topGenctg 13608

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-topgen 13614

This theorem is used by:  eltg3  15158  tgdom  15173  tgidm  15175