Theorem eltg4i 12224

Description: An open set in a topology generated by a basis is the union of all basic open sets contained in it. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eltg4i	|- ( A e. ( topGen ` B ) -> A = U. ( B i^i ~P A ) )

Proof of Theorem eltg4i

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-topgen 12141	. . . . . . 7 |- topGen = ( x e. _V |-> { y | y C_ U. ( x i^i ~P y ) } )
2	1	funmpt2 5162	. . . . . 6 |- Fun topGen
3		funrel 5140	. . . . . 6 |- ( Fun topGen -> Rel topGen )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 |- Rel topGen
5		relelfvdm 5453	. . . . 5 |- ( ( Rel topGen /\ A e. ( topGen ` B ) ) -> B e. dom topGen )
6	4, 5	mpan 420	. . . 4 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> B e. dom topGen )
7		eltg 12221	. . . 4 |- ( B e. dom topGen -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> A C_ U. ( B i^i ~P A ) ) )
8	6, 7	syl 14	. . 3 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> A C_ U. ( B i^i ~P A ) ) )
9	8	ibi 175	. 2 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> A C_ U. ( B i^i ~P A ) )
10		inss2 3297	. . . . 5 |- ( B i^i ~P A ) C_ ~P A
11	10	unissi 3759	. . . 4 |- U. ( B i^i ~P A ) C_ U. ~P A
12		unipw 4139	. . . 4 |- U. ~P A = A
13	11, 12	sseqtri 3131	. . 3 |- U. ( B i^i ~P A ) C_ A
14	13	a1i 9	. 2 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> U. ( B i^i ~P A ) C_ A )
15	9, 14	eqssd 3114	1 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> A = U. ( B i^i ~P A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   {cab 2125   _Vcvv 2686   i^i cin 3070   C_ wss 3071   ~Pcpw 3510   U.cuni 3736   dom cdm 4539   Rel wrel 4544   Fun wfun 5117   ` cfv 5123   topGenctg 12135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-topgen 12141

This theorem is referenced by:  eltg3  12226  tgdom  12241  tgidm  12243