Theorem eltg4i 12006

Description: An open set in a topology generated by a basis is the union of all basic open sets contained in it. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eltg4i	|- ( A e. ( topGen ` B ) -> A = U. ( B i^i ~P A ) )

Proof of Theorem eltg4i

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-topgen 11923	. . . . . . 7 |- topGen = ( x e. _V |-> { y | y C_ U. ( x i^i ~P y ) } )
2	1	funmpt2 5098	. . . . . 6 |- Fun topGen
3		funrel 5076	. . . . . 6 |- ( Fun topGen -> Rel topGen )
4	2, 3	ax-mp 7	. . . . 5 |- Rel topGen
5		relelfvdm 5385	. . . . 5 |- ( ( Rel topGen /\ A e. ( topGen ` B ) ) -> B e. dom topGen )
6	4, 5	mpan 418	. . . 4 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> B e. dom topGen )
7		eltg 12003	. . . 4 |- ( B e. dom topGen -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> A C_ U. ( B i^i ~P A ) ) )
8	6, 7	syl 14	. . 3 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> A C_ U. ( B i^i ~P A ) ) )
9	8	ibi 175	. 2 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> A C_ U. ( B i^i ~P A ) )
10		inss2 3244	. . . . 5 |- ( B i^i ~P A ) C_ ~P A
11	10	unissi 3706	. . . 4 |- U. ( B i^i ~P A ) C_ U. ~P A
12		unipw 4077	. . . 4 |- U. ~P A = A
13	11, 12	sseqtri 3081	. . 3 |- U. ( B i^i ~P A ) C_ A
14	13	a1i 9	. 2 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> U. ( B i^i ~P A ) C_ A )
15	9, 14	eqssd 3064	1 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> A = U. ( B i^i ~P A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1299   e. wcel 1448   {cab 2086   _Vcvv 2641   i^i cin 3020   C_ wss 3021   ~Pcpw 3457   U.cuni 3683   dom cdm 4477   Rel wrel 4482   Fun wfun 5053   ` cfv 5059   topGenctg 11917

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-v 2643  df-sbc 2863  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fv 5067  df-topgen 11923

This theorem is referenced by:  eltg3  12008  tgdom  12023  tgidm  12025