Theorem eltg4i 12695

Description: An open set in a topology generated by a basis is the union of all basic open sets contained in it. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eltg4i	|- ( A e. ( topGen ` B ) -> A = U. ( B i^i ~P A ) )

Proof of Theorem eltg4i

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-topgen 12577	. . . . . . 7 |- topGen = ( x e. _V |-> { y | y C_ U. ( x i^i ~P y ) } )
2	1	funmpt2 5227	. . . . . 6 |- Fun topGen
3		funrel 5205	. . . . . 6 |- ( Fun topGen -> Rel topGen )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 |- Rel topGen
5		relelfvdm 5518	. . . . 5 |- ( ( Rel topGen /\ A e. ( topGen ` B ) ) -> B e. dom topGen )
6	4, 5	mpan 421	. . . 4 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> B e. dom topGen )
7		eltg 12692	. . . 4 |- ( B e. dom topGen -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> A C_ U. ( B i^i ~P A ) ) )
8	6, 7	syl 14	. . 3 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> A C_ U. ( B i^i ~P A ) ) )
9	8	ibi 175	. 2 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> A C_ U. ( B i^i ~P A ) )
10		inss2 3343	. . . . 5 |- ( B i^i ~P A ) C_ ~P A
11	10	unissi 3812	. . . 4 |- U. ( B i^i ~P A ) C_ U. ~P A
12		unipw 4195	. . . 4 |- U. ~P A = A
13	11, 12	sseqtri 3176	. . 3 |- U. ( B i^i ~P A ) C_ A
14	13	a1i 9	. 2 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> U. ( B i^i ~P A ) C_ A )
15	9, 14	eqssd 3159	1 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> A = U. ( B i^i ~P A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   {cab 2151   _Vcvv 2726   i^i cin 3115   C_ wss 3116   ~Pcpw 3559   U.cuni 3789   dom cdm 4604   Rel wrel 4609   Fun wfun 5182   ` cfv 5188   topGenctg 12571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-topgen 12577

This theorem is referenced by:  eltg3  12697  tgdom  12712  tgidm  12714