Theorem eltg3i 15080

Description: The union of a set of basic open sets is in the generated topology. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eltg3i	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ∪ 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵))

Proof of Theorem eltg3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		pwuni 4324	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝒫 ∪ 𝐴
3	1, 2	jctir 313	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝒫 ∪ 𝐴))
4		ssin 3453	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝒫 ∪ 𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐵 ∩ 𝒫 ∪ 𝐴))
5	3, 4	sylib 122	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ (𝐵 ∩ 𝒫 ∪ 𝐴))
6	5	unissd 3954	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ∪ 𝐴 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 ∪ 𝐴))
7		eltg 15076	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (∪ 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∪ 𝐴 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 ∪ 𝐴)))
8	7	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (∪ 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∪ 𝐴 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 ∪ 𝐴)))
9	6, 8	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ∪ 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  𝒫 cpw 3685  ∪ cuni 3930  ‘cfv 5372  topGenctg 13585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-topgen 13591

This theorem is referenced by:  eltg3  15081  tgiun  15097  tgidm  15098  tgrest  15193