ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eltg3i GIF version

Theorem eltg3i 14016
Description: The union of a set of basic open sets is in the generated topology. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltg3i ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵))

Proof of Theorem eltg3i
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . . 5 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
2 pwuni 4210 . . . . 5 𝐴 ⊆ 𝒫 𝐴
31, 2jctir 313 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (𝐴𝐵𝐴 ⊆ 𝒫 𝐴))
4 ssin 3372 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ⊆ 𝒫 𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴))
53, 4sylib 122 . . 3 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → 𝐴 ⊆ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴))
65unissd 3848 . 2 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → 𝐴 (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴))
7 eltg 14012 . . 3 (𝐵𝑉 → ( 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴)))
87adantr 276 . 2 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → ( 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴)))
96, 8mpbird 167 1 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wcel 2160  cin 3143  wss 3144  𝒫 cpw 3590   cuni 3824  cfv 5235  topGenctg 12759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-topgen 12765
This theorem is referenced by:  eltg3  14017  tgiun  14033  tgidm  14034  tgrest  14129
  Copyright terms: Public domain W3C validator