Theorem en2prd 6908

Description: Two proper unordered pairs are equinumerous. (Contributed by BTernaryTau, 23-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
en2prd.1	|- ( ph -> A e. V )
en2prd.2	|- ( ph -> B e. W )
en2prd.3	|- ( ph -> C e. X )
en2prd.4	|- ( ph -> D e. Y )
en2prd.5	|- ( ph -> A =/= B )
en2prd.6	|- ( ph -> C =/= D )

Assertion

Ref	Expression
en2prd	|- ( ph -> { A , B } ~~ { C , D } )

Proof of Theorem en2prd

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en2prd.1	. . . . 5 |- ( ph -> A e. V )
2		en2prd.3	. . . . 5 |- ( ph -> C e. X )
3		opexg 4271	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ C e. X ) -> <. A , C >. e. _V )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> <. A , C >. e. _V )
5		en2prd.2	. . . . 5 |- ( ph -> B e. W )
6		en2prd.4	. . . . 5 |- ( ph -> D e. Y )
7		opexg 4271	. . . . 5 |- ( ( B e. W /\ D e. Y ) -> <. B , D >. e. _V )
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> <. B , D >. e. _V )
9		prexg 4254	. . . 4 |- ( ( <. A , C >. e. _V /\ <. B , D >. e. _V ) -> { <. A , C >. , <. B , D >. } e. _V )
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> { <. A , C >. , <. B , D >. } e. _V )
11		en2prd.5	. . . 4 |- ( ph -> A =/= B )
12		en2prd.6	. . . 4 |- ( ph -> C =/= D )
13		f1oprg 5565	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ C e. X ) /\ ( B e. W /\ D e. Y ) ) -> ( ( A =/= B /\ C =/= D ) -> { <. A , C >. , <. B , D >. } : { A , B } -1-1-onto-> { C , D } ) )
14	1, 2, 5, 6, 13	syl22anc 1250	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A =/= B /\ C =/= D ) -> { <. A , C >. , <. B , D >. } : { A , B } -1-1-onto-> { C , D } ) )
15	11, 12, 14	mp2and 433	. . 3 |- ( ph -> { <. A , C >. , <. B , D >. } : { A , B } -1-1-onto-> { C , D } )
16		f1oeq1 5509	. . 3 |- ( f = { <. A , C >. , <. B , D >. } -> ( f : { A , B } -1-1-onto-> { C , D } <-> { <. A , C >. , <. B , D >. } : { A , B } -1-1-onto-> { C , D } ) )
17	10, 15, 16	elabd 2917	. 2 |- ( ph -> E. f f : { A , B } -1-1-onto-> { C , D } )
18		prexg 4254	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { A , B } e. _V )
19	1, 5, 18	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> { A , B } e. _V )
20		prexg 4254	. . . 4 |- ( ( C e. X /\ D e. Y ) -> { C , D } e. _V )
21	2, 6, 20	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> { C , D } e. _V )
22		breng 6833	. . 3 |- ( ( { A , B } e. _V /\ { C , D } e. _V ) -> ( { A , B } ~~ { C , D } <-> E. f f : { A , B } -1-1-onto-> { C , D } ) )
23	19, 21, 22	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( { A , B } ~~ { C , D } <-> E. f f : { A , B } -1-1-onto-> { C , D } ) )
24	17, 23	mpbird 167	1 |- ( ph -> { A , B } ~~ { C , D } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   E.wex 1514   e. wcel 2175   =/= wne 2375   _Vcvv 2771   {cpr 3633   <.cop 3635   class class class wbr 4043   -1-1-onto->wf1o 5269   ~~ cen 6824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-en 6827

This theorem is referenced by:  rex2dom  6909