Theorem en2prd 7072

Description: Two proper unordered pairs are equinumerous. (Contributed by BTernaryTau, 23-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
en2prd.1	|- ( ph -> A e. V )
en2prd.2	|- ( ph -> B e. W )
en2prd.3	|- ( ph -> C e. X )
en2prd.4	|- ( ph -> D e. Y )
en2prd.5	|- ( ph -> A =/= B )
en2prd.6	|- ( ph -> C =/= D )

Assertion

Ref	Expression
en2prd	|- ( ph -> { A , B } ~~ { C , D } )

Proof of Theorem en2prd

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en2prd.1	. . . . 5 |- ( ph -> A e. V )
2		en2prd.3	. . . . 5 |- ( ph -> C e. X )
3		opexg 4349	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ C e. X ) -> <. A , C >. e. _V )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> <. A , C >. e. _V )
5		en2prd.2	. . . . 5 |- ( ph -> B e. W )
6		en2prd.4	. . . . 5 |- ( ph -> D e. Y )
7		opexg 4349	. . . . 5 |- ( ( B e. W /\ D e. Y ) -> <. B , D >. e. _V )
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> <. B , D >. e. _V )
9		prexg 4330	. . . 4 |- ( ( <. A , C >. e. _V /\ <. B , D >. e. _V ) -> { <. A , C >. , <. B , D >. } e. _V )
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> { <. A , C >. , <. B , D >. } e. _V )
11		en2prd.5	. . . 4 |- ( ph -> A =/= B )
12		en2prd.6	. . . 4 |- ( ph -> C =/= D )
13		f1oprg 5665	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ C e. X ) /\ ( B e. W /\ D e. Y ) ) -> ( ( A =/= B /\ C =/= D ) -> { <. A , C >. , <. B , D >. } : { A , B } -1-1-onto-> { C , D } ) )
14	1, 2, 5, 6, 13	syl22anc 1275	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A =/= B /\ C =/= D ) -> { <. A , C >. , <. B , D >. } : { A , B } -1-1-onto-> { C , D } ) )
15	11, 12, 14	mp2and 433	. . 3 |- ( ph -> { <. A , C >. , <. B , D >. } : { A , B } -1-1-onto-> { C , D } )
16		f1oeq1 5607	. . 3 |- ( f = { <. A , C >. , <. B , D >. } -> ( f : { A , B } -1-1-onto-> { C , D } <-> { <. A , C >. , <. B , D >. } : { A , B } -1-1-onto-> { C , D } ) )
17	10, 15, 16	elabd 2965	. 2 |- ( ph -> E. f f : { A , B } -1-1-onto-> { C , D } )
18		prexg 4330	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { A , B } e. _V )
19	1, 5, 18	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> { A , B } e. _V )
20		prexg 4330	. . . 4 |- ( ( C e. X /\ D e. Y ) -> { C , D } e. _V )
21	2, 6, 20	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> { C , D } e. _V )
22		breng 6995	. . 3 |- ( ( { A , B } e. _V /\ { C , D } e. _V ) -> ( { A , B } ~~ { C , D } <-> E. f f : { A , B } -1-1-onto-> { C , D } ) )
23	19, 21, 22	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( { A , B } ~~ { C , D } <-> E. f f : { A , B } -1-1-onto-> { C , D } ) )
24	17, 23	mpbird 167	1 |- ( ph -> { A , B } ~~ { C , D } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   E.wex 1541   e. wcel 2205   =/= wne 2414   _Vcvv 2815   {cpr 3695   <.cop 3697   class class class wbr 4114   -1-1-onto->wf1o 5356   ~~ cen 6986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-en 6989

This theorem is referenced by:  rex2dom  7076