Theorem rex2dom 6924

Description: A set that has at least 2 different members dominates ordinal 2. (Contributed by BTernaryTau, 30-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
rex2dom	|- ( ( A e. V /\ E. x e. A E. y e. A x =/= y ) -> 2o ~<_ A )

Distinct variable group:   x, A, y

Allowed substitution hints:   V( x, y)

Proof of Theorem rex2dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2785	. . 3 |- ( A e. V -> A e. _V )
2		prssi 3797	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> { x , y } C_ A )
3		df2o3 6529	. . . . . . . 8 |- 2o = { (/) , 1o }
4		0ex 4179	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. _V
5	4	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( x =/= y -> (/) e. _V )
6		1oex 6523	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. _V
7	6	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( x =/= y -> 1o e. _V )
8		vex 2776	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
9	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( x =/= y -> x e. _V )
10		vex 2776	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
11	10	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( x =/= y -> y e. _V )
12		1n0 6531	. . . . . . . . . . 11 |- 1o =/= (/)
13	12	necomi 2462	. . . . . . . . . 10 |- (/) =/= 1o
14	13	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( x =/= y -> (/) =/= 1o )
15		id 19	. . . . . . . . 9 |- ( x =/= y -> x =/= y )
16	5, 7, 9, 11, 14, 15	en2prd 6923	. . . . . . . 8 |- ( x =/= y -> { (/) , 1o } ~~ { x , y } )
17	3, 16	eqbrtrid 4086	. . . . . . 7 |- ( x =/= y -> 2o ~~ { x , y } )
18		endom 6867	. . . . . . 7 |- ( 2o ~~ { x , y } -> 2o ~<_ { x , y } )
19	17, 18	syl 14	. . . . . 6 |- ( x =/= y -> 2o ~<_ { x , y } )
20		domssr 6882	. . . . . . 7 |- ( ( A e. _V /\ { x , y } C_ A /\ 2o ~<_ { x , y } ) -> 2o ~<_ A )
21	20	3expib 1209	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( ( { x , y } C_ A /\ 2o ~<_ { x , y } ) -> 2o ~<_ A ) )
22	2, 19, 21	syl2ani 408	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ x =/= y ) -> 2o ~<_ A ) )
23	22	expd 258	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x =/= y -> 2o ~<_ A ) ) )
24	23	rexlimdvv 2631	. . 3 |- ( A e. _V -> ( E. x e. A E. y e. A x =/= y -> 2o ~<_ A ) )
25	1, 24	syl 14	. 2 |- ( A e. V -> ( E. x e. A E. y e. A x =/= y -> 2o ~<_ A ) )
26	25	imp 124	1 |- ( ( A e. V /\ E. x e. A E. y e. A x =/= y ) -> 2o ~<_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2177   =/= wne 2377   E.wrex 2486   _Vcvv 2773   C_ wss 3170   (/)c0 3464   {cpr 3639   class class class wbr 4051   1oc1o 6508   2oc2o 6509   ~~ cen 6838   ~<_ cdom 6839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-opab 4114  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-suc 4426  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-1o 6515  df-2o 6516  df-en 6841  df-dom 6842

This theorem is referenced by:  hashdmprop2dom  11011  fun2dmnop0  11014